高一上學期數學知識概念方法題型易誤點技巧總結
一、集合與命題
1.集合元素具有確定性、無序性和互異性. 在求有關集合問題時，尤其要注意元素的互異性，如（1）設為兩個非空實數集合，定義集合，若，，則中元素的有________個。
（答：8）（2）非空集合，且滿足「若，則」，這樣的共有_____個（答：7）
2.遇到時，你是否注意到「極端」情況：或；同樣當時，你是否忘記的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合，，且，則實數＝______.（答：）
3.對於含有個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為如滿足集合m有______個。 （答：7）
4.集合的運算性質： ⑴； ⑵；⑶
； ⑷； ⑸； ⑹
；⑺.如設全集，若，，，則a＝_____，b＝___.（答：，）
5. 研究集合問題，一定要理解集合的意義――抓住集合的代表元素。如：—函式的定義域；—函式的值域；—函式圖象上的點集，如設集合，集合n＝，則
（答：）；
6. 數軸和韋恩圖是進行交、並、補運算的有力工具，在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補集思想常運用於解決否定型或正面較複雜的有關問題。如已知關於的不等式的解集為，若且求實數的取值範圍。
（答：）
7.四種命題及其相互關係。若原命題是「若p則q」，則逆命題為「若q則p」；否命題為「若則」 ；逆否命題為「若則」。
提醒：（1）互為逆否關係的命題是等價命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價；（2）在寫出乙個含有「或」、「且」命題的否命題時，要注意「非或即且，非且即或」；（3）要注意區別「否命題」與「命題的否定」：
否命題要對命題的條件和結論都否定，而命題的否定僅對命題的結論否定；（4）對於條件或結論是不等關係或否定式的命題，一般利用等價關係「」判斷其真假，這也是反證法的理論依據。（5）哪些命題宜用反證法？如（1）「在△abc中，若∠c=900，則∠a、∠b都是銳角」的否命題為答：
在中，若，則不都是銳角）；（2）已知函式，證明方程沒有負數根。
8.充要條件。關鍵是分清條件和結論（劃主謂賓），由條件可推出結論，條件是結論成立的充分條件；由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。
從集合角度解釋，若，則a是b的充分條件；若，則a是b的必要條件；若a=b，則a是b的充要條件。如設命題p：；命題q:。
若是的必要而不充分的條件，則實數a的取值範圍是答：）
二、不等式
1. 不等式的性質：
（1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；
（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；
（3）左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若，則或；
（4）若，，則；若，，則。
如（1）對於實數中，給出下列命題：
則。其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）
（2）已知，，則的取值範圍是______（答：）
（3）已知，且則的取值範圍是______ （答：）
2. 不等式大小比較的常用方法：（1）作差：作差後通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；（2）作商（常用於分數指數冪的代數式）；（3）分析法；（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函式的單調性；（7）尋找中間量或放縮法 ；
（8）圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。
如設，，，試比較的大小（答：）
3. 一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號、移項、合併同類項等步驟化為的形式，若,則；若,則；若,則當時，；當時，。
如已知關於的不等式的解集為，則關於的不等式的解集為_______（答：）
4. 一元二次不等式的解集（聯絡圖象）。尤其當和時的解集你會正確表示嗎？設,是方程的兩實根，且，則其解集如下表：
如解關於的不等式：。（答：當時，；當時，或；當時，；當時，；當時，）
5. 對於方程有實數解的問題。首先要討論最高次項係數是否為0，其次若，則一定有。
對於多項式方程、不等式、函式的最高次項中含有引數時，你是否注意到同樣的情形？如：（1）對一切恆成立，則的取值範圍是_______（答：
）；（2）關於的方程有解的條件是什麼？(答：，其中為的值域)
6. 一元二次方程根的分布理論。方程在上有兩根、在上有兩根、在和上各有一根的充要條件分別是什麼？
（、、）。根的分布理論成立的前提是開區間，若在閉區間討論方程有實數解的情況，可先利用在開區間上實根分布的情況，得出結果，再令和檢查端點的情況．
如在區間上至少存在乙個實數，使，求實數的取值範圍。 （答：）
7. 二次方程、二次不等式、二次函式間的聯絡你了解了嗎？二次方程的兩個根即為二次不等式的解集的端點值，也是二次函式的圖象與軸的交點的橫座標。
如（1）不等式的解集是，則答：）；（2）若關於的不等式的解集為，其中，則關於的不等式的解集為________（答：）；（3）不等式對恆成立，則實數的取值範圍是_______（答：
）。8. 簡單的一元高次不等式的解法：標根法：
其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，並使每乙個因式中最高次項的係數為正；（2）將每乙個一次因式的根標在數軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；並注意奇穿過偶彈回；（3）根據曲線顯現的符號變化規律，寫出不等式的解集。
如：（1）解不等式。 （答：）
（2）不等式的解集是____（答：）
（3）設函式、的定義域都是r，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為______（答：）
（4）要使滿足關於的不等式（解集非空）的每乙個的值至少滿足不等式中的乙個，則實數的取值範圍是.（答：）
9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分並將分子分母分解因式，並使每乙個因式中最高次項的係數為正，最後用標根法求解。
解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。
如：（1）解不等式 （答：）
（2）關於的不等式的解集為，求關於的不等式的解集
（答：）
10. 絕對值不等式的解法：
（1）分段討論（最後結果應取各段的並集）：如解不等式（答：）
（2）利用絕對值的定義；
（3）數形結合；如解不等式（答：）
（4）兩邊平方：如若不等式對任意恆成立，則實數的取值範圍。（答：）
11. 含參不等式的解法：求解的通法是「定義域為前提，函式增減性為基礎，分類討論是關鍵．」注意解完之後要寫上：
「綜上，原不等式的解集是…」。注意：按引數討論，最後應按引數取值分別說明其解集；但若按未知數討論，最後應求並集.
（見4中例題）
12. 含絕對值不等式的性質：
同號或有；
異號或有.
如設，實數滿足，求證：
13. 利用重要不等式求函式最值時，你是否注意到：「一正二定三相等，和定積最大，積定和最小」這17字方針。
如：（1）下列命題中正確的是
a.的最小值是2b.的最小值是2
c.的最大值是d.的最小值是
（2）若，則的最小值是______（答：）
（3）正數滿足，則的最小值為______（答：）
14. 常用不等式有：（1）(當且僅當時，取等號)，根據目標不等式左右的結構選用；（2），（當且僅當時，取等號）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。
如果正數、滿足，則的取值範圍是答：）
15. 證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）後通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然後作出結論。
常用的放縮技巧有：
如（1）已知，求證： ；
(2) 已知，求證：；
（3）已知，且，求證：；
(4)若，求證：；
(5)已知，求證：；
16. 不等式的恆成立,能成立,恰成立等問題：不等式恆成立問題的常規處理方式？（常應用函式方程思想和「分離變數法」轉化為最值問題，也可抓住所給不等式的結構特徵，利用數形結合法）
（1）恆成立問題
若不等式在區間上恆成立,則等價於在區間上
若不等式在區間上恆成立,則等價於在區間上
如（1）不等式對一切實數恆成立，求實數的取值範圍
（2）若不等式對滿足的所有都成立，則的取值範圍
（3）若不等式對的所有實數都成立，求的取值範圍.
（2）能成立問題
若在區間上存在實數使不等式成立,則等價於在區間上；
若在區間上存在實數使不等式成立,則等價於在區間上的.如
已知不等式在實數集上的解集不是空集，求實數的取值範圍____
（3）恰成立問題
若不等式在區間上恰成立, 則等價於不等式的解集為；
若不等式在區間上恰成立, 則等價於不等式的解集為.
三、函式
1. 函式的定義域a和值域b都是非空數集！據此可知函式影象與軸的垂線至多有乙個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。
如（1）已知函式，，那麼集合中所含元素的個數有個（答： 0或1）；（2）若函式的定義域、值域都是閉區間，則＝ （答：2）
2. 同一函式的概念。構成函式的三要素是定義域，值域和對應法則。
而值域可由定義域和對應法則唯一確定，因此當兩個函式的定義域和對應法則相同時，它們一定為同一函式。如若一系列函式的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函式為「天一函式」，那麼解析式為，值域為的「天一函式」共有______個（答：9）
3. 求函式定義域的常用方法（在研究函式問題時要樹立定義域優先的原則）：
（1）根據解析式要求如偶次根式的被開方大於零，分母不能為零，0次冪的底數不能為零。如（1）函式的定義域是____(答：)；（2）若函式的定義域為r，則_______(答：
)；（3）函式的定義域是，，則函式的定義域是答：)；
（2）根據實際問題的要求確定自變數的範圍。
（3）復合函式的定義域：若已知的定義域為,其復合函式的定義域由不等式解出即可；若已知的定義域為,求的定義域，相當於當時，求的值域（即的定義域）。如（1）若函式的定義域為，則的定義域為答：
）；（2）若函式的定義域為，則函式的定義域為________（答：[1,5]）．
4. 求函式值域（最值）的方法：
（1）配方法――二次函式（二次函式在給出區間上的最值有兩類：一是求閉區間上的最值；二是求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函式的最值問題，勿忘數形結合，注意「兩看」：
一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關係），如（1）求函式的值域（答：[4,8]）；（2）當時，函式在時取得最大值，則的取值範圍是___（答特別說明：二次函式在區間上最值的求法，一定要注意頂點的橫座標是否在定義域內。
如果是選擇、填空可以很快寫答案:先看看是否在內，如果在的話，算三個數,三數中誰最大誰就是最大值，誰最小誰就是最小值。如果不在的話，只要算兩個數，大的就最大值，小的就最小值。
高一上學期知識點總結
第一章集合與函式概念 課時一 集合有關概念 1.集合的含義 集合為一些確定的 不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，並且能判斷乙個給定的東西是否屬於這個整體。2.一般的研究物件統稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。3.集合的中元素的三個特性 1 元素的確定性 集合確定，則一元素是否屬於這...
高一上數學知識點總結
必修一一 集合 一 集合有關概念 1.集合的含義 2.集合的中元素的三個特性 1 元素的確定性如 世界上最高的山 2 元素的互異性如 由happy的字母組成的集合 3 元素的無序性 如 和是表示同乙個集合 3.集合的表示 如 1 用拉丁字母表示集合 a b 2 集合的表示方法 列舉法與描述法。注意 ...
高一上學期數學備課組總結
高一數學備課組，充分發揮每個備課組成員的聰明才智和力量，使高一數學的教學任務如期完成。高一數學備課組，會再接再厲，創造更輝煌的成績。五 以老帶新，互相促進，互相提高 老師是剛畢業的老師，是學校安排給我的 幫帶 物件。他在教學過程中能夠多聽我及其他教師的課，多虛心請教。老師在一學期中聽課多達 三 四十...