摘要本模型是研究生活中人在雨中行走時淋雨量的問題。人在雨中行走過程較為複雜，。也就是將人簡化為乙個規則的，僅有長、寬、高的乙個長方體，建立模型。
本題中廣泛採用了微分方程模型，通過將人分為幾個平面，分別求得各個平面所接受的淋雨量，然後求其加和的方法求解。對於上表面，均採用降雨量與時間的微分（即單位時間內所接受的雨水量）建立關係，再通過求積分而得出問題所求解的函式關係式。而對於與雨水接觸的側面，我們採用了化歸的思想，將人與雨水接觸的平面沿雨水的方向投影向地面，也就是說化歸為了乙個求平面接觸雨水的問題，與上表面所採用的方法相同，同樣以降雨量與時間的微分建立微分方程，求解函式關係式。
而對於較為複雜的第三問，我們以人的速度比雨的速度小，人的速度比雨的速度大，人的速度與雨的速度相同的三種情況討論，並分別求解，也就是說同樣化歸為了乙個求平面與求側面淋雨量的情況。然後根據所得函式式，借助數學工具matlab求得所需函式圖形。第五問同樣採用歸元法，建立空間座標軸，分解雨水為三個雨人的側面平行的方向，在分別求解即可。
本題廣泛採用了化歸思想，將未解決的問題轉化為已解決問題，將較複雜的問題轉化為較簡單問題，結合微分方程模型，使得原本較為複雜的問題顯得簡單，易懂。模型基本解決了現實中淋雨量的問題。而本模型的實際意義又不僅僅侷限於現實中的淋雨問題，降雨同樣可以與氣流相模擬，因此本模型有極大地現實意義，可廣泛拓展到工業、生產、生活領域。
可用於計算以一定速度運動地機械承受的氣流量，同樣可用於計算建築所承受的氣流量……
關鍵詞：長方體淋雨量微分方程模型 matlab 化歸思想
1問題重述
在人行進在雨中時，淋雨量和人行進速度之間是怎樣的關係。為了研究這個問題，假設一人在雨中從一處沿直線跑到另一處，雨速為常數且方向不變，但是雨水的下落方向存在差異，因此就雨水的方向建立數學模型討論是否跑得越快，淋雨量越少。
將人體簡化為乙個長方體，高=1.5 m(頸部以下)，寬=0.5m，厚=0.
2m，設跑步距離=1000m,跑步最大速度為=5m/s，雨速=4m/s，降雨量=2 cm/h，記跑步速度為,按以下步驟進行討論：
（1） 不考慮雨的方向，設降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計跑完全程的總淋雨量。
（2） 雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內，且與人體的夾角為，如圖1。建立總淋雨量與速度v及引數之間的關係，問速度v為多大，總淋雨量最少。計算=0, =300時的總淋雨量。
（3） 雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內，且與人體的夾角為α，如圖2。建立總淋雨量與速度及引數之間的關係，問速度v多大，總淋雨量最少。計算＝300時的淋雨量。
（4） 以總淋雨量為縱軸，速度為橫軸，對（3）作圖（考慮的影響），並解釋結果的實際意義。
（5） 若雨線方向與跑步方向不在同一平面內，模型會有什麼變化。
2基本假設
（1）假設降雨面積相對地球面積較小，降雨地區的地面是平面。
（2）假設降雨時，雨水基本是均勻分布在空間中的。
（3）假設人在行進過程中是沒有上下浮動的。
（4）假設人在行進過程中不是一步一步間斷地行進的而是均勻行進的。
符號說明：
1雨中人的身高
2雨中人的寬度
3雨中人的厚度
4人奔跑的距離
5雨的速度
6雨與人之間的夾角
7問題（1）中向量加和後雨水與人的夾角
8雨水從背後下落與人行速度向量作和後的夾角
9問題（3）中雨水與人的夾角
10問題2中雨水速度與人行速度向量加和後雨與人所成的角度
11人奔跑的速度
12) 人奔跑的最大速度
13) 每秒鐘每平方公尺接受的雨水厚度
14) 空間中每立方公尺雨水的含量
15) 人的上表面積
16) 人的側面積
17) 上表面接受的雨量
18) 側面接受的雨量
19人接受的總的雨量
20問題一種陰影部分的面積
21問題（3）第乙個模型中陰影部分的面積
22問題（3）第二個模型中陰影部分的面積
23問題（2）中陰影部分的面積
24常數
4.1 模型 1
4.1.1 模型分析
人運動的速度決定了上表面暴露在雨中得時間，也就間接影響了人的總的淋雨量，而由於雨滴垂直下落，所以前表面淋雨量只與走過的路程有關。所以速度愈大，淋雨量愈小，這是個最優解問題。考察題幹，這是乙個實際物件的特性隨時間變化的過程，由此可用微分方程模型求解。
4.1.2 模型建立
在微分方程中，上表面所淋雨對時間的導數即為單位時間內上表面所接受雨量，即得微分方程
而在本題中
，所以要求得淋雨量與速度的關係只需進行函式積分。
又由分析可知側面所受雨量為一常數。所以僅需在方程後加上即可。
即為前表面淋雨量，對於的求解，可以建立兩種模型，
（1） 將雨水看做是均勻地分布在空間中的，單位體積內的雨量根據降雨量可以求得：
人行走在乙個均勻布滿雨水的空間中，走過的體積乘以單位體積的雨量即為人的前表面的淋雨量，即
（2） 以人為參考係，對人的速度和雨水的速度進行向量加和，得圖：
人的前表面單位時間的淋雨量即為陰影部分地面單位時間的淋雨量，
陰影部分的面積為：
陰影部分的淋雨量對時間的導數即為單位時間內上表面所接受雨量，即得微分方程
4.1.3 模型求解
對方程進行積分運算求得
即為前表面淋雨量，兩種方法所求的結果是相同的，均為：
於是求得
帶入資料得
4.2模型2
4.2.1模型分析
本模型用來解決問題二，人的速度不同影響上表面的淋雨時間，進而影響淋雨量。對於前表面，由於雨是迎著人下落的，可以將人作為參考係，這樣就可以將人在水平方向的速度和雨水的速度向量加和。通過作圖分析，人體前面的淋雨量可以等價於一定面積地面的降雨量，即人體前面的淋雨量也可以根據人行速度，以及降雨的角度，雨速建立微分方程。
4.2.2模型建立
（1）建立上表面淋雨量模型
人的上表面的淋雨量對時間的導數即為單位時間內上表面接受的雨水量，即可建立淋雨量關於時間微分方程：
而在本題中，
所以要求上表面的淋雨量只需要對淋雨量與時間，時間與速度的函式進行積分，即可求得人體上表面接受的降雨量。
（2）建立前表面的淋雨量模型
只需要考慮人的前表面，畫出題目中的
以人作為參考係，將人的水平方向的速度和雨的速度進行向量加和，得圖：
b人前表面的淋雨量即為陰影部分的淋雨量,
陰影部分的面積：
前表面的淋雨量對時間的導數即為單位時間內陰影部分表面接受的雨水量，即可建立淋雨量關於時間微分方程：
全程所用時間：
所以要求人前表面的淋雨量即可對陰影部分的淋雨量與時間，時間與速度的函式進行積分，即可求得前表面的淋雨量。
4.2.3模型求解
通過分別對模型2中的前表面和上表面的函式進行積分，得到淋雨量與人行速度和降雨角度的關係式。
對上表面微分方程進行積分得：
對前表面微分方程進行積分得：
其中中常數c和中的常數c均為0，因為淋雨量除了上表面和前表面的淋雨量沒有其他部位的淋雨量。
而人的總的淋雨量等於前表面和上表面淋雨量的加和，即總淋雨量與速度及引數之間的關係：
整理得：
根據分析，當人行的速度最大時總淋雨量最小。
當=0時：
當=時：
4．3模型3
4.3.3.1模型分析
對於問題3，雨從背面而來，左右表面不接受雨，因此將人的淋雨量分為兩個部分，即上表面接受的雨量和前（後）表面接受的雨量。同問題2一樣，上表面接受的雨量是相同的。根據分析，當人的速度大於雨速的水平分量時，人的前表面會沾雨後表面不沾雨；當人的速度小於雨速的水平分分量時，人的前表面不沾雨而後表面會沾雨。
故以人作為參考係，將人的速度與雨的水平速度進行向量加和，人的前（或後）表面接受的雨量即等價與沿著雨的方向將人投影到地面上對應的地面所接受的雨量。由此，可建立微分方程模型求解。
4.3.2.2 模型建立
（1）人的速度小於雨水的速度，人的後方淋雨。
以人為參考係，將人的速度與雨水的速度合成，得到一新的雨水與人的夾角且滿足如下關係。
所以人投影到地面的面積為
對整個地面的淋雨量求時間的微分得到地面單位時間內接受的雨量
同樣，上表面接受的雨量滿足如下微分方程：
（2） 模型求解
對微分方程兩邊同時積分可得
所以兩邊相加可得
（3）模型建立
當人的速度大於等於雨水在水平方向上的速度時，該模型與問題2相同，建立相同的模型求解。
人的上表面的淋雨量對時間的導數即為單位時間內上表面接受的雨水量，即可建立淋雨量關於時間微分方程：
而在本題中，
所以要求上表面的淋雨量只需要對淋雨量與時間，時間與速度的函式進行積分，即可求得人體上表面接受的降雨量。
對於前表面，以人為參考係，對人的速度和雨速進行水平方向的向量加和，得圖：
人的前表面的淋雨量即為地面陰影部分的淋雨量。
陰影部分的面積為：
前表面的淋雨量對時間的導數即為單位時間內陰影部分表面接受的雨水量，即可建立淋雨量關於時間微分方程：
全程所用時間：
所以要求人前表面的淋雨量即可對陰影部分的淋雨量與時間，時間與速度的函式進行積分，即可求得前表面的淋雨量。
4.3.2.3模型求解
通過分別對模型3中的前表面和上表面的函式進行積分，得到淋雨量與人行速度和降雨角度的關係式。
對上表面微分方程進行積分得：
對前表面微分方程進行積分得：
其中中常數c和中的常數c均為0，因為淋雨量除了上表面和前表面的淋雨量沒有其他部位的淋雨量。
而人的總的淋雨量等於前表面和上表面淋雨量的加和，即總淋雨量與速度v及引數a, b, c, d, u, w, 之間的關係：
對問題3 的分析：儘管針對人行的速度有著不同的模型，但是兩個函式關係式可以進行統一，
即當人行的速度與雨水的水平速度即v=時，人的淋雨量最小。其他情況人行的速度越大，淋雨量最小。
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