§3.6 量子力學對氫原子的描述
一、氫原子的波函式
1、薛丁格方程
電子在原子核的庫侖場中運動：
定態薛丁格方程：
氫原子問題是球對稱問題，通常採用球座標系：
氫原子在球座標下的定態薛丁格方程：
2、分離變數
(1)．
代入方程，並用乘以兩邊：
是乙個與無關的常數。
徑向方程：
角方程：
(2)．
代入方程，並用乘以兩邊：
是乙個與無關的常數。
3、三方程的解
(1)．方程的解
令方程的解為：
波函式單值：
波函式歸一化：
(2)．三方程的解
關聯勒讓德方程。求解過程中發現，為了得到符合波函式標準條件的解，必須對和加以限制：
方程的解為關聯勒讓德多項式：
(3)．方程的解
關聯拉蓋爾方程，方程的解為關聯拉蓋爾多項式玻爾半徑
1s2s
2p只要給出了、的一對具體的數值，就可以得到乙個満足標準條件的解。
4、h原子的波函式
對應一組量子數，就能給出波函式的乙個具體形式，因此確定了原子的狀態。
二、能量、角動量
1．主量子數與能量量子化
當時，能量是量子化的，自然得出。
當時，取任何值都能使r滿足標準條件的解。所以正值的能量是連續的，相當於自由電子與h+離子結合為原子時釋放的能量。
2．角量子數和角動量角子化
角動量是量子化的，自然得出。
舊量子論：
當角動量很大時，，，二者一致，所以玻爾理論給出了近似的結果。
3．磁量子數和空間量子化
個角動量在外場方向的分量也是量子化的，即空間取矢量子化，自然得出。
由於薛丁格方程是非相對論的，沒有匯出自旋量子數和自旋磁量子數。
三、電子的機率分布
：代表機率隨角度的分布；
：代表機率隨角度的分布；
：代表機率隨矢徑的分布；
因此，在附近、內找到電子的機率為：
在球座標中，
歸一化：
1．機率隨角的分布
---- 機率密度的分布繞z軸旋轉對稱
2．角向分布機率
，之間的圓錐體的立體角
由、的值決定，對給定的、，它有確定的值。對不同的、，不同。
例1 求s電子和p電子的角分布。
解：s電子，，，
呈球對稱分布
p電子，，，
在的方向有極大值，在的方向概率為零，故呈水平的啞鈴型概率分布。
p電子，，，
在的方向概率為零，在的方向有極大值，故呈豎直的啞鈴型概率分布。
3．電子的徑向分布概率
在附近、內找到電子的機率為：
------在離核處的球形殼層內發現電子的機率對於不同的，不同，如圖所示。
在處有極大值。
在處有極大值。
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