（本文有兩套教案，第一套比較籠統，第二套比較好）
圓錐曲線的解題技巧
一、常規七大題型：
（1）中點弦問題
具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法（點差法）：設曲線上兩點為，，代入方程，然後兩方程相減，再應用中點關係及斜率公式（當然在這裡也要注意斜率不存在的請款討論），消去四個引數。
如：（1）與直線相交於a、b，設弦ab中點為m(x0,y0)，則有。
（2）與直線l相交於a、b，設弦ab中點為m(x0,y0)則有
（3）y2=2px（p>0）與直線l相交於a、b設弦ab中點為m(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p.
典型例題給定雙曲線。過a（2，1）的直線與雙曲線交於兩點及，求線段的中點p的軌跡方程。
（2）焦點三角形問題
橢圓或雙曲線上一點p，與兩個焦點、構成的三角形問題，常用正、餘弦定理搭橋。
典型例題設p(x,y)為橢圓上任一點，，為焦點，，。
（1）求證離心率；
（2）求的最值。
（3）直線與圓錐曲線位置關係問題
直線與圓錐曲線的位置關係的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程後利用判別式、根與係數的關係、求根公式等來處理，應特別注意數形結合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點，結合三大曲線的定義去解。
典型例題
（1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點
（2）設直線與拋物線的交點為a、b，且oa⊥ob，求p關於t的函式f(t)的表示式。
（4）圓錐曲線的相關最值（範圍）問題
圓錐曲線中的有關最值（範圍）問題，常用代數法和幾何法解決。
<1>若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質來解決。
<2>若命題的條件和結論體現明確的函式關係式，則可建立目標函式（通常利用二次函式，三角函式，均值不等式）求最值。
（1），可以設法得到關於a的不等式，通過解不等式求出a的範圍，即：「求範圍，找不等式」。或者將a表示為另乙個變數的函式，利用求函式的值域求出a的範圍；對於（2）首先要把△nab的面積表示為乙個變數的函式，然後再求它的最大值,即：
「最值問題，函式思想」。
最值問題的處理思路：
1、建立目標函式。用座標表示距離，用方程消參轉化為一元二次函式的最值問題，關鍵是由方程求x、y的範圍；
2、數形結合，用化曲為直的轉化思想；
3、利用判別式，對於二次函式求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；
4、借助均值不等式求最值。
典型例題
已知拋物線y2=2px(p>0)，過m（a,0）且斜率為1的直線l與拋物線交於不同的兩點a、b，
|ab|≤2p
（1）求a的取值範圍；（2）若線段ab的垂直平分線交x軸於點n，求△nab面積的最大值。
（5）求曲線的方程問題
1．曲線的形狀已知--------這類問題一般可用待定係數法解決。
典型例題
已知直線l過原點，拋物線c 的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點a（-1，0）和點b（0，8）關於l的對稱點都在c上，求直線l和拋物線c的方程。
2．曲線的形狀未知-----求軌跡方程
典型例題
已知直角座標平面上點q（2，0）和圓c：x2+y2=1, 動點m到圓c的切線長與|mq|的比等於常數（>0）,求動點m的軌跡方程，並說明它是什麼曲線。
（6） 存在兩點關於直線對稱問題
在曲線上兩點關於某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內。（當然也可以利用韋達定理並結合判別式來解決）
典型例題已知橢圓c的方程，試確定m的取值範圍，使得對於直線，橢圓c上有不同兩點關於直線對稱
（7）兩線段垂直問題
圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用來處理或用向量的座標運算來處理。
典型例題已知直線的斜率為，且過點，拋物線，直線與拋物線c有兩個不同的交點（如圖）。
（1）求的取值範圍；
（2）直線的傾斜角為何值時，a、b與拋物線c的焦點連線互相垂直。
四、解題的技巧方面：
在教學中，學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用「設而不求」的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明：
（1）充分利用幾何圖形
解析幾何的研究物件就是幾何圖形及其性質，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數方程外，充分挖掘幾何條件，並結合平面幾何知識，這往往能減少計算量。
典型例題設直線與圓相交於p、q兩點，o為座標原點，若，求的值。
（2） 充分利用韋達定理及「設而不求」的策略
我們經常設出弦的端點座標而不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到。
典型例題已知中心在原點o，焦點在軸上的橢圓與直線相交於p、q兩點，且，，求此橢圓方程。
（3） 充分利用曲線系方程
利用曲線系方程可以避免求曲線的交點，因此也可以減少計算。
典型例題求經過兩已知圓和0的交點，且圓心在直線：上的圓的方程。
（4）充分利用橢圓的引數方程
橢圓的引數方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關的求最值的問題．這也是我們常說的三角代換法。
典型例題 p為橢圓上一動點，a為長軸的右端點，b為短軸的上端點，求四邊形oapb面積的最大值及此時點p的座標。
（5）線段長的幾種簡便計算方法
① 充分利用現成結果，減少運算過程
一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦ab長的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程中，得到型如的方程，方程的兩根設為，，判別式為△，則，若直接用結論，能減少配方、開方等運算過程。
例求直線被橢圓所截得的線段ab的長。
② 結合圖形的特殊位置關係，減少運算
在求過圓錐曲線焦點的弦長時，由於圓錐曲線的定義都涉及焦點，結合圖形運用圓錐曲線的定義，可迴避複雜運算。
例 、是橢圓的兩個焦點，ab是經過的弦，若，求值
③ 利用圓錐曲線的定義，把到焦點的距離轉化為到準線的距離
例點a（3，2）為定點，點f是拋物線的焦點，點p在拋物線上移動，若取得最小值，求點p的座標。
第一、知識儲備：
1. 直線方程的形式
（1）直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。
（2）與直線相關的重要內容
①傾斜角與斜率
②點到直線的距離 ③夾角公式：
（3）弦長公式
直線上兩點間的距離：
或（4）兩條直線的位置關係
①=-1 ②
2、圓錐曲線方程及性質
(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式）
標準方程：
距離式方程：
引數方程：
(2)、雙曲線的方程的形式有兩種
標準方程：
距離式方程：
(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？
(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？
如：已知是橢圓的兩個焦點，平面內乙個動點m滿足則動點m的軌跡是（ ）
a、雙曲線；b、雙曲線的一支；c、兩條射線；d、一條射線
(5)、焦點三角形面積公式：
（其中）
(6)、記住焦半徑公式：（1），可簡記為「左加右減，上加下減」。
（2）（3）(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？
第二、方法儲備
1、點差法（中點弦問題）
設、，為橢圓的弦中點則有
，；兩式相減得
=2、聯立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關係一類的問題嗎？經典套路是什麼？如果有兩個引數怎麼辦？
設直線的方程，並且與曲線的方程聯立，消去乙個未知數，得到乙個二次方程，使用判別式，以及根與係數的關係，代入弦長公式，設曲線上的兩點，將這兩點代入曲線方程得到兩個式子，然後-，整體消元······，若有兩個字母未知數，則要找到它們的聯絡，消去乙個，比如直線過焦點，則可以利用三點a、b、f共線解決之。若有向量的關係，則尋找座標之間的關係，根與係數的關係結合消元處理。一旦設直線為，就意味著k存在。
例1、已知三角形abc的三個頂點均在橢圓上，且點a是橢圓短軸的乙個端點（點a在y軸正半軸上）.
（1）若三角形abc的重心是橢圓的右焦點，試求直線bc的方程;
（2）若角a為，ad垂直bc於d，試求點d的軌跡方程.
分析：第一問抓住「重心」，利用點差法及重心座標公式可求出中點弦bc的斜率，從而寫出直線bc的方程。第二問抓住角a為可得出ab⊥ac，從而得，然後利用聯立消元法及交軌法求出點d的軌跡方程；
解：（1）設b（,）,c(,),bc中點為(),f(2,0)則有
兩式作差有 (1)
f(2,0)為三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得
直線bc的方程為
2)由ab⊥ac得 （2）
設直線bc方程為，得，
代入（2）式得，解得或
直線過定點（0，，設d（x,y），則，即
所以所求點d的軌跡方程是。
4、設而不求法
例2、如圖，已知梯形abcd中，點e分有向線段所成的比為，雙曲線過c、d、e三點，且以a、b為焦點當時，求雙曲線離心率的取值範圍。
分析：本小題主要考查座標法、定比分點座標公式、雙曲線的概念和性質，推理、運算能力和綜合運用數學知識解決問題的能力。建立直角座標系，如圖，若設c，代入，求得，進而求得再代入，建立目標函式，整理，此運算量可見是難上加難.
我們對可採取設而不求的解題策略,
建立目標函式，整理,化繁為簡.
解法一：如圖，以ab為垂直平分線為軸，直線ab為軸，建立直角座標系，則cd⊥軸因為雙曲線經過點c、d，且以a、b為焦點，由雙曲線的對稱性知c、d關於軸對稱
依題意，記a，c，e，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高，由定比分點座標公式得
設雙曲線的方程為，則離心率
由點c、e在雙曲線上，將點c、e的座標和代入雙曲線方程得
由①式得
將③式代入②式，整理得
故由題設得，
解得所以雙曲線的離心率的取值範圍為
分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式,用的橫座標表示，迴避的計算, 達到設而不求的解題策略．
圓錐曲線解題技巧
圓錐曲線應試技巧總結 1.圓錐曲線的兩個定義 1 第一定義中要重視 括號 內的限制條件 橢圓中，與兩個定點f，f的距離的和等於常數，且此常數一定要大於，當常數等於時，軌跡是線段ff，當常數小於時，無軌跡 雙曲線中，與兩定點f，f的距離的差的絕對值等於常數，且此常數一定要小於 ff 定義中的 絕對值 ...
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