第2章壓力容器應力分析
§2-1 迴轉薄殼應力分析
一、迴轉薄殼的概念
薄殼：（t/r）≤0.1 r----中間面曲率半徑
薄壁圓筒：（d0/di）max ≤1.1~1.2
二、薄壁圓筒的應力
圖2-1、圖2-2 材料力學的「截面法」,
三、迴轉薄殼的無力矩理論
1、迴轉薄殼的幾何要素
（1）迴轉曲面、迴轉殼體、中間面、殼體厚度
* 對於薄殼，可用中間面表示殼體的幾何特性。
（2）母線、經線、法線、緯線、平行圓
（3）第一曲率半徑r1、第二曲率半徑r2、平行圓半徑r
（4）周向座標和經向座標
2、無力矩理論和有力矩理論
（1）軸對稱問題
軸對稱幾何形狀----迴轉殼體
載荷----氣壓或液壓
應力和變形----對稱於回轉軸
（2）無力矩理論和有力矩理論
a、外力（載荷）----主要指沿殼體表面連續分布的、垂直於殼體表面的壓力，如氣壓、液壓等。
pz= pz（φ）
b、內力
薄膜內力----nφ、nθ （沿殼體厚度均勻分布）
彎曲內力---- qφ、mφ、mθ （沿殼體厚度非均勻分布）
c、無力矩理論和有力矩理論
有力矩理論（彎曲理論）----考慮上述全部內力
無力矩理論（薄膜理論）----略去彎曲內力，只考慮薄膜內力
● 在殼體很薄，形狀和載荷連續的情況下，彎曲應力和薄膜應力相比很小，可以忽略，即可採用無力矩理論。
● 無力矩理論是一種近似理論，採用無力矩理論可是殼地應力分析大為簡化，薄壁容器的應力分析和計算均以無力矩理論為基礎。
在無力矩狀態下，應力沿厚度均勻分布，殼體材料強度可以得到合理的利用，是最理想的應力狀態。
（3）無力矩理論的基本方程
a、 無力矩理論的基本假設
小位移假設----殼體受載後，殼體中各點的位移遠小於壁厚。
考慮變形後的平衡狀態時殼用變形前的尺寸代替變形後的尺寸
直法線假設----變形前垂直於中面的直線變形後仍為直線，且垂直於變形後的中面。
變形前後殼體壁厚保持不變
不擠壓假設----殼壁各層纖維在變形前後互不擠壓。
將殼體的三向應力問題轉變為平面應力問題
b、 無力矩理論的基本方程
-----求解外載荷作用下殼壁中的薄膜應力
①擷取殼體微元
dl1=r1d
dl2=r d
da=r1d×r d
②微元上的內力----nφ、nθ
③平衡方程
①建立空間直角座標系
②建立力平衡方程式
∑fz=0
(nφ+ d nφ)( r+ d r) dsin d+2 nθsin（d/2）r1d sin
+pz r1dr dcos（d/2）=0
∑fx=0
(nφ+ d nφ)( r+ d r) d cos d- nφr d
-2 nθsin（d/2）r1d cos=0
* pz和f的物理意義和方向
* 難點：如何根據外載荷的具體情況，採用最直接的方法擷取部分殼體，列軸向力平衡關係式。
（4）無力矩理論的應用
1、 受均勻氣體內壓作用的容器
pz=-p
（1）圓柱形容器
r1=∞ r2= r
說明：①σθ=2σφ，即筒體的經向截面是薄弱截面。爆破試驗時，筒體都是沿經向裂開。
在結構設計和製造時，應盡量避免或減少對其經向截面的削弱，例如：縱焊縫的強度要求比環焊縫高；橢圓形人孔都是沿橫向布置。
②圓筒的承壓能力取決於（t/d）的大小，並非厚度約大承壓能力約好。
（2）球形容器
r1=r2= r
說明：①σθ=σφ，即球殼各點的應力分布完全均勻。
②球殼的最大應力只是圓柱殼最大應力的一半，故球殼的承壓能力比圓柱殼好。
（3）圓錐殼
r1=∞ r2= xtgα
說明：①σθ=2σφ，兩向應力均與x成線性關係，在錐頂處應力為零，距離錐頂越遠，應力越大，因此一般開孔在錐頂。
②若圓錐殼用於下封頭，則最大應力在錐殼於容器聯接處
③兩向應力隨α的增大而增大，故錐殼的α不宜過大，一般α≤45°
（4）橢圓形封頭
頂點（x=0,y=b）：
赤道（x=a,y=0）：
結論：①橢球殼上各點的應力與座標（x，y）有關。
②σφ恒為正值，其最大值在x=0處，最小值在x=a處。
σθ在x=0處σθ〉0，
在x=a處有三種情況：
③橢球殼上應力大小及其分布狀況與橢球的長軸和短軸之比有關。當a/b=1時，橢球殼變為球殼，殼體受力最有利。隨著a/b值的增大，橢球殼上最大應力也相應增大，受力情況變差。
當a/b增大至2時，橢球殼上最大應力的數值與同直徑、同壁厚的圓柱殼的最大應力相等。
因此，從受力合理的觀點看，橢圓形封頭的a/b值不應超過2。（標準橢圓形封頭：a/b=2）
當然，從沖壓製造角度來說，封頭約淺越好，即a/b應大一些。
（標準橢圓形封頭：a/b=2）
④對於a/b≥2.5的大型薄壁橢圓形封頭，在赤道處周向壓應力很大，可能會出現周向皺褶，產生壓應力失穩現象。從這點看來，a/b值也不宜過大（或採取相應的加強措施）。
（5）碟形殼
應力計算及分析與前面所講各種殼體計算方法相同。
注意：在不同形狀殼體交界處，殼體的應力及變形不連續，不能應用無力矩理論。
2、 受液柱壓力作用的容器
（1）直立圓柱形儲液罐
①頂部密閉，液面上方承受氣體內壓p0，支座位於儲罐底部
r1=∞，r2= r，pz=-[ p0+ρg(h-h)]
f= p0×πr2
②頂部敞開，支座位於距底面h1處
a、支座以上部分（h＞h1）
f=0 pz=-ρg (h-h)
b、支座以下部分 （h＜h1
f=πr2hρg
pz=-ρg (h-h)
討論：σφ在支座處有突變，導致支座處的殼體變形有突變，而實際上殼體的變形必須保持連續一致，所以在支座附近將產生區域性彎曲變形，以保持應力和位移的連續一致性。
結論：支座處殼體應力不能採用無力矩理論計算，應採用有力矩理論。
（2）球形儲液罐
pz=-ρgr (1-cosφ)
①φ＜φ0時
②φ＞φ0時
討論：σφ和σθ在支座處均發生突變，導致支座處的殼體變形有突變，而實際上殼體的變形必須保持連續一致，所以在支座附近將產生區域性彎曲變形，以保持應力和位移的連續一致性。
結論：支座處殼體應力不能採用無力矩理論計算，應採用有力矩理論。
（5）無力矩理論的應用條件
①殼體的曲率、厚度、載荷沒有突變，材料的物理性質相同。
②殼體邊界上沒有力矩和橫向力的作用。
③殼體邊界上的法向位移和轉角不受限制（殼體邊界上的約束只能沿經線的切線方向）
四、圓柱殼有力矩理論簡介
五、迴轉殼體的不連續分析
1、 聯接邊緣的概念；邊緣問題的提出
2、 求解不連續應力的基本方法----力法
薄膜解----薄膜應力（一次應力）
（由外載荷引起，沿壁厚均勻分布）
有矩解（彎曲解）----二次應力
（不是由外載荷直接產生，而是在變形協調中產生，沿壁厚非均勻分布）
3、 變形協調方程
4、 圓柱殼的邊緣彎曲解
求解聯接邊緣應力的步驟：
變形分析（△m、△q、θm、θq）
↓ 變形協調方程
↓ 邊緣力和邊緣力矩（m0、q0）
↓ 位移（w）
↓ 內力和內力矩（nx、nθ、mx、mθ、qx）
↓ 應力（∑σx、∑σθ）
5、 一般迴轉殼的邊緣彎曲解
「等效圓柱殼「的概念
6、不連續應力的區域性性和自限性
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