專題之一牛頓第二定律
牛頓第二定律
1.定律的表述
物體的加速度跟所受的外力的合力成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向跟合力的方向相同，既f=ma （其中的f和m、a必須相對應）特別要注意表述的第三句話。因為力和加速度都是向量，它們的關係除了數量大小的關係外，還有方向之間的關係。明確力和加速度方向，也是正確列出方程的重要環節。
若f為物體受的合外力，那麼a表示物體的實際加速度；若f為物體受的某乙個方向上的所有力的合力，那麼a表示物體在該方向上的分加速度；若f為物體受的若干力中的某乙個力，那麼a僅表示該力產生的加速度，不是物體的實際加速度。
2.應用牛頓第二定律解題的步驟
①明確研究物件。可以以某乙個物體為物件，也可以以幾個物體組成的質點組為物件。設每個質點的質量為mi，對應的加速度為ai，則有：f合=m1a1+m2a2+m3a3+……+mnan
對這個結論可以這樣理解：先分別以質點組中的每個物體為研究物件用牛頓第二定律：
∑f1=m1a1，∑f2=m2a2，……∑fn=mnan，將以上各式等號左、右分別相加，其中左邊所有力中，凡屬於系統內力的，總是成對出現的，其向量和必為零，所以最後實際得到的是該質點組所受的所有外力之和，即合外力f。
②對研究物件進行受力分析。（同時還應該分析研究物件的運動情況（包括速度、加速度），並把速度、加速度的方向在受力圖旁邊畫出來。
③若研究物件在不共線的兩個力作用下做加速運動，一般用平行四邊形定則（或三角形定則）解題；若研究物件在不共線的三個以上的力作用下做加速運動，一般用正交分解法解題（注意靈活選取座標軸的方向，既可以分解力，也可以分解加速度）。
④當研究物件在研究過程的不同階段受力情況有變化時，那就必須分階段進行受力分析，分階段列方程求解。
解題要養成良好的習慣。只要嚴格按照以上步驟解題，同時認真畫出受力分析圖，那麼問題都能迎刃而解。
3.應用舉例
例1．如圖所示，ma=1kg，mb=2kg，a、b間靜摩擦力的最大值是5n，水平面光滑。用水平力f拉b，當拉力大小分別是f=10n和f=20n時，a、b的加速度各多大？
解：先確定臨界值，即剛好使a、b發生相對滑動的f值。當a、b間的靜摩擦力達到5n時，既可以認為它們仍然保持相對靜止，有共同的加速度，又可以認為它們間已經發生了相對滑動，a在滑動摩擦力作用下加速運動。
這時以a為物件得到a =f/ma =5m/s2，再以a、b系統為物件得到 f =（ma+mb）a =15n
⑴當f=10n<15n時， a、b一定仍相對靜止，所以
⑵當f=20n>15n時，a、b間一定發生了相對滑動，用質點組牛頓第二定律列方程：，而a a=f/ma =5m/s2，於是可以得到a b =7.5m/s2
例2．如圖所示，m =4kg的小球掛在小車後壁上，細線與豎直方向成37°角。當：⑴小車以a=g向右加速；⑵小車以a=g向右減速時，分別求細線對小球的拉力f1和後壁對小球的壓力f2各多大？
解：⑴向右加速時小球對後壁必然有壓力，球在三個共點力作用下向右加速。合外力向右，f2向右，因此g和f1的合力一定水平向左，所以 f1的大小可以用平行四邊形定則求出：
f1=50n，可見向右加速時f1的大小與a無關；f2可在水平方向上用牛頓第二定律列方程：f2-0.75g =ma計算得f2=70n。
可以看出f2將隨a的增大而增大。（這種情況下用平行四邊形定則比用正交分解法簡單。）
⑵必須注意到：向右減速時，f2有可能減為零，這時小球將離開後壁而「飛」起來。這時細線跟豎直方向的夾角會改變，因此f1的方向會改變。
所以必須先求出這個臨界值。當時g和f1的合力剛好等於ma，所以a的臨界值為。當a=g時小球必將離開後壁。
不難看出，這時f1=mg=56n， f2=0
例3．如圖所示，在箱內的固定光滑斜面（傾角為α）上用平行於斜面的細線固定一木塊，木塊質量為m。當⑴箱以加速度a勻加速上公升時，⑵箱以加速度a勻加速向左時，分別求線對木塊的拉力f1和斜面對箱的壓力f2
解：⑴a向上時，由於箱受的合外力豎直向上，重力
豎直向下，所以f1、f2的合力f必然豎直向上。可先
求f，再由f1=fsinα和f2=fcosα求解，得到：
f1=m(g+a)sinα，f2=m(g+a)cosα
顯然這種方法比正交分解法簡單。
⑵a向左時，箱受的三個力都不和加速度在一條直線
上，必須用正交分解法。可選擇沿斜面方向和垂直於
斜面方向進行正交分解，（同時也正交分解a），然後分別沿x、y軸列方程求出f1、f2：
f1=m(gsinα-acosα)，f2=m(gcosα+asinα)
經比較可知，這樣正交分解比按照水平、豎直方向正交分解列方程和解方程都簡單。
還應該注意到f1的表示式f1=m(gsinα-acosα)顯示其有可能得負值，這意味這繩對木塊的力是推力，這是不可能的。可見這裡又有乙個臨界值的問題：當向左的加速度
a≤gtanα時f1=m(gsinα-acosα)沿繩向斜上方；當a>gtanα時木塊和斜面不再保持相對靜止，而是相對於斜面向上滑動，繩子鬆弛，拉力為零。
例4．如圖所示，質量為m=4kg的物體與地面間的動摩擦因數為μ=0.5，在與水平成θ=37°角的恒力f作用下，從靜止起向右前進t1=2s後撤去f，又經過t2=4s物體剛好停下。求：
f的大小、最大速度vm、總位移s
解：由運動學知識可知：前後兩段勻變速直線運動的加速度a與時間t成反比，而第二段中μmg=ma2，加速度a2=μg=5m/s2，所以第一段中的加速度一定是a1=10m/s2。
再由方程可求得：f=54.5n
第一段的末速度和第二段的初速度相等都是最大速度，可以按第二段求得：vm=a2t2=20m/s 又由於兩段的平均速度和全過程的平均速度相等，所以有m
需要引起注意的是：在撤去拉力f前後，物體受的摩擦力發生了改變。
四、連線體（質點組）
在應用牛頓第二定律解題時，有時為了方便，可以取一組物體（一組質點）為研究物件。這一組物體可以有相同的速度和加速度，也可以有不同的速度和加速度。以質點組為研究物件的好處是可以不考慮組內各物體間的相互作用，這往往給解題帶來很大方便。
使解題過程簡單明瞭。
例5．如圖a、b兩木塊的質量分別為ma、mb，在水平推力f作用下沿光滑水平面勻加速向右運動，求a、b間的彈力fn。
解：這裡有a、fn兩個未知數，需要建立兩個方程，要取兩次研究物件。比較後可知分別以b、（a+b）為物件較為簡單（它們在水平方向上都只受到乙個力作用）。可得
這個結論還可以推廣到水平面粗糙時（a、b與水平面間μ相同）；也可以推廣到沿斜面方向推a、b向上加速的問題，有趣的是，答案是完全一樣的。
例6．如圖，傾角為α的斜面與水平面間、斜面與質量為m的木塊間的動摩擦因數均為μ，木塊由靜止開始沿斜面加速下滑時斜面仍保持靜止。求水平面給斜面的摩擦力大小和方向。
解：以斜面和木塊整體為研究物件，水平方向僅受靜摩擦力作用，而整體中只有木塊的加速度有水平方向的分量。可以先求出木塊的加速度，再在水平方向對質點組用牛頓第二定律，很容易得到：
如果給出斜面的質量m，本題還可以求出這時水平面對斜面的支援力大小為：
fn=mg+mg(cosα+μsinα)sinα，這個值小於靜止時系統對水平面的壓力。
例7． 長l的輕杆兩端分別固定有質量為m的小鐵球，杆的三等分點o處有光滑的水平轉動軸。用手將該裝置固定在杆恰好水平的位置，然後由靜止釋放，當桿到達豎直位置時，求軸對杆的作用力f的大小和方向。
解：根據系統機械能守恆可求出小球1在最高點的速度v：0=mg1/3l-mg2/3l+1/2mv2+1/2m(2v)2， 在豎直位置對系統用牛頓第二定律，以向下為正方向，設軸對系統的作用力f向上，，得到f=2.
4mg五、向心力和向心加速度（牛頓第二定律在圓周運動中的應用）
1.做勻速圓周運動物體所受的合力為向心力
「向心力」是一種效果力。任何乙個力，或者幾個力的合力，或者某乙個力的某個分力，只要其效果是使物體做勻速圓周運動的，都可以作為向心力。
2.一般地說，做圓周運動物體沿半徑方向的合力為向心力。當作圓周運動物體所受的合力不指向圓心時，可以將它沿半徑方向和切線方向正交分解，其沿半徑方向的分力為向心力，只改變速度的方向，不改變速度的大小；其沿切線方向的分力為切向力，只改變速度的大小，不改變速度的方向。
分別與它們相應的向心加速度描述速度方向變化的快慢，切向加速度描述速度大小變化的快慢。
3.圓錐擺
圓錐擺是典型的運動軌跡在水平面內的勻速圓周運動。其特點是由物體的重力與彈力的合力充當向心力，向心力的方向水平。也可以說是其中彈力的水平分力提供向心力（彈力的豎直分力和重力互為平衡力）。
例8．小球在半徑為r的光滑半球內做水平面內的勻速圓周運動，試分析圖中的θ（小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角）與線速度v、週期t的關係。（小球的半徑遠小於r。）
解：小球做勻速圓周運動的圓心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力f是重力g和支援力n的合力，所以重力和支援力的合力方向必然水平。如圖所示有：，由此可得：
，（式中h為小球軌道平面到球心的高度）。可見，θ越大（即軌跡所在平面越高），v越大，t越小。
本題的分析方法和結論同樣適用於圓錐擺、火車轉彎、飛機在水平面內做勻速圓周飛行等在水平面內的勻速圓周運動的問題。共同點是由重力和彈力的合力提供向心力，向心力方向水平。
4.豎直麵內圓周運動最高點處的受力特點及結論
這類題的特點是：物體做圓周運動的速率是時刻在改變的，由於機械能守恆，物體在最高點處的速率最小，在最底點處的速率最大。物體在最低點處向心力向上，而重力向下，所以彈力必然向上且大於重力；而在最高點處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向就不能確定了，要分三種情況進行討論。
⑴彈力只可能向下，如繩拉球。這種情況下有
即，否則不能通過最高點。
⑵彈力只可能向上，如車過橋。在這種情況下有，否則將離開橋面，做平拋運動。
⑶彈力既可能向上又可能向下，如管內轉（或杆連球）。這種情況下，速度大小v可以取任意值。可以進一步討論：
①當時彈力必然是向下的；當時彈力必然是向上的；當時彈力恰好為零。②當彈力大小fmg時，向心力只有一解：f +mg；當彈力f=mg時，向心力等於零。
例9．桿長為l，球的質量為m，杆連球在豎直平面內繞軸o自由轉動，已知在最高點處，杆對球的彈力大小為f=1/2mg，求這時小球的即時速度大小。
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