工物02 黃麗達 2010011686
工物02 王巖 2010011707
工物02 胡丕丕 2010011681
在行星運動過程中受到太陽對其的引力作用，在直角座標系下，其受力如（1-1）式：
1-1）
其中，外有引力常量，m為太陽質量，，為指數偏離度。
在天體的實際運動中，空間尺度和時間尺度都非常大，因此，取地球到太陽的平均距離為單位長度（1au），地球繞太陽運動的週期時間為單位時間（1year），記：
a=1au=1.496x1011m
b0=1year=365x24x3600s=3.154x107s
b0=1year是平方反比的中心力場情況下地球做圓周運動的週期，如果引力不滿足平方反比規律，有乙個偏離，此時的週期為b，單位為年（year）。
當使用a和b作單位時，記x=xa，y=ya，t=tb，此時有
1-2）
將（1-2）代入（1-1）得到：
（1-3）
記，採用新的單位制後，運動方程為：
1-4）
記：a=1au=1.496x1011m，b=1year=365x24x3600s=3.154x107s，
不考慮兩行星之間的相互作用時，每個行星的運動單獨考慮。
1-5）
考慮兩行星之間的相互作用時，對行星1，加速度分量如下：
1-6）
記1-7）
同理，對行星2：
1-8）
記1-9）
作業採用visual studio 2012程式設計生成軌道的資料，用matlab作圖。
a) 太陽座標取為（0,0）。選擇合適的初速度，使行星運動為圓周運動。用euler-cromer方法模擬。用euler方法結果如何。
選取初速度時，我們假定地球繞太陽作圓周運動，則其速度滿足
使用euler-cromer方法，
時間間隔設為0.1，模擬10個週期，得到的軌道如圖2-1：
時間間隔設為0.01，模擬10個週期，得到的軌道如圖2-2：
時間間隔設為0.001，模擬10個週期，得到的軌道如圖2-3：
使用euler方法，
時間間隔設為0.1，模擬10個週期，得到的軌道如圖2-4：
時間間隔設為0.001，模擬10個週期，得到的軌道如圖2-5：
時間間隔設為0.00001，模擬10個週期，得到的軌道如圖2-6：
綜上所述，行星繞地球運動的軌道模擬結果為圓形。模擬時時間間隔越小，軌道越接近圓形；euler-cromer方法與euler方法比較，相同時間間隔的情況下，前者的模擬軌道更接近圓形，即結果更接近真實值。
b) 如果行星間的吸引力不是而是，其中是小量，取為0.05.取行星在t=0時的位置及速度為，什麼會發生？
軌道會不會重疊？說明這不是由δt的選取所致。行星會飛離或落入恆星嗎？
根據上問的結果，我們選用euler-cromer方法進行模擬。
時間間隔設為0.001，模擬10個週期，得到的軌道如圖2-7：
時間間隔設為0.001，模擬1000個週期，得到的軌道如圖2-8：
時間間隔設為0.0001，模擬10個週期，得到的軌道如圖2-9：
行星運動的軌道不再是圓，而是在乙個圓環形的區域內運動，其軌道會發生重疊。由2-7和2-9可知，這不是δt的選取導致的，行星不會飛離或落入恆星。
c) 如果吸引力，先分析當，u=0時的v值。δt必須是多少才能使計算的圓軌道在數圈內維持圓周？改變前面所確定的v大小2%，所得的軌道有何性質？
此時行星受力滿足，，即初速度
時間間隔設為0.01，模擬10個週期，得到的軌道如圖2-10：
時間間隔設為0.001，模擬10個週期，得到的軌道如圖2-11：
時間間隔設為0.0001，模擬10個週期，得到的軌道如圖2-12：
時間間隔設為0.00001，模擬10個週期，得到的軌道如圖2-13 :
改變v的大小，使v增大2%，v=6.4056
時間間隔設為0.00001，模擬10個週期，得到的軌道如圖2-14 :
改變v的大小，使v減小2%，v=6.1544
時間間隔設為0.00001，模擬10個週期，得到的軌道如圖2-15 :
綜上，如果吸引力，初速度仍為6.28（天文學量綱），δt至少小於0.001時，軌道才能在數圈內維持圓周。
v增大2%，行星將向遠處飄移逐漸遠離太陽，v減小2%，行星將逐漸接近太陽。
二行星m1、m2繞太陽m執行，m1/m=0.001，m2/m=0.01。
取δt=0.001，太陽座標為（0,0）；（x1,y1）=（1,0），（u1,v1）=（0，）；（x2,y2）=（41/3,0），（u2,v2）=（0，）
化為天文單位，v1=6.2809，v2=4.9581
a) 不考慮行星相互作用時，描述行星的軌道形狀和週期。
時間間隔0.001，模擬10個週期，得到的軌道如圖2-14，兩個行星的軌道都是以太陽為圓心的圓。其中紅色為太陽的位置，藍色的圓是行星1的軌道，週期為1b，黑色的圓是行星2的軌道，週期為2b。
b) 考慮行星相互作用時，描述行星的軌道形狀和週期。
考慮行星相互作用時，其軌道如圖3-2，藍色為行星1，黑色為行星2。兩個行星做變軌道的近橢圓運動。由於軌道不封閉，週期沒有意義。
c) 研究行星1總能量和總角動量是否守恆；二行星總能量和總角動量是否守恆。
首先，我們來分析行星1的能量，行星1的能量包括三部分：行星1的動能、行星1和太陽之間的勢能、兩行星之間的勢能。其能量隨時間的變化如下圖3-3所示。由圖可知，行星1的能量不守恆。
接下來我們分析行星1的角動量，我們以太陽為原點，行星1關於原點的角動量表示式為：。由圖可知，行星1的角動量不守恆。
對於體系的總角動量，我們做出的曲線如下圖3-5所示。由圖可知，體系的總角動量守恆。
對於體系的總能量，我們做出的曲線如下圖3-6所示。由圖可知，在0.02%的誤差範圍內行星體系的總能量守恆。
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