原作: alec wilkinson編譯：潘穎陳曉雪
接受《紐約客》專訪時，張益唐59歲。僅僅兩年前，他不過是個美國非一流大學的普通講師，只發表過兩篇**，沒有研究經費，曾有近十年的時間找不到學術職位，「流浪」美國各州，不時借住朋友家安身。
2023年5月，他因出色地證明了乙個關於素數分布的「里程碑式的定理」而蜚聲全球。英國著名數學家哈代說，數學比起其他技藝和科學來，更像是「年輕人的遊戲」，沒有哪乙個重大成就是50歲之後提出來的。然而張益唐用天才般的工作證明：
年齡、職位、**統統不是登頂的「標配」。
2月2日，《紐約客》雜誌正式刊發特約撰稿人亞歷克·威爾金森（alec wilkinson）專訪張益唐的長文。《賽先生》求教一流數論專家，補正部分內容，力求準確編譯，以饗國內讀者。
華人數學家張益唐。 peter bohler/圖
張益唐證明了什麼
張益唐所做的工作通常被稱作「素數間的有界距離」，是「孿生素數」猜想證明的弱形式。
所謂「素數」，又稱「質數」，是指只能被1和它本身整除的數字，例如：2、3、5、7等等。但隨著數字增大，素數在數軸上的分布越來越稀疏。
想像一條數軸，普通數字是綠色的，素數是紅色的。軸線開始時有許多紅色的數字：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、41、43和47，它們都是小於50的素數。
在1-100之間有25個素數，1到1000之間有168個素數，1到100萬之間有78498個素數。素數越來越大時，它們變得越來越稀少，素數與素數間的平均距離越來越大。那麼，相鄰兩個素數之間的距離是否是有限的呢？
特別是當數字趨於無窮大時，乙個數字的位數之多需要一本書的厚度才能寫下，此時是否還能找到相鄰的兩個素數呢？
沒有乙個方程式可以預言素數的分布特徵——它們看起來非常隨機。歐幾里得在西元前300年證明存在無窮多個素數，但並沒有證明兩個素數之間的距離可能是多遠。他曾大膽猜想：
存在無窮多對之差為2的素數。由於人們把這種素數對稱為「孿生素數」，如（3,5），（11,13），因此這一猜想被稱作「孿生素數猜想」。
2023年，法國數學家阿爾方·波利尼亞克提出了更一般的猜想（即「波利尼亞克猜想」）：對所有正整數k，存在無窮多個素數對（p，p+2k）。k=1時就是孿生素數猜想，而k等於其他正整數時就稱為弱孿生素數猜想。
2023年，德國數學家大衛·希爾伯特在巴黎舉行的第2屆國際數學家大會上發表題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是19世紀數學的研究成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題（通稱「希爾伯特問題」）；孿生素數猜想是希爾伯特問題的第8個的一部分（和「孿生素數猜想」一起被提出的，是著名的「哥德**猜想」和「黎曼猜想」）。
張益唐的**《素數間的有界距離》就是「孿生素數猜想」的弱化版，他證明了在數字趨於無窮大的過程中，存在無窮多個之差小於7000萬的素數對。
此前最接近證明孿生素數猜想的一次努力，是聖何塞州立大學的教授丹尼爾·戈德斯通（daniel goldston）、布達佩斯阿爾弗雷德·萊利（alfréd rényi）數學研究所研究員平茲（jános pintz）和伊斯坦堡海峽大學的伊爾迪里姆（cem yildirim）教授於2023年共同開展的一項工作。不過，一直到2023年，關於孿生素數猜想的研究仍沒有取得任何進展。goldston認為，他在有生之年可能都看不到答案，「我曾以為解開這個難題是不可能的了。
」儘管張益唐得到的7000萬這個結果看起來與2還有很大差距，但國際數學界公認這是一項偉大的成就。英國《自然》雜誌稱張益唐的工作為乙個「重要的里程碑」。美國數學家丹尼爾·戈德斯坦說：
「從7000萬到2的距離相比從無窮大到7000萬的距離來說是微不足道的。」他認為，每縮小一段範圍，都是在獲得終極答案（k=1）道路上的乙個腳印。
「你必須想像這完全是從無到有，」麻省大學波士頓分校的數學系主任埃里克·格林貝格（eric grinberg）說。「我們確實不知道。這就像我們以為宇宙無限大，沒有界限，卻發現它在某個地方存在終點。
」想象有一把度量綠色與紅色數字的尺子。張益唐選擇了一把長度為7000萬的尺子，因為這麼大的數字更容易證明他的猜想。（如果他已能證明孿生素數猜想，這把尺子的長度就是2。
）我們可以拿這把尺子沿數軸移動，無數次地將兩個素數圈起來。但圈住無窮多個數不一定就是圈住了所有的數，因為有一些情況，比如有無窮多個數是偶數，但還有無窮多個數是奇數。同樣道理，這把尺子也能沿著數軸移動無數次時，但圈不到兩個素數。
從張益唐的結果來看，他的推導是成立的，存在無窮多個之差小於7000萬的素數對。接受《紐約客》採訪的一位數學家解釋說，這是根據鴿巢原理推出的。假設有7000萬個鴿巢和無窮多隻鴿子，每只鴿子代表乙個素數對。
把之差為2的素數對（鴿子）放進乙個鴿巢，之差為3的放進另乙個鴿巢，以此類推，把所有間隔不同的素數對（鴿子）都放進乙個鴿巢。最後，會有放了無窮多隻鴿子的鴿巢，但無法知道具體是哪乙個鴿巢有無窮多隻鴿子，不過至少有乙個鴿巢裡有無窮多隻鴿子。
引來全球數學家開展競賽
發現存在無窮多個素數對的那個最大的素數間隔後，張益唐對找到間隔的最小數並不感興趣。他覺得這種工作純粹只是個技術活，一種體力勞動——一位傑出的數學家把這種行為叫做「追趕救護車」。
不過，張益唐研究成果面世不到一周，就引來全世界數學家的圍觀，他們競相重新整理這個最小距離數。圍觀者當中就有31歲即獲得「菲爾茨」獎（數學界的最高榮譽）的著名數學家陶哲軒（terence tao，生於澳大利亞的華人家庭），他現在是加州大學洛杉磯分校的教授。他希望建立乙個合作專案，讓數學家一起工作去尋找更小的數字，而不是「搶奪領先的位置」。
他建立的這個專案名為polymath-8（博學者8號難題），於2023年6月正式啟動，持續了大約一年時間。憑藉英國一位年輕數學家james maynard的貢獻，專案參與者逐漸將無窮多個素數的差縮減到246。但「數字減小的同時也發現一些問題，」陶哲軒說，「需要越來越多的計算機資源——有人為了做乙個計算要讓一台高效能的計算機執行兩周。
此外也有些理論上的問題。用現在的方法，我們不可能得到比6（即k=3）更好的數字。因為存在奇偶校正問題，沒有人知道如何繞過這個檻。
」 陶哲軒說：「我們並沒有強烈地認為，我們可以把數值減小到2，從而證出孿生素數猜想，但這是段有趣的旅程。」
張益唐對數學最重要的貢獻
張益唐的方法，本質上是篩法，而篩法的一大問題，是所謂的「奇偶性問題」。有學者撰文介紹稱，簡單來說，如果乙個集合中所有數都只有奇數個素因子，那麼用傳統的篩法無法有效估計這個集合至少有多少元素。而素數組成的集合，恰好屬於這種型別。
要想打破奇偶性問題的詛咒，可以將合適的新手段引入傳統篩法，藉此補上篩法的缺陷。張益唐的出發點——之前提到的goldston、pintz和yildirim的結果——正是這種新思路的成果。
當張益唐在辦公室被問到當時是如何找到解開問題的鑰匙的。他在白色黑板上寫下：「goldston-pintz-yildirim」和「bombieri-friedlander-iwaniec」。
他說：「第一篇**是關於有界距離的，第二篇是關於在等差數列中的素數分布的。我把這兩篇**做了比較，加上我自己的創新，這些創新是基於我在圖書館多年閱讀而來的。
」普林斯頓高等研究院（ias）教授、2023年沃爾夫獎得主彼得·薩納克（peter sarnak）在談到張益唐是如何取得現在的結果時說：「他所做的事看起來都遙不可及。這個問題在40年前或許毫無希望，但2023年，goldston-pintz-yildirim三人的工作使這個問題有了解決的曙光，讓每個人都覺得已經非常接近結果了。
但直到2023年，都還沒人取得任何進展。bombieri、friedlander與iwaniec（伊萬尼克，解析數論大師）做了其他方面的重要研究，但似乎無法將他們的成果與此前goldston的研究聯絡起來。因為他們的研究不夠靈活——帶有某些附加條件。
然後張益唐出現了。很多人像使用電腦那樣使用定理。他們認為，如果定理是正確的，那很好，我就可以用它。
但是你不能使用bombieri-friedlander-iwaniec的工作，因為它不夠靈活。你得相信我的話，因為即便對乙個認真的數學家來說，這也很難解釋。張益唐對技巧理解得足夠深刻，所以他才能夠修正bombieri-friedlander-iwaniec的工作，跨越這個門檻。
這是他對數學最重要的貢獻。他將bombieri-friedlander-iwaniec對素數分布的分析技術改進成研究任何種類的素數的工具。始於18世紀的理論因他而得到了進一步發展。
」「我們的條件需要放寬，」iwaniec說，「我們嘗試過，但是我們無法去掉這些條件。我們嘗試的時間不長，因為失敗後你就開始思考是不是存在一些天然的屏障，所以我們放棄了。」
當他被問到對張益唐的結果是否感到意外時，iwaniec說：「張益唐的工作很轟動」，「他的工作是絕無僅有的。談起數論，有大量的美是（鐘錶般）精密的。
某種程度上，張益唐對解決問題的形勢完全心知肚明，即便他獨自一人工作，這是他驚喜的原因，隨後他就令人驚訝地改進了那些**中的引數。」
張益唐利用的篩法是一種非常複雜的尋找素數的形式。篩法是阿基公尺德時代的希臘數學家埃拉託色尼(eratosthenes)發明的。其方法是，比如要找出1000以內的素數，就要寫下所有的數字，然後劃掉2的倍數，再劃掉3的倍數，5的倍數，以此類推，最後剩下素數。
在「埃氏篩法」後，有一些數學家陸陸續續做過一些改進。
而張益唐使用的篩法不同於別人用過的篩法。隨著素數間隔的增大，先前的篩法網出的素數對的間隙越來越大，因為他們用來估計的不等式引數不精確。goldston-pintz-yildirim三人用先前的篩法已經證明，存在無窮多個素數對，它們之間的距離總是小於連續素數的平均距離，但不能確定這個距離是多少。
張益唐部分成功地精細化了篩法的選擇性。
部分孿生素數。
靈感來臨的剎那
張益唐曾經在素數的有界距離問題上埋頭苦幹了三兩年而一無所獲。他說那時看不到任何希望。「我一直在想，解決問題的大門在哪。
」張益唐說：「歷史上許多數學家相信這個問題是能解決的，但他們都沒找到門路。我嘗試過幾種辦法後，開始有點擔心這個問題沒有解決的辦法。
」「你那時沮喪嗎？」
「我覺得很疲倦。」他說：「但很多時候我很平靜。
我喜歡散步時思考，這就是我的工作辦法。我妻子來看我時會問我在做什麼，我回答她說，我的工作就是思考（i』m working，i』m thinking）。」
然而轉機出現了。2023年7月3日下午，靈感突然而至，只有5-10分鐘的時間，解決問題的大門向他敞開了。
彼時，張益唐正在科羅拉多州普韋布洛的朋友指揮家齊光（jacob chi，華人指揮家）家中做客。齊光是科羅拉多州立大學普韋布洛分校的**教授。幾個月之前，齊光請張益唐來家兌現他早前承諾教齊光兒子朱利爾斯（julius）微積分的承諾，因為julius那時正要公升入高中。
就這樣，張益唐在齊光家中住了乙個月。每天早上，他教julius大約一小時數學。「他沒有固定的教程，」julius說，「所有東西都在他腦子裡。
他甚至連**號碼本都沒有，所有人的**他都記得。」