一、要點透視
數列是高中代數的主要內容，同是數列與高等數學聯絡密切。
在內容上本章包括數列的概念、等差數列、等比數列的有關概念、性質、通項、前n項和等。等差數列與等比數列是兩個特殊數列，是本章的核心。
由於數列可以看成是正整數集或其子集上的函式，因此，要注意用函式的觀點和方法研究數列。
二、知識複習
（1） 有關概念：
1°數列：按一定次序排列的一列數，數列中的每乙個數叫做數列的項。
2°數列的通項公式：如果數列的第n項an與n之間的關係可以用乙個公式來表示，這個公式就叫做數列的通項公式。
3°數列的遞推公式：如果已知數列的第一項（或前n項，且任一項an與它的前一項an-1（或前n項）間的關係可以用乙個式子來表示，那麼這個公式就叫做這個數列的遞推公式。
4°若數列的前n項和為sn則
（2）等差與等比數列
（3）數列求和及數列實際問題
1．數列求通項與和
（1）求通項常用方法：觀察，歸納，疊加，疊乘，數列前n項和sn與通項an的關係式：an= 。
（2）數列前n項和
①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)；12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2；
②等差數列中，**+n=**+sn+mnd；
③等比數列中，**+n=sn+qn**=**+qmsn；
④裂項求和將數列的通項分成兩個式子的代數和，即an=f(n+1)－f(n)，然後累加抵消掉中間的許多項，這種先裂後消的求和法叫裂項求和法。用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項，如：、=－等。
⑤錯位相減法對乙個由等差數列及等比數列對應項之積組成的數列的前n項和，常用錯項相消法。, 其中是等差數列，是等比數列，記，則，… 例如：求這個數列的前n項和：
⑥併項求和把數列的某些項放在一起先求和，然後再求sn。
⑦通項分解法：
（4）數列有關結論
1.由sn求an，an=、是等差數列，則(k、b、a是非零常數)是等差數列；若、是等比數列，則｛kan｝、等也是等比數列；
10.等差（或等比）數列的「間隔相等的連續等長片斷和序列」（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）數列；
11.對等差數列｛an｝,當項數為2n時，s偶—s奇＝nd；項數為2n－1時，s奇－s偶＝a中（n∈n*）；
12.若一階線性遞迴數列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,則總可以將其改寫變形成如下形式: (n≥2)，於是可依據等比數列的定義求出其通項公式；
三、典型例題
例1．數列中，，求該數列的通項公式。
解：由有： 故數列是以為公比的等比數列，且首項為評注：一般地，形如為非零常數，，可變形為，其中，則是乙個公比為的等比數列。
例2．設是首項為1的正項數列，且，則其的通項公式
解：， 即是各項為正的數列， ,
評注：本題先得到，再採用連乘，從而得到數列的通項。當然，若將變形為，視為整體，則，，，…，，…構成乙個常數列，故，。
例3．已知等差數列前三項為，4，，前n項和為，若(1)求a及k的值；(2)求
解：(1)設等差數列為，則，，
由已知有，，公差，代入得
即（捨去），
(2)由
例4、設數列的前n項和，設，求證數列是等比數列。
解：當時，，當時，，，，而
,數列是以為首項，為公比的等比數列。
1、選擇題:
1．(2023年高考江西卷文科7)等比數列中，，，，則
a． b． c． d．
2. (2023年高考浙江卷文科5)設為等比數列的前n項和，則
(a)-11b)-8c)5d)11
解析：通過，設公比為，將該式轉化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選a
3．(2023年高考安徽卷文科5)設數列的前n項和，則的值為 （a） 15 (b) 16 (c) 49 （d）64
【答案】a【解析】.
4．（2023年高考遼寧卷文科3）設為等比數列的前項和，已知，，則公比
（a）3 （b）4 （c）5 （d）6解析：選b. 兩式相減得，，.
5．（2023年高考遼寧卷文科14）設為等差數列的前項和，若，則
解析：填15. ,解得bk^s*5u.c#
6．（2023年高考廣東卷文科4）已知數列{}為等比數列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為，則s5=w_w w. k#s5_u.c o*m a．35 b．33 c．31 d．29
7．（2023年高考重慶卷文科2）在等差數列中，，則的值為[**
（a）5 （b）6[**:學科網zxxk]（c）8 （d）10【答案】a【解析】由角標性質得，所以=5.
8．（2023年高考湖北卷文科7）已知等比數列{}中，各項都是正數，且，成等差數列，則
a. b. c. d 【答案】c
9．（ 2023年高考全國ⅰ卷文科4）已知各項均為正數的等比數列{}， =5， =10，則=
(a) (b) 7 (c) 6 (d)【解析】由等比數列的性質知， 10,所以,所以
10．（2023年高考全國卷ⅱ文科6）如果等差數列中， ++=12，那麼++…+=
（a）14 (b) 21 (c) 28d) 35
【解析】c
二、填空題：
1．（2023年高考天津卷文科15）設是等比數列，公比，sn為的前n項和。記設為數列{}的最大項，則= 。【答案】4 因為=，
設，則有===
=，當且僅當，即，所以當為數列{}的最大項時， =4。
2. (2023年高考浙江卷文科14)在如下數表中，已知每行、每列中的樹都成等差數列，
那麼，位於下表中的第n行第n+1列的數是 。
解析：第n行第一列的數為n，觀察得，第n行的公差為n，所以第n0行的通項公式為
，又因為為第n+1列，故可得答案為，
三、解答題：
1．（2023年高考山東卷文科18）（本小題滿分12分）
已知等差數列滿足：，.的前n項和為.
（ⅰ）求及；（ⅱ）令（）,求數列的前n項和.
【解析】（ⅰ）設等差數列的公差為d，因為，，所以有，解得，
所以； ==。
（ⅱ）由（ⅰ）知，所以bn===，
所以==，即數列的前n項和=。
2．（2023年高考天津卷文科22）
在數列中， =0，且對任意k，成等差數列，其公差為2k.
（ⅰ）證明成等比數列；（ⅱ）求數列的通項公式；
【解析】（i）證明：由題設可知，，，，，
。從而，所以，，成等比數列。
（ii）解：由題設可得所以
.由，得，從而.
所以數列的通項公式為或寫為，。
3．（2023年高考福建卷文科17）（本小題滿分12分 ）
數列{} 中＝，前n項和滿足-＝（n）. ( i ) 求數列{}的通項公式以及前n項和；
（ii）若s1, t ( s1+s2 ), 3( s2+s3 ) 成等差數列，求實數t的值。
4．(2023年高考北京卷文科16)（本小題共13分）
已知為等差數列，且，。
（ⅰ）求的通項公式；（ⅱ）若等差數列滿足，，求的前n項和公式
解：（ⅰ）設等差數列的公差。 因為所以解得
所以（ⅱ）設等比數列的公比為因為
所以即=3,所以的前項和公式為
5. (2023年高考浙江卷文科19)
（本題滿分14分）設a1，d為實數，首項為a1，公差為d的等差數列的前n項和為sn，滿足+15=0。
（ⅰ）若=5，求及a1；（ⅱ）求d的取值範圍。
(ⅰ)解：由題意知s6==-3,a6=s6-s5=-8所以解得a1=7所以s6= -3,a1=7 (ⅱ)解：因為s5s6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.
故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d2≥8.[d≤-2或d≥2.
第二章基礎知識
第二單元 大氣 基礎知識測試 1 大氣層 1 大氣層的作用等。2 根據大氣的大氣從地面到高空依次分為其中與人類最密切的是 溫度隨高度的上公升而 最顯著的特點是 二 天氣和氣溫 1內近地面的大氣的綜合狀況叫天氣。組成的要素有 等。其中是最基本的要素。2 氣溫是空氣的 表示空氣的測量的儀器是單位是一天中...
必修5第二章《數列》單元測試
班級姓名座號 一 選擇題 每小題6分 1 數列1，3，5，7，9，的乙個通項公式為 ab cd 2 等比數列2，4，8，16，的前n項和為 abcd 3 等比數列中，已知，則n為 a 3b 4c 5d 6 4 等比數列中，則等於 a 3bcd 4 5 若數列中，43 3n，則最大值n a 13b 1...
管理基礎知識第二章
第二章管理思想的發展 第二章管理思想的發展 管理思想源於管理實踐，管理思想的發展源遠流長。管理思想是管理理論的萌芽。管理作為一種理論產生於19世紀末20世紀初，其發展經歷了100多年的時間。縱觀管理思想發展的全部歷史，大致可以劃分為以下四個階段 1.早期管理思想 從人類社會的產生到19世紀末20世紀...