【雙曲線】
本卷共100分，考試時間90分鐘
一、選擇題 (每小題4分，共40分)
1. 已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（ ）
ab. c. d.
2. 雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程是（ ）
a． b． c． d．
3. 雙曲線的左準線為，左焦點和右焦點分別為、，拋物線的準線為，焦點為，與的乙個交點為，線段的中點為，是座標原點，則
a． b． c． d．
4. 已知雙曲線的右焦點為f，若過點且斜率為的直線與雙曲線漸近線平行，則此雙曲線離心率是
a． b． c．2 d．
5. 已知雙曲線的乙個焦點與拋物線的焦點重合，且雙曲線的離心率等於，則該雙曲線的方程為（ ）
a． b． c． d．
6. 已知f1、f2分別是雙曲線（a>0,b>0）的左、右焦點，p為雙曲線上的一點，若,且的則三邊長成等差數列，則雙曲線的離心率是
a．2b． 3c． 4d． 5
7. 若雙曲線與直線無交點，則離心率的取值範圍是（ ）
abcd．
8. 設o為座標原點，f1、f2是雙曲線的焦點，若在雙曲線上存在點p，滿足，則該雙曲線漸近線方程為（ ）
a. b. c. d.
9. 若雙曲線的頂點為橢圓長軸的端點，且雙曲線的離心率與該橢圓的離心率的積為1，則雙曲線的方程是
a． b． c． d．
10. 已知焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程是,則該雙曲線的離心率是( )
abcd．
二、填空題 (共4小題，每小題4分)
11. 以f1（-3，0）、f2（3，0）為焦點，漸近線方程為的雙曲線的標準方程是
12. 過雙曲線的右焦點ｆ和虛軸端點ｂ作一條直線，若右頂點ａ到直線ｆｂ的距離等於，則雙曲線的離心率
13. 雙曲線的兩條漸近線與其右準線交於，右焦點在以為直徑的圓內，則該雙曲線的離心率的取值範圍是
14. 雙曲線的乙個焦點是，則的值是
三、解答題 (共44分，寫出必要的步驟)
15. （本小題滿分10分） 設雙曲線的兩個焦點分別為，離心率為2.
（ⅰ）求此雙曲線的漸近線的方程；
（ⅱ）若、分別為上的點，且，求線段的中點的軌跡方程，並說明軌跡是什麼曲線；
（ⅲ）過點能否作出直線，使與雙曲線交於、兩點，且.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
16. （本小題滿分10分）設點在以、為左、右焦點的雙曲線：上，軸，，點為其右頂點，且.
（ⅰ）求雙曲線方程；
（ⅱ）設過點的直線與雙曲線交於不同的兩點、，且滿足, (其中為原點)，求直線的斜率的取值範圍.
17. （本小題滿分12分）設點在以、為左、右焦點的雙曲線：上，軸，，點為其右頂點，且.
（ⅰ）求雙曲線方程；
（ⅱ）設過點的直線與交於雙曲線不同的兩點、，且滿足, (其中為原點)，求直線的斜率的取值範圍.
18. （本小題滿分12分）已知雙曲線c的漸近線方程為，右焦點到漸近線的距離為.
（1）求雙曲線c的方程；
（2）過f作斜率為k的直線交雙曲線於a、b兩點，線段ab的中垂線交x軸於d，
求證：為定值.
答案一、選擇題
1. a2. a3. c
4. a
依題意，應有=，又＝，∴ =，解得e=．
5. a6. d7. d8. d9. b10. a
二、填空題
11. 12. 213. 14. －2
三、解答題
15. 解：（ⅰ）
，漸近線方程為
（ⅱ）設，ab的中點
則m的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為的橢圓。
（ⅲ）假設存在滿足條件的直線
設由（）（）得
∴不存在，即不存在滿足條件的直線.
16. 解：（ⅰ）由題意，得且，
解得，則雙曲線的方程為
（ⅱ）設，，由，有
顯然，不合題意；
當軸時，，，也不合題意
於是，由，消去，整理得： ，由
故斜率的取值範圍是
17. 解：（ⅰ）由題意，得且，
解得，則雙曲線的方程為4分）
（ⅱ）設，，由，有
…（6分）
顯然，不合題意；
當軸時，，，也不合題意8分）
於是，由，消去，整理得：
，10分）
由故斜率的取值範圍是12分）
18. 解：（1）設雙曲線方程為………………（2分）
由題知4分）
雙曲線方程為5分）
（2）設直線的方程為代入
整理得……………………（6分）
設的中點
則代入得7分）
……………………（8分）
ab的垂直平分線方程為…………………（9分）
令得10分）
……………………（11分）
為定值.
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