第四章電路定理
一、教學基本要求
1、了解疊加定理的概念，適用條件，熟練應用疊加定理分析電路。
2、掌握戴維寧定理和諾頓定理的概念和應用條件，並能應用定理分析求解具體電路。
二、教學重點與難點
1. 教學重點：疊加定理、戴維寧定理和諾頓定理。
2．教學難點：各電路定理應用的條件、電路定理應用中受控源的處理。
三、本章與其它章節的聯絡：
電路定理是電路理論的重要組成部分，本章介紹的疊加定理、戴維寧定理和諾頓定理適用於所有線性電路問題的分析，對於進一步學習後續課程起著重要作用，為求解電路提供了另一類分析方法。
四、教學內容
§4.1 疊加定理
1.疊加定理的內容
疊加定理表述為：**性電路中，任一支路的電流(或電壓)都可以看成是電路中每乙個獨立電源單獨作用於電路時，在該支路產生的電流(或電壓)的代數和。
2.定理的證明
圖 4.1
圖4.1所示電路應用結點法：
解得結點電位：
支路電流為：
以上各式表明：結點電壓和各支路電流均為各獨立電源的一次函式，均可看成各獨立電源單獨作用時，產生的響應之疊加，即表示為：
式中a1,a2,a3 ，b1,b2,b3和c1,c2,c3 是與電路結構和電路引數有關的係數。
3.應用疊加定理要注意的問題
1)疊加定理只適用於線性電路。這是因為線性電路中的電壓和電流都與激勵（獨立源）呈一次函式關係。
2)當乙個獨立電源單獨作用時，其餘獨立電源都等於零（理想電壓源短路，理想電流源開路）。如圖4.2所示。
=三個電源共同作用 is1單獨作用
us2單獨作用 us3單獨作用
圖 4.2
3)功率不能用疊加定理計算(因為功率為電壓和電流的乘積，不是獨立電源的一次函式)。
4)應用疊加定理求電壓和電流是代數量的疊加，要特別注意各代數量的符號。即注意在各電源單獨作用時計算的電壓、電流參考方向是否一致，一致時相加，反之相減。
5)含受控源(線性)的電路，在使用疊加定理時，受控源不要單獨作用，而應把受控源作為一般元件始終保留在電路中，這是因為受控電壓源的電壓和受控電流源的電流受電路的結構和各元件的引數所約束。
6)疊加的方式是任意的，可以一次使乙個獨立源單獨作用，也可以一次使幾個獨立源同時作用，方式的選擇取決於分析問題的方便。
4.疊加定理的應用
例4－1 求圖示電路的電壓 u.
例4－1圖
解：應用疊加定理求解。首先畫出分電路圖如下圖所示
當12v電壓源作用時，應用分壓原理有：
當3a電流源作用時，應用分流公式得：
則所求電壓：
例4－2 計算圖示電路的電壓 u 。
例4－2圖
解：應用疊加定理求解。首先畫出分電路圖如下圖所示
當 3a 電流源作用時：
其餘電源作用時：
則所求電壓：
本例說明： 疊加方式是任意的，可以一次乙個獨立源單獨作用，也可以一次幾個獨立源同時作用，取決於使分析計算簡便。
例4－3 計算圖示電路的電壓 u 電流 i 。
例4－3 圖
解：應用疊加定理求解。首先畫出分電路圖如下圖所示
當 10v 電源作用時：
解得：當5a電源作用時，由左邊迴路的kvl：
解得：所以：
注意：受控源始終保留在分電路中。
例4－4 封裝好的電路如圖，已知下列實驗資料：當時，響應 ，當時，響應，
求：時， i = ？
例4－4圖
解：根據疊加定理，有：
代入實驗資料，得：
解得：因此：
本例給出了研究激勵和響應關係的實驗方法
5. 齊性原理
由以上疊加定理可以得到齊性原理。
齊性原理表述為：線性電路中，所有激勵(獨立源)都增大(或減小)同樣的倍數，則電路中響應(電壓或電流)也增大(或減小)同樣的倍數。當激勵只有乙個時，則響應與激勵成正比。
例4－5 求圖示電路的電流i，已知：rl=2ω r1=1ω r2=1ω us =51v
例4－5圖
解：採用倒推法：設i' =1a 。則各支路電流如下圖所示，
此時電源電壓為： ，
根據齊性原理：當電源電壓為： 時，滿足關係：
§4.2 戴維寧定理和諾頓定理
1.戴維寧定理的內容
戴維寧定理表述為：任何乙個線性含源一埠網路，對外電路來說，總可以用乙個電壓源和電阻的串聯組合來等效替代；此電壓源的電壓等於外電路斷開時一埠網路埠處的開路電壓uoc ，而電阻等於一埠的輸入電阻（或等效電阻req）。以上表述可以用圖4.
7來表示。
圖 4.7 戴維寧定理
2.定理的證明
這裡給出戴維寧定理的一般證明。圖4.8(a)為線性有源一埠網路a與負載網路n相連，設負載上電流為i，電壓為u。
根據替代定理將負載用理想電流源i 替代，如圖4.8(b)所示。
圖 4.8
替代後不影響a中各處的電壓和電流。由疊加定理u可以分為兩部分，如圖4.9所示，即：
其中是a內所有獨立源共同作用時在埠產生的開路電壓，是僅由電流源i作用在埠產生的電壓，即：，
圖 4.9
因此 上式表示的電路模型如圖4.10所示。這就證明了戴維寧定理是正確的。
圖 4.10
3.應用戴維寧定理要注意的問題
1)含源一埠網路所接的外電路可以是任意的線性或非線性電路，外電路發生改變時，含源一埠網路的等效電路不變。
2)當含源一埠網路內部含有受控源時，控制電路與受控源必須包含在被化簡的同一部分電路中。
3)開路電壓uoc的計算
戴維寧等效電路中電壓源電壓等於將外電路斷開時的開路電壓uoc，電壓源方向與所求開路電壓方向有關。計算uoc的方法視電路形式選擇前面學過的任意方法，使易於計算。
4)等效電阻的計算
等效電阻為將一埠網路內部獨立電源全部置零(電壓源短路，電流源開路)後，所得無源一埠網路的輸入電阻。常用下列三種方法計算：
5)當網路內部不含有受控源時可採用電阻串並聯和△－ y 互換的方法計算等效電阻；
6)外加電源法（加電壓求電流或加電流求電壓）。 如圖 4.11 所示。
圖 4.11 用外加電源法求戴維寧等效電阻
則7)開路電壓，短路電流法。即求得網路a埠間的開路電壓後，將埠短路求得短路電流，如圖4.12所示。
則：以上方法中後兩種方法更具有一般性。
4.戴維寧定理的應用
例4－10 計算圖示電路中rx分別為1.2ω、5.2ω時的電流 i ；
例4－10 圖（a）
解：斷開rx支路，如圖(b)所示，將其餘一埠網路化為戴維寧等效電路：
例4－10 圖（b） 例4－10 圖（c）
1）求開路電壓 uoc
2）求等效電阻req。把電壓源短路，電路為純電阻電路，應用電阻串、併聯公式，得：
3）畫出等效電路，接上待求支路如圖(d)所示，
例4－10 圖（d）
當 rx=1.2ω時，
當 rx =5.2ω時，
例4－11 計算圖示電路中的電壓u0 ；
例4－11 圖（a）
解：應用戴維寧定理。斷開3ω電阻支路，如圖(b)所示，將其餘一埠網路化為戴維寧等效電路：
1)求開路電壓 uoc
2)求等效電阻 req
方法1：外加電壓源如圖(c)所示，求埠電壓u 和電流i0的比值。注意此時電路中的獨立電源要置零。
因為：所以方法2：求開路電壓和短路電流的比值。
把電路斷口短路如圖(d)所示。注意此時電路中的獨立電源要保留。
對圖(d)電路右邊的網孔應用kvl，有：
所以i =0 ，
則3) 畫出等效電路，如圖(e)所示，解得：
例4－11 圖（b） 例4－11 圖（c）
例4－11 圖（d例4－11 圖（e）
注意：計算含受控源電路的等效電阻是用外加電源法還是開路、短路法，要具體問題具體分析，以計算簡便為好。
例4－12 求圖示電路中負載 rl 消耗的功率。
例4－12 圖（a）
解：應用戴維寧定理。斷開電阻rl所在支路，如圖(b)所示，將其餘一埠網路化為戴維寧等效電路。首先應用電源等效變換將圖(b)變為圖(c)。
例4－12 圖（b） 例4－12 圖（c）
1) 求開路電壓uoc
由 kvl 得：
解得： ，
2) 求等效電阻req，用開路電壓、短路電流法。
埠短路，電路如圖(d)所示，短路電流為：
因此：例4－12 圖（d）
3)畫出戴維寧等效電路，接上待求支路如圖(e)所示，則：
例4－12 圖（e）
例4－13 電路如圖所示，已知開關s扳向1，電流錶讀數為2a；開關s扳向2，電壓表讀數為4v；求開關s扳向3後，電壓u 等於多少？
例4－13 圖（a）
解：根據戴維寧定理，由已知條件得
所以等效電路如圖(b)所示，
例4－13 圖（b）
則：5.諾頓定理的內容
諾頓定理表述為：任何乙個含源線性一埠電路，對外電路來說，可以用乙個電流源和電導 (電阻)的併聯組合來等效置換；電流源的電流等於該一埠的短路電流，而電導(電阻)等於把該一埠的全部獨立電源置零後的輸入電導(電阻)。以上表述可以用圖4.
13來表示。
圖 4.13 諾頓定理
諾頓等效電路可由戴維寧等效電路經電源等效變換得到。諾頓等效電路可採用與戴維寧定理類似的方法證明。
需要注意的是：
（1）當含源一埠網路a的等效電阻時，該網路只有戴維寧等效電路，而無諾頓等效電路。
（2）當含源一埠網路a的等效電阻時，該網路只有諾頓等效電路而無戴維寧等效電路。
6. 諾頓定理的應用
例4－14 應用諾頓定理求圖示電路中的電流 i 。
例4－14 圖（a）
解： (1) 求短路電流isc，把ab端短路，電路如圖(b)所示，解得：
所以：例4－14 圖（b）
(2) 求等效電阻req ，把獨立電源置零，電路如圖(c)所示。
解得：(3)畫出諾頓等效電路，接上待求支路如圖(d)所示，應用分流公式得：
注意：諾頓等效電路中電流源的方向。
例4－14 圖（c） 例4－14 圖（d）
例4－15 求圖示電路中的電壓 u 。
例4－15 圖（a）
解：本題用諾頓定理求比較方便。因a、b處的短路電流比開路電壓容易求。
例4－15 圖（b） 例4－15 圖（c）
(1) 求短路電流isc，把ab端短路，電路如圖(b)所示，解得：
(2) 求等效電阻req，把獨立電源置零，電路如圖(c)所示，為簡單併聯電路。
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