機器數與真值
一、 機器數及其編碼
機器數就是數值在計算機中的表示形式，真值則是它在現實中的實際數值。可以這樣簡單的理解。因為計算機只能直接識別和處理用0、1兩種狀態的二進位制形式的資料，所以在計算機中無法按人們的日常書寫習慣用正、負符號加絕對值來表示數值，而與數字一樣採用二進位制**0和1來表示正、負號。
這樣在計算機中表示帶符號的數值資料時，符號和數均採用了0、1進行了**化。這種採用二進位制表示形式，連同正負符號一起**化的資料，稱為機器數或者機器碼（即，數值在計算機中的二進位制表示形式）。與機器數對應,用正、負符號加絕對值來表示的實際數值稱為真值。
根據約定機器數是否存在符號位，機器數可以分為無符號數和帶符號數。無符號數是指計算機字長的所有二進位制位均表示數值。帶符號數是指機器數分為符號位和數值兩部分，且均採用二進位制表示。
一般約定最高位表示符號。
例1-1:10011001作為無符號定點整數時，真值是153；作為帶符號定點整數時，第一位是符號位，1代表負號，二進位制數***的真值是-0011001，轉化成十進位制是-25。
對於帶符號數，根據小數點位置固定與否，又可以分為定點數和浮點數。在介紹浮點數之前我們要將注意力完全放在定點數上面，要有點耐心，對定點數的理解程度決定了我們對浮點數的理解程度，因為可以將浮點數看成是對定點數的一種應用，以後就會明白了。好了，先看一看什麼是定點數。
定點數約定所有資料的小數點位置均是相同且固定不變的。計算機中通常使用的定點數有定點小數和定點整數兩類。
定點小數：對於乙個長度為n位的機器數，定點小數約定小數點在符號位和最高數值位之間，如下
數符（最高位，占用1位）.尾數（剩餘n-1位）
小數點只是乙個約定，是隱含的，不占用空間。
定點整數：對於乙個長度為n位的機器數，定點整數約定小數點在最低數值位之後，如下
數符（最高位，占用1位）尾數（剩餘n-1位）.
小數點也是隱含的。
例1-2:下的八位二進位制數，我們看看它們所代表的值是多少
定點小數：1.1011001真值=-0.1011001=-0.6953125
定點整數：11011001真值=-1011001=-89
真值：127=+1111111定點整數：01111111
真值：-0.125=-0.001定點小數：1.0010000
1、 機器數與真值
機器只認識二進位制數：0、1。
這是因為，電路狀態常有兩個，如通、斷；高電平、低電平；…可用0、1表示。
這種0、1、0、1…1在機器中的表現形式——機器數。一般為8位。
無符號數：00000000b、……11111111b即00h ~ ffh
機器數有：
帶符號數：+1010110b、-1101001真值
01010110、11101001機器數
2、 機器數的編碼及運算
對帶符號數而言，有原碼、反碼、補碼之分，計算機內一般使用補碼。
1） 原碼
將數「數位化」，原數前「+」用0表示，原數前「-」用1表示，數值部分為該數本身，這樣的機器數叫原碼。
設x——原數；則[x]原 = x（x0）
x]原 = 2n-1 – x （x0），n為字長的位數。
如，[+3]原 = 00000011b
[-3]原 = 27 - （-3） = 10000011b
0有兩種表示方法：000000000
100000000
原碼最大、最小的表示：+127、-127
2） 反碼
規定正數的反碼等於原碼；負數的反碼是將原碼的數值位各位取反。
[x]反 = x （x0）
[x]反 =（2n –1）+ x （x0）
如，[+4]反 = [+4]原 = 00000100 b
[-4]反 = (28 –1)+(-4) = 11111111- 00000101 = 11111010 b
反碼範圍：-127 ~ +127
兩個0； +0 —— 00000000 b
-0 —— 11111111 b
3） 補碼
補碼的概念：現在是下午3點，手錶停在12點，可正撥3點，也可倒撥9點。即是說-9的操作可用+3來實現，在12點裡：3、-9互為補碼。
運用補碼可使減法變成加法。
規定：正數的補碼等於原碼。
負數的補碼求法：1）反碼 + 1
2）公式：[x]補 = 2n + x （x<0）
如，設x = - 0101110 b ， 則[x]原 = 10101110 b
則[x]補 = [x]反 + 1 = 11010001 + 00000001 = 11010010 b
如，[+6]補 = [+6]原 = 00000110 b
[-6]補 = 28 + （-6） = 10000000 – 00000110 = 11111010 b
8位補碼的範圍 –128 ~ +127。
0 的個數：只乙個，即00000000
而10000000 b是-128的補碼。
原碼、反碼、補碼對照表：表1-2 p10
4）補碼的運算
當x≥0時，[x]補= [x]反=[x]原
[ [x]補]補 = [x]原
[x]補+ [y]補 = [ x+y ]補
[ x-y ]補= [ x+（-y）]補
例：已知 x=52 y=38 求x-y
方法1： 減法方法2： 加法
x-y = 52-38 =14x-y = [ [ x-y]補]補 = [ [x]補+[-y]補]補
0 0 1 1 0 1 0 052]補+[ -38]補]補
-） 0 0 1 0 0 1 1 014 ]補 =14
0 0 0 0 1 1 1 0
52]補： 0 0 1 1 0 1 0 0
38]補：+） 1 1 0 1 1 0 1 0
1 0 0 0 0 1 1 1 0
自然丟失
計算機在做算術運算時，必需檢查溢位，以防止發生錯誤
5）運算的溢位問題
資料字長（位數）有一定限制，所以資料的表示應有乙個範圍。
如字長8位時； 補碼範圍-128~+127
若運算結果超出這個範圍，便溢位。
例： [98]補： 0 1 1 0 0 0 1 0 [85]補： 0 1 0 1 0 1 0 1
[25]補：+）0 0 0 1 1 0 0 1 [47]補：+）0 0 1 0 1 1 1 1
[123]補： 0 1 1 1 1 0 1 1 [132]補： 1 0 0 0 0 1 0 0
未溢位 0 0溢位 0 1
cs+1 cs（未溢位cs+1 cs （溢位）
錯：兩個正數相加和為負數。
[- 85]補： 1 0 1 0 1 0 1 1 [- 19]補： 0 1 0 1 0 1 0 1
[- 47]補：+）1 1 0 1 0 0 0 1 [- 79]補：+）1 0 1 1 0 0 0 1
[- 132]補： 1 0 1 1 1 1 1 0 0 [- 98]補： 1 1 0 0 1 1 1 1 0
溢位 1 0未溢位 1 1
cs+1 cscs+1 cs
錯：兩個負數相加和為正數。
可見：結果正確（無溢位）時，cs+1 = cs
結果錯誤（溢位）時，cs+1 ≠ cs
溢位判斷：溢位 = cs+1cs（即結果是0為無溢位；1為有溢位）
3、 十進位制數的編碼
對機器：二進位制數方便，
對人 ：二進位制數不直觀，習慣於十進位制數。
在程式設計過程中，有時需要採用十進位制運算，但機器不認識十進位制數。
怎麼辦？
可以將十進位制的字元用二進位制數進行編碼：
1 00009 1001
2 00011010
2 00101011
3 00111100 未用碼
4 01001101
5 01011110
6 01101111
7 0111
8 1000
這叫做二進位制數對十進位制編碼——bcd碼。
上述每4位二進位制數表示乙個十進位制字元，這4位中各位的權依次是：
8、4、2、1——8421 bcd碼。
bcd碼的運算：
例： 1 80 0 0 1 1 0 0 0
+） 3 bcd碼相加 +） 0 0 0 0 0 0 1 1
2 10 0 0 1 1 0 1 1
3 b非bcd碼（錯）怎麼辦？
需進行十進位制調整：
0 0 0 1 1 0 0 0
+） 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 1 0 1 1個位大於9，應進1）
0 1 1 0加6使進1）
0 0 1 0 0 0 0 1結果形如出21）
（1）bcd碼加法規則
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