二次函式知識點總結
一、二次函式概念：
1．二次函式的概念：一般地，形如（是常數，）的函式，叫做二次函式。 這裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零．二次函式的定義域是全體實數．
2. 二次函式的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2．
⑵是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項．
二、二次函式的基本形式
二次函式的基本形式的性質：
a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
三、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2. 平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移，負左移；值正上移，負下移」．
概括成八個字「左加右減，上加下減」．
方法二：
⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成
（或）⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）
四、二次函式與的比較
從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，後者通過配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函式圖象的畫法
五點繪圖法：利用配方法將二次函式化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點座標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：
頂點、與軸的交點、以及關於對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關於對稱軸對稱的點）.
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.
六、二次函式的性質
1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點座標為．
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點座標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
七、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式：（，，為常數，）；
2. 頂點式：（，，為常數，）；
3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫座標）.
注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1. 二次項係數
二次函式中，作為二次項係數，顯然．決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．
2. 一次項係數
在二次項係數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．
的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是「左同右異」
3. 常數項決定了拋物線與軸交點的位置．
總之，只要都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的．
二次函式解析式的確定：
根據已知條件確定二次函式解析式，通常利用待定係數法．用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；
3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩根式；
4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式．
九、二次函式與一元二次方程：
1. 二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與軸交點情況）：
一元二次方程是二次函式當函式值時的特殊情況.
圖象與軸的交點個數：
① 當時，圖象與軸交於兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離. ② 當時，圖象與軸只有乙個交點； ③ 當時，圖象與軸沒有交點. 當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點座標為，；
3. 二次函式常用解題方法總結：
⑴ 求二次函式的圖象與軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式中，，的符號，或由二次函式中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點座標，或已知與軸的乙個交點座標，可由對稱性求出另乙個交點座標.
二次函式考查重點與常見題型
1、考查二次函式的定義、性質，有關試題常出現在選擇題中，如：
例一、已知以為自變數的二次函式的影象經過原點， 則的值是
2、綜合考查正比例、反比例、一次函式、二次函式的影象，習題的特點是在同一直角座標系內考查兩個函式的影象，試題型別為選擇題，如：
例二、如圖，如果函式的影象在第
一、二、三象限內，那麼函式的影象大致是（ ）
yyyy
110 x -1 o x0 x0 1 x
abcd
3、考查用待定係數法求二次函式的解析式，有關習題出現的頻率很高，習題型別有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：
例三、已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。
4、考查用配方法求拋物線的頂點座標、對稱軸、二次函式的極值，有關試題為解答題，如：
例四、已知拋物線（a≠0）與x軸的兩個交點的橫座標是－1、3，與y軸交點的縱座標是－。（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點座標.
5、考查代數與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。
由拋物線的位置確定係數的符號
例5、1二次函式的影象如圖1，則點在（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
2已知二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函式值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數是（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
12)3已知二次函式y=ax2+bx+c的圖象與x軸交於點(-2，o)、(x1，0)，且1o；③4a+co，其中正確結論的個數為( )
a 1個 b. 2個 c. 3個 d．4個
4已知：關於x的一元二次方程ax2+bx+c=3的乙個根為x=2，且二次函式y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點座標為( )
a(2，-3) b.(2，1) c(2，3) d．(3，2)
5、已知拋物線y=x2+x-．
（1）用配方法求它的頂點座標和對稱軸．
（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為a、b，求線段ab的長．
二次函式對應練習試題
一、選擇題
1. 二次函式的頂點座標是( )
a.(2,－11b.（－2，7） c.（2，11） d. （2，－3）
2. 把拋物線向上平移1個單位，得到的拋物線是（ ）
a. b. c. d.
3.函式和在同一直角座標系中圖象可能是圖中的( )
4.已知二次函式的圖象如圖所示,則下列結論: ①a,b同號;②當和時,函式值相等;③④當時,的值只能取0.其中正確的個數是( )
a.1個 b.2個 c. 3個d. 4個
5.已知二次函式的頂點座標（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關於的一元二次方程的兩個根分別是（ ）
b.-2.3 c.-0.3 d.-3.3
6. 已知二次函式的圖象如圖所示，則點在（ ）
a．第一象限 b．第二象限
c．第三象限 d．第四象限
7.方程的正根的個數為（ ）
a.0個b.1個c.2個3 個
8.已知拋物線過點a(2,0),b(-1,0),與軸交於點c,且oc=2.則這條拋物線的解析式為
ab.c.或 d.或
二、填空題
9．二次函式的對稱軸是，則_______。
10．已知拋物線y=-2（x+3）+5，如果y隨x的增大而減小，那麼x的取值範圍是_______.
11．乙個函式具有下列性質：①圖象過點（－1，2），②當＜0時，函式值隨自變數的增大而增大；滿足上述兩條性質的函式的解析式是只寫乙個即可）。
12．拋物線的頂點為c，已知直線過點c，則這條直線與兩座標軸所圍成的三角形面積為
13. 二次函式的圖象是由的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到的,則bc
14．如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16公尺，跨度是40公尺，**段ab上離中心m處5公尺的地方，橋的高度是 (π取3.14).
三、解答題：
15.已知二次函式圖象的對稱軸是,圖象經過(1,-6),且與軸的交點為(0,).
(1)求這個二次函式的解析式;
(2)當x為何值時,這個函式的函式值為0?
(3)當x在什麼範圍內變化時,這個函式的函式值隨x的增大而增大?
初三數學二次函式知識點總結
二次函式和二次方程 一 二次函式概念及結構特徵 1 二次函式的概念 一般地，形如 是常數，的函式，叫做二次函式 這裡需要強調 和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零。二次函式的定義域是全體實數。等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項...
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