學為中心，執錯尋源，減負增效
桐鄉【關鍵詞】錯誤資源建構主義減負增效
心理學家桑代克認為：「嘗試與錯誤是學習的基本形式」。在學習的過程中難免犯錯，而數學錯誤，就是學習者在數學學習過程中由於知識、學習者思考方式或者教學方式等問題而引發的對數學知識形成的誤讀現象。
然而，錯誤的出現並不可怕,教師也要允許學生犯錯，而關鍵之處在於，教師要及時、準確地矯正學生的錯誤。歐內斯特在《數學教育哲學》中指出：「數學知識是可以糾正的且永遠要接受更正」。
數學錯誤如果得不到及時糾正，將直接影響到後續數學知識的學習，同時還會影響數學學習的興趣和信心.
《義務教育數學課程標準》也明確要求：「教師要有耐心地引導他們分析其產生錯誤的原因，並鼓勵他們自己去改正，從而增強學習數學的興趣和信心」。由此，筆者認為，在初中數學教學的過程中，教師應用生成性資源的眼光看待錯誤，力求以「錯」啟「智」，從數學教學的針對性和有效性出發，最大限度地發掘數學錯誤的教育潛能，讓學生學會分析錯誤，在糾錯、反思中感悟道理，領悟方法，發展思維，培養能力，實現創新，從而促進學生的全面發展。
在此，筆者結合自身的相關教學實踐對初中數學錯誤作乙個簡要而相對系統的梳理，對初中生數學習題錯誤產生的原因進行分析，力求探索出一些有效的措施來降低初中生數學習題的錯誤率，提公升學生矯正能力，解題能力，以期對數學教學有效性研究提供一定的幫助。
當前學生在平時習題或者考試中的犯錯常有以下幾類：
1.對數學概念的片面認識導致的錯誤
沒有準確掌握概念或者說概念模糊，從而導致解題錯誤。數學概念是人類對現實世界的空間形式和數量關係的簡明概括及反映，它是數學學科的精髓、靈魂，數學概念是數學知識體系中的核心內容，在數學教學中佔據極其重要的地位，是學生進行計算、解題、證明的依據。不少學生由於對概念的內涵與外延不夠清晰產生片面理解，以概念的非本質屬性代替概念的本質屬性，由此在解決數學問題時常引起不必要的錯誤。
案例1：已知一元二次方程有一根是0，則
錯解：把x=0代人，得到a=0或a=2
錯誤原因分析：表明上看是對一元二次方程概念的認識模糊，把存在的基本條件：二次項係數不能為0給忘了，實質上是對這一類概念問題的認識不清：
以前學一元一次方程ax+b=0和一次函式y=kx+b時，就曾犯過忘記a不等於0和k不等於0的錯誤，此題犯錯是對這類題犯錯的延續，學分式時，也常常忘記分母不為0的限制條件，此題犯錯是對這類題犯錯餓習慣，若對此類問題糾錯不到位，那麼在以後學習二次函式和反比例函式時，還會犯同樣錯誤。很多學生在說概念時不會錯，但運用時卻總錯，缺少思維的嚴謹性。這種錯誤不僅學困生會錯，學習程度好的學生也會犯錯。
又如嘉興市2023年度第一學期七年級期末測試題中有一道填空題，題目如下：請你寫出只含有字母x的乙個二次三項式________。在閱卷過程中，發現得分率非常低。
主要錯誤有（1）;（2）;（3）;（4）。
錯誤原因分析：學生對於二次三項式的定義不清楚，或者說沒有把握住二次三項式這個數學概念的基本屬性而導致這樣或那樣的錯誤。
一些學生數學成績之所以差，概念不清往往是最直接的原因。忽視概念教學，造成學生不能正確理解概念，不能準確把握概念，不能靈活運用概念，片面追求「巧解」，掩蓋了基本思想方法的滲透，造成上課一聽就懂，課後一做就錯的不良後果。
二.題目的條件挖掘不夠或者忽略題目中的隱含條件而導致出錯
筆者從課堂教學所反饋的資訊來看，導致學生犯錯的其中乙個原因就是學生對隱含條件的關注不夠或不善於挖掘題目中的隱含條件。所謂「隱含條件」是指題目的條件中未明確給出但客觀存在的數學事實。作為不明顯展露的已知條件，它常常巧妙地隱藏在題目的背後，極易被解題者忽視。
例：已知，則函式一定經過哪個象限。
誤解： ，，所以對於函式即函式一定經過第
一、二、三象限。
分析： ，成立的條件是，而題目的已知條件沒有，是故要分類討論：1）當， ，影象過
一、二、三，2）當時，則，所以，所以影象過第
二、三、四；所以本題答案是一定過
二、三象限。
例4、已知是方程的一根，求作以和為根的一元二次方程。
誤解：把代入原方程，得。解之得：，。
⑴當時，，，∴所求的一元二次方程為；
⑵當時，，，∴所求的一元二次方程為。
分析：此解主要錯在未考慮到這一問題。因而應捨去。
正解應為：所求的一元二次方程為
以上幾個錯誤時平時考試或習題中，學生很容易犯得錯誤，學生
3因思維定勢負遷移而導致出錯
學生已經學過的知識、技能、方法會對學習新的知識、技能、方法產生一種影響和作用，這種由學生先前的活動和知識經驗、思維方式或習慣等構成的心理準備狀態，對後續思維產生的傾向性影響，在數學上稱為「思維定勢」。思維定勢是客觀存在的，積極的思維定勢會促進正遷移，使人能夠迅速聯想和使用已有的知識與技能來分析和解決問題，消極的思維定勢會嚴重地干擾和抑制學習的順利進行，誘發負遷移，表現出思維僵化、呆板等封閉性，不能從多角度、全面地、整體地看問題。數學思維定勢負遷移的形成，主要與學生個體的思維智力品質和思維方式有關。
在當前學生的作業或測試所犯錯誤中，因思維定勢負遷移而導致出錯的比例很大。
這些錯誤的出現是因為學生沒能深入理解數學知識的實質，沒有考慮一些數學的定理、公式成立的條件，只是生搬硬套。這種生搬硬套是思維膚淺的體現。
案例：函式的影象與x軸有且只有乙個交點，則
錯解：1或9
錯誤原因分析：對於本題，我發現許多學生會根據題中的條件「」，想當然地判定該函式就是二次函式，然後由「影象與x軸有且只有乙個交點」得到0，即。通過引導學生進行辨析、爭論，學生認識到，已知條件中y是函式，並不一定是二次函式，因此還需要考慮一次函式的情況，正確的答案是1、9、0.
可見，在課堂教學中，學生在解題過程中容易在思維定勢的消極影響下，對數學問題中的隱含條件缺乏深入的挖掘，忽視題目中的已知條件和定義、定理和法則的先決條件，出現盲目套用以前的思維模式的傾向，以致濫用模擬、以偏概全，出現各種錯誤。學生對於此類錯誤，一旦看到錯了，不用別人幫他分析，就能明確知道自己錯了，並理所當然歸因於自己「沒有看清題目」、「大意」等，卻不知這些都是由於思維定勢而導致的，如果不加以重視，這類錯誤還會出現。因此，教師要引導他們大膽爭論，通過發現錯誤----分析反思----解決問題，培養學生細緻審題的習慣，以期有效地打破思維定勢，進而收到良好的教學效果。
策略：從以上學生發生錯誤的型別和原因分析中，可看到一些規律的東西，了解這些規律的東西，對教師鑽研教材、備課都大有幫助，在備課時，老師要抓住主要矛盾，重點講解，預先採取教學措施以防止和糾正學生發生這些錯誤，要解決好兩個問題：乙個是防止錯誤發生，乙個是錯誤發生了怎樣去糾正它，這兩者是相互聯絡，兩者相比：
「防」重於「治」
一要重視數學概念教學
數學是由概念與命題等內容組成的知識體系。數學概念是反映數學物件的本質屬性的思維形式，是數學基礎知識的核心，是形成數學知識體系的主要元素，也是匯出數學定理和數學法則的基礎。正確理解數學概念是系統掌握數學基礎知識的前提，也是進行判斷、推理、計算和證明的依據，因此，搞好數學概念教學是至關重要的一項內容。
一些學生數學成績上不去，「上課一聽就懂，課後一做就錯」，概念不清往往是最直接的原因。教學過程中如果能夠充分重視概念教學，抓住有限的概念教學的契機，幫助學生了解數學概念發生發展的過程，把握數學概念本質特徵，掌握數學概念在解決數學問題中的應用，可以有效地訓練數學學習的思維，培養學生的創新精神和創造能力，提高數學教學效益。一般情況，概念教學應該經歷以下幾個基本環節。
1.1說出概念，突出關鍵詞
數學概念嚴謹、準確、簡練，教師的語言對於學生感知教材，形成概念有重要的作用，因此，要特別注意用詞的嚴格性和準確性。教師要用生動、形象的語言講清楚概念的每個字、詞、標點符號的意義，特別是關鍵的字、詞、句，這是指導學生掌握概念，並準確認識概念的前提。
例如：在學習「分解因式」概念：把乙個多項式化成幾個整式的積德形式，這種變式叫把這個多項式分解因式。
在教學中學生往往只關注「積」這個關鍵字，而忽略了"整式"，容易造成： 也是分解因式的錯誤認識。所以在教學中務必強調。
並與學生分析這兩處關鍵字的含義，加深學生對分解因式概念的理解
2分析概念，抓住本質
數學概念大多數是通過描述定義給出它的確切含義，它屬於理性認識，但**於感性認識，所以對於這類概念一定要抓住他的本質屬性。
案例：互為補角概念：如果兩個角的和是平角，則這兩個角互為補角，其本質屬性：
1）必須具備兩個角的和為180°，乙個角為180°或三個角的和為180°都不是互為補角，互為補角只能就兩個角而言。2）互補的兩個角只是數量關係，這與兩個角的位置無關。通過對這兩個本質屬性的分析，學生對互為補角有了全面的理解
3深化概念，有效練習
數學概念都是從正面闡述，一些學生只從文字上理解，以為掌握了概念的本質，而碰到具體的數學問題卻難以作出正確的判斷。因此，在教學過程中必須在學生正面認識概念的基礎上，通過反例或變式從反面或側面去剖析數學概念，突出物件中隱藏的本質要素，加深學生對概念理解的全面性。
案例：判斷下列說法是否正確：1）a的相反數一定是- a零沒有相反數，2）正數的相反數一定是負數，正數和負數互為相反數3）正數的絕對值是他本是，絕對值等於他本是的數是正數4）兩個數的絕對值相等，那麼這兩個數必定相等5）任何數都有他的相反數，乙個數的相反數肯定是非負數。
二\培養學生的發散性思維，擺脫思維定勢的消極影響
發散性思維是指對同一**的材料，從多個方向、多個角度去思維，盡量提出多方面的思考，得到多種多樣的答案。它能充分培養學生的思考能力，克服思維定勢帶來的片面考慮問題，單一思路的消極影響。在教學中可以通過一題多解、一題多變、逆向思維等訓練，提供給學生更多的參與機會，培養學生的發散性思維能力，擺脫思維定勢的消極影響。
2.1一題多解：一題多解要在弄清題意的前提下，引導學生找出所有可以利用的因素，從不同的角度，運用多學科知識去思考探索，尋求多種可能的解題途徑，培養學生靈活運用各種解題的能力，使其擺脫解法單一的思維定勢。
對於「一題多解」，筆者覺得應該從兩個方面來入手：第一，同乙個問題，用不同的方法和途徑來解決；第二，同乙個問題，其結論是多元的，即結論開放性問題。一題多解，有利於溝通各知識的內涵和外延，深化知識，培養發散性思維和創造性思維，有利於避免學生思維定勢。