右圖展示了以 2log(mx(pi )) 為 y 軸, 2log(pi ) 為 x 軸的所有已知最高點記錄. 這些點的分布趨勢與那條斜率為 2 的白線基本一致.
下面的**包含了至今作者發現的所有的 83 個最高點記錄. 這些記錄與 tomás oliveira e silva 找到的完全吻合. tomás oliveira e silva 已經尋找到了直到 100*250 的所有最高點記錄, 在這次尋找中還有另外 5 個最高點記錄被找到, 這些新記錄都被收錄在**中了.
在**的各列中, n 代表記錄對應的數字, mx(n) 代表相應記錄所達到的最高點, x2(n) 就是擴張度, 還有 mx(n) / n2. 五個已知的擴張度記錄用另一種顏色標記了出來.
接下來的兩列是儲存 n 和 mx(n) 分別需要的二進位制位數. 顯然, 儲存任何正整數 x 所需的二進位制位數是 [ 2log(x) ] + 1. 最後一列是首先發現或者公布這些記錄的人.
由於比較小的記錄是對我們來說很顯然的, 所以對於小於 32 位的記錄就不列出首先發現和公布的人了.
從第六列的數字中我們可以很容易知道如果要對某個數以下的所有數進行完全的 3x+1 計算需要多少個二進位制位來儲存中間過程. 值得注意的是, 由於乙個奇變換後面總會跟隨著乙個偶變換, 所以用 x + [x/2] + 1 進行計算會比單純地乘以 3 加 1 再除以 2 要少用一位.
即使不使用剛才的技巧, 我們也可以看到一些有趣的現象: 能用 8 個二進位制位表示的數的計算過程中的數不會超過 16 位, 相似地, 能用 16 個二進位制位表示的數的計算過程中的數不會超過 32 位, 如此類推, 似乎對於所有 8 的倍數這個結論都成立. 儘管我們有時候會碰到擴張度 x2(n) 大於 1 的數, 但是這些數的路徑依然符合上面的陳述.
所以這個**給我們帶來乙個經驗性的結論, 就是對於所有可以用 58 個或以下的二進位制位表示的數來說, 如果這個數需要 k 個位元組 (1 個位元組就是 8 個二進位制位) 來表示的話, 那麼這個數在計算中最多需要 2k 位元組來儲存中間結果. 或者用更精確的語言來說就是:
觀察 :
對於所有正整數 n < 258 : [256log( mx(n) ) + 1] ≤ 2 . [256log(n) + 1].