1.定義：一般地，如果是常數，，那麼叫做的二次函式.
2.二次函式的性質
(1)拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.(2)函式的影象與的符號關係.
①當時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當時拋物線開口向下頂點為其最高點
3.二次函式的影象是對稱軸平行於(包括重合)軸的拋物線.
4.二次函式用配方法可化成：的形式，其中.
5.二次函式由特殊到一般，可分為以下幾種形式：
6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.
①決定拋物線的開口方向：
當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
②平行於軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.
7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函式，如果二次項係數相同，那麼拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.
8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法
(1)公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.
(2)配方法：運用配方法將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是.
(3)運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
★用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失★
9.拋物線中，的作用
(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由於拋物線的對稱軸是直線,故：
①時，對稱軸為軸；② (即、同號)時,對稱軸在軸左側；
③(即、異號)時,對稱軸在軸右側.
(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.
當時，，∴拋物線與軸有且只有乙個交點(0，)：
①，拋物線經過原點; ②,與軸交於正半軸；③,與軸交於負半軸.
以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則.
10.幾種特殊的二次函式的影象特徵如下：
11.用待定係數法求二次函式的解析式
(1)一般式：.已知影象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
(2)頂點式：.已知影象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
(3)交點式：已知影象與軸的交點座標、，通常選用交點式：.
12.直線與拋物線的交點
(1)軸與拋物線得交點為()
(2)與軸平行的直線與拋物線有且只有乙個交點(,).
(3)拋物線與軸的交點
二次函式的影象與軸的兩個交點的橫座標、，是對應一元二次方程
的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與軸相交；
②有乙個交點(頂點在軸上) 拋物線與軸相切；
③沒有交點拋物線與軸相離.
(4)平行於軸的直線與拋物線的交點
同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱座標相等，設縱座標為，則橫座標是的兩個實數根.
(5)一次函式的影象與二次函式的影象的交點，由方程組
的解的數目來確定：
①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;
②方程組只有一組解時與只有乙個交點；③方程組無解時與沒有交點.
(6)拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由於、是方程的兩個根，故
13．二次函式與一元二次方程的關係：
(1)一元二次方程就是二次函式當函式y的值為0時的情況．
(2)二次函式的圖象與軸的交點有三種情況：有兩個交點、有乙個交點、沒有交點；當二次函式的圖象與軸有交點時，交點的橫座標就是當時自變數的值，即一元二次方程的根．
(3)當二次函式的圖象與軸有兩個交點時，則一元二次方程有兩個不相等的實數根；當二次函式的圖象與軸有乙個交點時，則一元二次方程有兩個相等的實數根；當二次函式的圖象與軸沒有交點時，則一元二次方程沒有實數根
14.二次函式的應用：
(1)二次函式常用來解決最優化問題，這類問題實際上就是求函式的最大(小)值；
(2)二次函式的應用包括以下方面：分析和表示不同背景下實際問題中變數之間的二次函式關係；
運用二次函式的知識解決實際問題中的最大(小)值．
15.解決實際問題時的基本思路：(1)理解問題；(2)分析問題中的變數和常量；(3)用函式表示式表示出它們之間的關係；(4)利用二次函式的有關性質進行求解；(5)檢驗結果的合理性，對問題加以拓展等．
初三數學二次函式知識點彙總
二次函式知識點彙總 1.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.二次函式的性質 1 拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.2 函式的影象與的符號關係.當時拋物線開口向上頂點為其最低點 當時拋物線開口向下頂點為其最高點 3.二次函式的影象是對稱軸平行於 包括重合 軸的拋物線.4.二次函式用配方...
初三數學二次函式知識點
一 二次函式概念 1 二次函式的概念 一般地，形如 是常數，的函式，叫做二次函式。這裡需要強調 和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零 二次函式的定義域是全體實數 2.二次函式的結構特徵 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項 二 ...
初三數學二次函式知識點總結
二次函式和二次方程 一 二次函式概念及結構特徵 1 二次函式的概念 一般地，形如 是常數，的函式，叫做二次函式 這裡需要強調 和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零。二次函式的定義域是全體實數。等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項...