二、知識結構
1.角的概念的推廣:
(1)定義:一條射線oa由原來的位置oa,繞著它的端點o按一定方向旋轉到另一位置ob,就形成了角α。其中射線oa叫角α的始邊,射線ob叫角α的終邊,o叫角α的頂點。
(2)正角、零角、負角:由始邊的旋轉方向而定。
(3)象限角:由角的終邊所在位置確定。
第一象限角:2kπ<α<2kπ+,k∈z
第二象限角:2kπ+<α<2kπ+π,k∈z
第三象限角:2kπ+π<α<2kπ+,k∈z
第四象限角:2kπ+ <α<2kπ+2π,k∈z
(4)終邊相同的角:一般地,所有與α角終邊相同的角,連同α角在內(而且只有這樣的角),可以表示為k·360°+α,k∈z。
(5)特殊角的集合:
終邊在座標軸上的角的集合{α|α=,k∈z}
終邊在一、三象限角平分線上角的集合{α|α=kπ+,k∈z}
終邊在二、四象限角平分線上角的集合{α|α=kπ-,k∈z}
終邊在四個象限角平分線上角的集合{α|α=kπ-,k∈z}
2.弧度制:
(1)定義:用「弧度」做單位來度量角的制度,叫做弧度制。
(2)角度與弧度的互化:
1°=弧度,1弧度=()°
(3)兩個公式:(r為圓弧半徑,α為圓心角弧度數)。
弧長公式:l=|α|r
扇形面積公式:s=lr=|α|r2
角當中的對稱問題:
與角終邊關於x軸對稱的角的集合;
與角終邊關於y軸對稱的角的集合
與角終邊關於原點軸對稱的角的集合
與角終邊關於y=x軸對稱的角的集合
與角終邊關於y=-x軸對稱的角的集合
3.週期函式:
(1)定義:對於函式y=f(x),如果存在乙個非零常數t,使得x取定義域內的任意值時,都有f(x+t)=f(x),那麼函式y=f(x)叫做週期函式,其中非零常數t叫做這個函式的乙個週期,如果t中存在乙個最小的正數,則這個最小正
數叫做這個函式的最小正週期。
(2)幾個常見結論:
①如果t是函式y=f(x)的乙個週期,那麼kt(k∈z,且k≠0)也是y=f(x)的週期。
②如果t是函式y=f(x)的乙個週期,那麼也是y=f(wx)(w≠0)的週期。
③乙個週期函式不一定有最小正週期,如常函式y=f(x)=c。
4.三角函式定義:
(1)定義:設α是乙個任意大小的角,p(x,y)是角α終邊上任意一點,它與原點的距離|po|=r,那麼角α的正弦、余弦、正切、餘切、正割、余弦分別是sinα=,cosα=,tgα=,ctgα=,secα=,cscα= (如圖(1))。
(2)六個三角函式值在每個象限的符號:(如圖(2))
(3)同角三角函式的基本關係式:
倒數關係:sinα·cscα=1,cosα·secα=1,tgα·ctgα=1
商數關係:tgα=,ctgα=
平方關係:sin2α+cos2α=1,1+tg2α=sec2α,1+ctg2α=csc2α
(4)誘導公式:
上述公式可以總結為:奇變偶不變,符號看象限。
5.已知三角函式值求角
6.三角函式的圖象和性質:
(1)三角函式線:
如圖(3),sinα=mp,cosα=om,tgα=at,ctgα=bs
(2)三角函式的影象和性質:
7.函式y=asin(wx+)的影象:
函式y=asin(wx+)的影象可以通過下列兩種方式得到:
0,影象左移
(1)y=sinxy=sin(x+)
0,影象右移||
w>1,橫座標縮短為原來的倍
y=sin(wx+)
0<w<1,橫座標伸長為原來的倍
a>1,縱座標伸長為原來的a倍
y=asin(wx+)
0<a<1,縱座標縮短為原來的a倍
w>1,橫座標縮短為原來的倍
(2)y=sinx
0<w<1,橫座標伸長為原來的倍
>0,影象左移
y=sin(wx)
0,影象右移
a>1,縱座標伸長為原來a倍
y=sin(wxy=asin(wx+)
0<a<1,縱座標縮短為原來a倍
8.兩角和與差的三角函式:
(1)常用公式:
兩角和與差的公式:
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ,
cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ,
tg(α±β)=
倍角公式:
sin2α=2sinαcosα,
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α=,
tg2α=.
半形公式:
sin=±,
cos=±,
tg=±===.
積化和差公式:
sinαcosβ=〔sin(α+β)+sin(α-β)〕,
cosαsinβ= 〔sin(α+β)-sin(α-β)〕
cosαcosβ= 〔cos(α+β)+cos(α-β)〕,
sinαsinβ=- 〔cos(α+β)-cos(α-β)〕
和差化積公式:
sinα+sinβ=2sincos,
sinα-sinβ=2cossin
cosα+cosβ=2coscos ,
cosα-cosβ=-2sinsin
萬能公式:
sinα=,cosα=,tgα=
(2)各公式間的內在聯絡:
(3)應注意的幾個問題:
①凡使公式中某個式子沒有意義的角,都不適合公式。
②靈活理解各公式間的和差倍半的關係。
③在半形公式中,根號前的符號由半形所在像限來決定。
④常具的變形公式有:cosα=,sin2α=,cos2α=,tgα+tgβ=tg(α+β)(1-tgαtgβ).
⑤asinα+bcosα=sin(α+).
(其中所在位置由a,b的符號確定,的值由tg=確定)。
9.解斜三角形:
在解三角形時,常用定理及公式如下表:
10.反三角函式:
11.三角方程:
(1) 最簡單三角方程的解集:
(2)簡單三角方程:轉化為最簡單三角方程。
三、知識點、能力點提示
三角函式是中學數學的主要內容之一,也是每年高考的必考內容,其主要內容由以下三部分構成:三角函式的定義,影象和性質;三角恒等變形;反三角函式。在高考中,第二部分為主要內容,進行重點考查,當然也不放棄前後兩部的考查,對近幾年高考試題進行分析後,可以看出:
對三角函式的考查主要有兩種方式:單獨考查三角函式或與其它學科綜合考查,前一部分通常是容易題或中等題,而後一部分有一定難度。
下面對常見考點作簡單分析:
1.角、三角函式定義的考點:這是對三角基礎知識的直接考查,一般不會單獨成題,更多地是結合其它方面的內容(如:三角恒等變形,三角函式性質等)對多個知識點作綜合考查。
2.三角函式影象的考查:通常有三種方式:由影象到解析式:由影象到性質;影象的應用。
3.三角函式性質的考查
(1)定義域和值域:
(2)週期性:通常結合恒等變形考查如何求三角函式的最小正週期,或考查與週期性相關的問題,如:設f(x)是(-∞,+∞)上的奇函式,f(x+2)=-f(x),當0≤x≤1時,f(x)=x,則f(7.
5)=( )
(3)單調性:通常以處理最值問題的形式出現,總與恒等變形聯絡在一起,一般地二次函式,對數函式等的最值問題相結合。
4.三角恒等變形:以化簡、求值、證明等各種題型出現,以題中通常考查和、差、倍、半各公式的運用,大題中通常考查和積互化公式的運用,這是三角函式的重要內容。
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