本文針對計程車打車難問題，建立了綜合評價模型與計程車市場集合模型，求出了不同時空計程車資源「供求匹配」程度值，肯定了補貼方案對打車難的緩解。對於最佳補貼方案問題建立了多元規劃模型，並根據北京的具體情況，得出了最佳方案。
針對問題一，本文選取了萬人擁有率、乘客平均等車時間、空駛率作為評價指標，建立起乙個綜合評價模型。首先採用基於客觀定權思想的夾角余弦法來確定各指標權重。之後進行各指標資料的處理，通過一致化和極差化方法，得到可度量的無量綱資料。
然後把處理後的資料與確定出的權重相結合，得到「供求匹配」程度。最後以北京市為例，將北京市2006~2023年的「供求匹配」程度作為決策方案進行分析，得到2006~2023年的「供求匹配」程度值分別為0.49,0.
50,0.52,0.65,0.
42,0.74。
針對問題二，本文把乘客平均等車時間作為衡量「打車難」的唯一因素。查閱文獻，考慮乘客平均等車時間，建立新的計程車市場集合模型。由該模型得知：
乘客平均等車時間與空駛率成反比；空駛率由其他因素決定，並且函式表示式已知。把分析補貼方案是否能夠「緩解打車難」轉化為判斷空駛率變化量是否大於0。然後以滴滴打車推出的補貼方案對北京市「打車難」的影響為例，比較補貼前後北京市的計程車空駛率。
最後得出結論：滴滴打車推出的補貼方案對北京市「緩解打車難」確實有幫助。
針對問題三，本文通過分析計程車市場的供需關係，建立了乙個多目標規劃模型並最終巧妙地轉化為單目標規劃的模型，來求解新的打車軟體服務平台的最佳補貼方案。並以北京為例，求得最佳補貼方案為對打車使用者立減13元，對司機立獎16.7元。
最後，本文對模型的優缺點進行了評價，並提出了模型改進的方向。
關鍵詞：綜合評價夾角余弦法計程車市場集合模型多目標規劃
計程車是市民出行的重要交通工具之一，「打車難」是人們關注的乙個社會熱點問題。隨著「網際網路+」時代的到來，有多家公司依託移動網際網路建立了打車軟體服務平台，實現了乘客與計程車司機之間的資訊互通，同時推出了多種計程車的補貼方案。
請你們蒐集相關資料，建立數學模型研究如下問題：
(1) 試建立合理的指標，並分析不同時空計程車資源的「供求匹配」程度。
(2) 分析各公司的計程車補貼方案是否對「緩解打車難」有幫助？
(3) 如果要建立乙個新的打車軟體服務平台，你們將設計什麼樣的補貼方案，並論證其合理性。
1. 萬人擁有量、乘客平均等車時間和空駛率3個指標之間相互獨立。
2. 每個打車軟體平台的註冊司機只有一輛車。
3. 打車軟體平台的使用者組成比例在全國範圍內都一樣。
4. 北京人口在短期範圍內保持不變。
5. 計程車司機不會拒載乘客。
6. 平均等待時間與單位時間內市場上所有計程車的空駛時間成反比。
問題一要求建立合理的指標，使這些指標能夠分析不同時空計程車資源的「供求匹配」程度。供求匹配程度是反映計程車市場中，乘客的乘車需求與計程車資源供給相匹配的程度。如圖1所示，當供求匹配程度降低時，一方面使乘客等車時間變長，乘客需求得不到滿足；另一方面也會使計程車空駛率過大，降低計程車資源供給效率的同時，也降低了計程車經營者的經濟效益。
查閱相關資料可以得出，在某個城市中，平均每萬人擁有的計程車量越大、平均等車時間越短，越能滿足乘客的乘車需求；計程車的空駛率越低，計程車資源供給效率越高。於是，我們選取萬人擁有量、乘客平均等車時間和空駛率作為指標，建立評價模型。不同時間，不同空間，其對應指標的指標值會發生變化，所以得出的供求匹配程度也會不同，這就能衡量不同時空計程車資源的供求程度。
對不同時空計程車資源的「供求匹配」程度進行分析時，以不同時空計程車資源的「供求匹配」程度作為決策方案，以選取的指標作為評價因素，建立多目標決策的綜合評價模型，是為模型一。
評價標準的選取
要對「供求匹配」程度作出好的評估，首先必須確定合適的評價標準。合適的評價標準必須具有較大的區分度。區分度表示指標之間的差異程度，區分度越大，說明指標的特異性越大，越具有代表性。
合適的評價指標必須具有較小的相關性。相關性表示指標之間相關的程度，同一指標體系中的指標之間的重疊性應該盡量的低。【1】
1) 確定多目標權重的方法
在多目標方案的決策中,需要根據各目標的數值分布特點和重要性程度確定指標的權重。確定權重的方法有：一是基於「指標功能」的主觀賦權法，二是基於「指標差異」的客觀賦權法。
主觀賦權法就是根據評價指標的相對重要程度來確定權重係數，一般實現途徑是專家憑經驗主觀決定；而客觀賦權法就是根據各項指標所提供資訊量的大小和差異程度來決定相應的權重係數。在本題中由於不同時間、不同地點的計程車資源供求情況也會不同。採用專家定權的方法過於刻板而不能適應不同時空的實際需要，且推廣性不強。
在這種情況下，就需要根據所得資料求得目標的權重，於是本文選用基於「指標差異」的夾角余弦法來求解多目標權重。
2) 夾角余弦法概述
夾角余弦法是一種確定多指標權重的方法。由上文的分析，本模型採用客觀賦權法來確定各指標權重。目前較多被採用的客觀性定權法是對應於偏差幅度按比例定權。
但因一指標的樣本分佈大多非均勻分布,故按比例定權有明顯缺點。而夾角余弦法通過構造各評價方案的相對偏差矩陣，求解向量的夾角余弦，最後歸一化得到各評價指標的權向量，能夠規避一般客觀賦權法的缺點，充分體現指標差異。
3) 夾角余弦法求解指標權重【1】
設要衡量n個不同時空的計程車資源「供求匹配」程度，於是有n個決策方案的集合：
其中：——第j個方案，關於3項評價因素的指標值向量
於是我們得到n個方案關於3項評價因素的指標矩陣：
——表示第j個方案關於第項評價因素的指標值
評價指標通常可以分為極大型指標、極小型指標和居中型指標。極大型指標就是數值越大越好的指標，設為；極小型指標是指數值越小越小的指標，設為；居中型指標是指數值越接近於某個常數就越好的指標，設為。在本模型中只有極大型指標和極小型指標。
建立各方案指標值的理想最優方案和最劣方案：
其中：——極大型指標
——極小型指標
——居中型指標
在本模型的評價指標中，萬人擁有量屬於極大型指標，而空駛率和乘客等車時間屬於極小型指標。
構造各方案與,的相對偏差矩陣：
建立各評價指標的權重
首先r的行向量與對應的行向量的夾角余弦：
然後將歸一化就可以得到項評價指標的權向量
其中：4) 指標資料的處理
資料一致化
評價指標通常可以分為極大型指標、極小型指標和居中型指標。極大型指標就是數值越大越好的指標；極小型指標是指數值越小越小的指標；居中型指標是指數值越接近於某個常數就越好的指標。在該模型的評價指標中，萬人擁有量屬於極大型指標，而空駛率和乘客等車時間屬於極小型指標。
所以必須將不同型別的指標做一致化處理，即要化為統一型別的指標。因為該模型要衡量的「供求匹配」程度是數值越大越好，所以我們統一將評價指標都化為極大型指標，將空駛率、平均等待時間化為極大型指標：
在式子中僅表示極小型指標經過一致化後的指標值，但為了下文表示的方便，我們規定，一致化後，本來是極大型指標而沒有經過轉化的指標值也用來表示。所以表示的是原始指標值經過一致化後的指標值。
資料標準化
資料的一致化完成後，在該模型中，各評價指標之間由於各自的度量單位及數量級的差別，還存在著不可度量性，這就為確定綜合評價指標帶來了困難和問題。為了盡可能地反映實際情況，消除各指標之間的單位不同，以及數值量級之間差別的影響，避免不合理現象的發生，就需要對評價指標做標準化處理。本文採用極差化方法來進行指標標準化處理。
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