第２ｏ卷第３期２０１２年９月
技術物理教學
ｓｅｐ．２０１２
動態直流電路的分析方法
張永超（鄭州測繪學校，河南鄭州４５００１５）
動態直流電路分析是普通物理電學的乙個重難
點，有不少作者對此問題做過分析，但大多是根據經驗來討論，鮮有對此問題從數學本質上進行理論分析。本文將用初等數學函式的單調性原理來分析動態直流電路問題。目的有三：
一是加深學生物理和數學規律的雙向理解：二是引導學生靈活運用數學工具去分析實際問題，做到數理結合，從而使一部分較複雜的物理分析轉變為數學分析，降低物理分析的難度；三是拋磚引玉。
分析實際物理問題時，所對應的物理量一般沒有負值，所以，以下函式單調性分析的區間預設為是非負數區間。為了簡化寫法，以下數學分析過程中用「（個）」表示函式的單調增加性質，用「（）」表示函式的單調減小性質。
中學教材中已經解析過的初等函式的單調性在此不再描述，分析動態直流電路常用到以下函式及其函式的運算。
ｇ／ｌ＂＾
函式１：一次分式函式：ｆ（ｘ）：二
ｃｘ＋ｄ
，（ｂｃ—ａｄ≠０）
十一ａ＝—ｋ—
＋ｈｃｘ＋ｍ其中後：—ｂｃ－ａｄｄａ
，１７１：一
，力：一
。ｃ『ｃ
ｃ所以，廠 ）的影象是由，（）：的影象
先向左平移ｉｌｌ，再沿ｙ軸方向拉伸ｌｋｉ倍，向上平移
ｒｌ形成的。因此，ｆ（ｘ）的單調性如下表：
大小ｋ的ｋ
＞０（或ｂｃ—ａｄ＞０）
ｋ＜０（或６ｃ—ａｄ＜０）
單調在（一，～鳥和（一生，＋
在（一，一烏和（一，佃）
性均為單減函式ｃｃ
均為單增函式ｃｃ
。函式２：復合函式或寫為：
單調性的判定方法為：「增增得增，減減得增，增減得減」，可以簡化為「同增異減」。
函式３：函式的運算：
設ｆ（ｘ）＞０和ｇ（）＞０，則在ｆ（ｘ）的單調增區
間上，或者ｆ（ｘ）與ｇ（）的單調增區間的交集上，經過函式運算所得的新函式的單調性如下：
（１）廠（ｘ）和ｇ（ｘ）均為增函式時，，（）＋ｇ（ｘ）和廠 ）ｇ（ｘ）均為增函式；
（２）ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）均為減函式時，ｆ（ｘ）＋ｇ（）
和／ ）ｇ（）均為減函式。
以下通過例題來分析函式單調性在動態直流電
路的應用。
例題ｌ：在右圖所示，分壓電路由滑動ｒ２
變阻器ｒ。（滑動變阻
器的最大阻值為ｒ ）
和電阻ｒ，組成。求電路的總電阻。
分析：當滑鍵在最左端和不在最左端時，電路結構發生了變化，計算方式也發生了變化，所以，
此題應分為兩種情況：一般情況（滑鍵不在最左端時）和特殊情況（滑鍵在最左端時）。
設滑動變阻器中與電阻併聯的那一段電阻為ｒ ，則電路的總電阻為 ｌ２舍。
（－－）一般情況：當滑動變阻器的滑鍵不在最左端時，即ｒ ≠０時，
＋器＝矗枷
１．數學形式
其中一 ，ｈ（ｖ）＝二
２．單調性分析：在 ∈（０，ｒ］內，可做如下推
導：１、］
廳ｖ＝．．
＋…（ｂ個１ｆｌ＝＝＞（函式２姒。瑁公升慨 ｆ「同增異減，｝．．
ｇ（）＝一
（）ｊｊ
ｐ（ｕ）＝ ＋
（下）。
」＝ｇ（向（ｖ（）ｆ，／）
（，函式３「函式運算』
ｙ：ｐ（ｕ）＋口 （ｊ，）
ｆ函式２「同增異減』
３．還原物理含義：由以上單調性分析可得，在
（ｏ，ｒ１］內，當滑鍵向右滑動過程中，隨著的增大，
ｒ 合逐漸減小。當滑動變阻器的滑鍵移至最右端時，即ｒ ＝ｒ１，
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總電阻有最小值
‰＋＝。
（二）特殊情況：滑動變阻器的滑鍵在最左端時，即ｒ ＝０時，電阻 ２被短路，此時總電阻
ｒ１２合＝ｒ１。
（三）分析極值：
使用作差法比較特殊情況（ｒ ＝０）和～般情況下（ｒ ≠０）電路總電阻的大小關係：
因為（ｒ￣－ｒｘ＋
）＝（注意此時尺 ＞０）
所以，ｒ ＝０時，電路的總電阻最大，因此，
ｒｌ２合為減函式。
（四）結論：由以上分析可知，
合在滑動變
阻器的滑鍵由最左端移至最右端的過程中，ｒ 逐漸增大，電路的總電阻逐漸減小。當滑鍵在最左端時，ｒ ＝０，電路的總電阻最大，
２合一＝ｒ ：當滑
鍵在最右端時，ｒ ＝ｒ 電路的總電阻最小，所＝
。例題２．如右圖所示，電源電動勢和內阻分別為和ｒ，電路中ｒ，、
ｂ是定值電阻，冠是最大阻值為足的滑動變阻器，電路中的電壓表和電流錶均視為理想的。當
ｒ的滑鍵由左端向右端滑動時，分析各個電表的示數怎樣變化？
解析：設中和併聯部分的電阻為。（一）分析電路的總電阻：
設ｒ。和尺所組成的電路的總電阻為ｒ。：含。由例題１可知，電路的總電阻ｒ總＝ｒ１２合＋ｒ３＋ｒ。（式ｉｉ）
１．數學形式
其中臺（）（參見式ｉ），
ａ＝ｒ３十，．為常數且大於零
２．單調性分析：在ｘ∈［０，ｒ，］內，可做如下推
導：廠（「）＝「＋口廠
＝ｐ（）（）ｊ（函式２「同增異減』
３．還原物理含義：由以上數學分析可得，在滑
動變阻器的滑鍵由最左端移至最右端的過程中，隨
８６著ｒ 的增大，電路的總電阻逐漸減小參照例題１
可得（二）分析電路的總電流：』總
（式ｉｉｉ）
１．數學形式：ｙ＝ｇ ）＝口ｕ。
其中ｕ＝ｈ（ｖ）＝二，ｖ：廠 ）＝ｒ總（）（參見式ｉｉ），口
２．單調性分析：在 ∈［０，ｒ］內，可做如下推
ｖ（＝廠
）（ｒｌ、
、ｌ）ｆｊ函式２姒峭開 ｆ「同鼻減，－、、／，｝｝
ｊｇ（ｕ）＝口「 （，ｒ）ｊ個）
．『函式２「同增異減」
３．還原物理含義：由以上數學分析可得，在滑動變阻器的滑鍵由最左端移至最右端的過程中，隨
著ｒ 的增大，電路的總電流逐漸增大，所以電流錶
的示數隨之增大。
（三）分析外電路的路端電壓端：端＝ｅ一總ｒ（式ｉｖ）
１．數學形式
其中「＝ｇ（ｘ）＝ （個）（參見式ｉｉｉ）
２．單調性分析：在ｘ∈［０，ｒ 】內，可做如下推
（「）＝口－十
函式２「同增異減』
３．還原物理含義：由以上數學分析可得，在滑
動變阻器的滑鍵由最左端移至最右端的過程中，隨
著ｒ 的增大，電路的路端電壓逐漸降低。所以，電
壓表（ｖ＿）的示數減小。
（四）分析上的電壓 ：ｕ ＝，總 ３（式
１．數學形式
其中「＝ｇ（ｘ）：ｉ總（ｔ）（參見式ｉｉｉ），
ａ＝ｒ３＞０。
２．單調性分析：在ｘ６［０，ｒｉ］內，可做如下推
：ｇ（）（個）ｊｆ，函式２「同增異減』
３．還原物理含義：由以上數學分析可得，在滑
動變阻器的滑鍵由最左端移至最右端的過程中，隨
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著的增大，上的電壓隨之增大。所以，所
，－＝ｒ２
。以電壓表④的示數增大。
（五）分析ｒ１上的電壓ｕ１：ｕ１＝ｕ端一ｕ３（式
ｖｉ）ｒ ＋ｒｅ＝
＝ｒ￣ｒ２－一十
＋１．數學形式：ｙ＝ｈ（ｘ）十ｍ（ｕ）。
其中ｈ（ｘ）＝ｕ端（ｊ，）（參照式一「，
：＝＋，＋，一●旦
ｅ尺一一參見式ｖ）。
、●●川
２．單調性分析：在 ∈［ｏ，ｒ 】內，可做如下推
導（＝ｒ「）（＝一
函式２「（ｒ同增異減
＝＞（）（）ｊ
＝涵數３「函式運算
３．還原物理含義：由以上數學分析可得，在滑
動變阻器的滑鍵由最左端移至最右端的過程中，隨著ｒ 的增大，ｒ 上的電壓【，ｌ逐漸降低。所以，電
壓表④的示數減小。
（六）分析 ２兩端的電壓和電流厶：設和的合電阻為ｒ，則。（刪
ｒ１．數學形式：ｙ＝ｇ（））。
其中ｇ（ｘ）＝，總（１、）（參見式ｉｉｉ）
（「）＝
，「＝ （ｘ）＝一ａ，口＝ｒ２＞０。
２．單調性分析：在ｘ∈［ｏ，ｒ１】內，可做如下推
導：ｇ（）（１、）
（函式３「函式運算』
３．還原物理含義：由以上數學分析可得，在滑
動變阻器的滑鍵由最左端移至最右端的過程中，隨
著ｒ 的增大，ｒ２上的電壓【，逐漸增大。根據歐姆
ｕ定律，通過的電流 ：＝
也隨之增大。所以，
２電壓表（的示數增大，電流錶④的示數增大。
（七）分析通過電流錶④的電流強度』。：
（式ｖｉｉｉ）
１．數學形式：：）＝一ａ函。
「數其中ｕ＝ （＝一ｘ。＋ ＋ｃ，司減
２．單調性分析：ｕ＝ （）＝一 ＋ｂｘ＋ｃ是二
次函式。在０時，＝ （）（個）；在 ≥ 時，
ｕ＝）（ｊ，）。所以對於「＝ （．ｉｚ））的單調性分以下兩個相連的區間討論：
（１）。≤
時＿ｎ（：廳ｕ）＝蘭函式２＝ （「同增異減，同增異減』（））（ｊ，）
，「：＂（「（）＝蘭函式２ｙ＝ｎ（辦（））（ｔ）
，「同增異減，同增異減』
所以，隨的逐漸增大，復合函式ｕ＝ （（））
先減後增。
３．還原物理含義：由以上數學分析可得，在滑動變阻器的滑鍵由最左端移至最右端的過程中，隨著ｒ 的增大，通過電流錶（的電流強度先減後增。
所以電流錶④的示數先減小後增大。
綜上所述，對於動態直流電路作定性分析時，從數學單調性的角度分析，大多可以得出結果，並且分析過程不算複雜，但需要對常用的初等函式的單調性有較好的掌握。另外，對於較複雜的物理問題，除了做好物理原理的分析外，靈活運用數學知識，可能會有事半功倍的效果。
１．［ｊ］，動態直流電路的分析方法（高繼華）《中學生數理化（高中版）》２００５年１５期８７
直流電路及分析方法
電工理論篇 目錄第一章 電路的基本概念1 第二章電路基礎知識7 第三章電路工作狀態8 第四章基爾霍夫定律10 第五章電壓源 電流源及其等效變換13 第六章電路的分析方法16 第七章電路中電位的計算18 第一章電路的基本概念 電路是電流的通路，是為了某種需要由電工裝置或電路元件按一定方式組合而成。一 ...
2直流電路
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直流電路及其分析方法選擇題
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