1.具有普遍性的相對論能量公式為
e ＝mc2 ＝［p2c2 +m02c 4]1/2
微分得，
de ＝ (p2c +m02c 4)-1/2 c2pdp = c2(p/e)dp = v dp；
寫成變數 δe ＝ vδp, δe δt =δp · v δt = δp δq h
此關係對光譜學和分子反應動力學研究很重要.在分子碰撞過程中,從舊化學鍵斷裂到新化學鍵形成的時間約為數皮秒.欲獲得此過程的資訊,須使用比皮秒更快的測量術.
2023年美國化學家zewail用「 世界上最快的照相機」觀察到了分子反應過程中原子的振動.這種最快的照相機即飛秒脈衝雷射. 但是,根據不確定度關係,如此短的脈衝雷射,它的顏色(頻率)分布將是很寬的.
例如,用4飛秒的脈衝雷射,推算其頻率寬度可達8300cm-1.
2. 設實物微粒的相速度即傳播速度為u，群速度即
運動速度為 , 根據相速度的定義、einstein關係式和 de brogle關係式，有
即實物微粒的相速度等於其群速度的一半。
3.以單粒子一維經典體系為例,簡要說明巨集觀物體在某一時刻具有確定的座標和確定的動量。
根據牛頓定律x=x(t)
為得到粒子在t時的位置x，需將此微分方程對時間t積分兩次。第一次積分得到dx/dt,即v，第二次積分得到 x。每一次積分都引入乙個任意積分常數，即對
的二次積分所得x的關係式中有2個常數，即x＝ f(t,c1,c2)， f 為某函式.
現在求c1和c2，為此需有2個條件，設 t=t0時，x=x0，v = v0，由方程x＝ f(t,c1,c2)即可求出c1和c2.
x0＝ f(t0,c1,c2) v0＝ f (t0, c1,c2) f ＝df/dt
所以，只要知道在 t0時粒子的初始位置x0和初始速度v0 ，即可知道該粒子在任何時刻的位置和速度(動量)。即巨集觀物體的座標和動量可同時確定。如此, 乙個粒子的狀態就確定了(x,p,e)，並可由此確定粒子的未來狀態。
對二維、三維粒子，亦然。
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