一，一些說明和對數學的解釋
本篇中將使用經典電磁輻射理論對幾何光學的一些原理諸如反射原理和入射原理的一些推導和機制進行討論，並且自始至終使用非相對論性近似和長距近似。
對於乙個一任意方式運動的點電荷所產生之電磁場，可由費曼表示式給出：
1）2）
在我們的長距近似下，電場在較遠距離的唯一有效項即為第乙個表示式的第三項（因為除它之外，其他的幾項都是成平方反比衰減的）。並且，在非相對論近似下，我們可以認為電荷在不太遠的距離內做速度不太大的運動，所以單位向量的加速度的徑向分量便效應很小了。由於距離變化不大，延遲時間也可以認為是一定的。
則我們的「基本定律」變為：
3）加速度的延遲時間為距離除以光速
另外，對於乙個視平面與輻射源成夾角的方向，且輻射源是乙個以振幅
做簡諧運動的振子所測量到的場來說，有關係式：
以及對於電磁輻射，波數與頻率之間有如下關係：
其中，是為位相
綜上，就是我們在此討論中所用到的大多數學工具與近似手段。
二，對於反射定律之機制和導引
在對反射定律的導引過程中，會假設反射面是近乎連續的電荷分布面，其電荷之間的間距小於電磁波長。
首先我們來討論干涉的數學。
對於n個等間距的振子，其振幅都相同，但彼此間有不同的位相（或許是因為激勵時不同相或者與視平面成角），我們將用複數來表示其和（因子將被忽略，一方面是這個效應較小，並且由於我們所討論的問題的對稱性它會被對消掉）：
易證（此處將不予推導），對於合振幅，有：
4）或對於強度（正比與場強的平方），有：
5）對於其極大值，在是應有一極大值，由正弦函式的週期性質可知， 為2π的任意整數倍時均有極大值，但在我們的情況下（間距小於波長）將只有第一級極大值。
接下來開始討論反射的問題。我們可以假設在無限遠處有一光源，它處在一定的傾角處使一束光以角入射，我們來討論其散射光。
對於激勵引起的初相，在每個近似的「電荷振子」之間均相同：另外對於出射光與平面有一定的的傾角，總之，相鄰兩個電荷之間的初相差為：
一般而見的反射光當然是其極大值，對於我們的假設（電荷之間的距離小於波長，即近乎連續）來說，
是唯一的解。
那麼，對於兩個夾角之間之間則有關係：
6）（當然這個角度是指與反射面的夾角而非一般意義上與法線所成的入射角與出射角）
則入射角與反射角之間有兩種可能的關係：相等或互補。以互補角散射的光就是我們所討論的反射光，另一束光則直接「透射「過去（事實上這束光並不是入射光，實際情況下也不會以等角出射，因為我們忽略了一些諸如反射率這樣我們將要討論的效應）。
這樣我們從電磁輻射的經典理論出發匯出了幾何光學的乙個非常簡單的定律：反射定律。它可以這樣表述：
入射光與法線的夾角等於反射光與法線的夾角。
即：當然，在幾何光學中，我們不可能得到對於這條簡單定律的正確的機制的理解：
入射光使反射體中的原子發生運動，從而反射體就產生一束新的波，散射方向的解是兩束光與法線的夾角相同！
三，對於折射定律之導引
相對反射定律，折射定律要複雜一些。幾何光學中的折射定律可以如下表述：
7）其中的為折射面之間兩種介質（也可能為真空）的折射率。這個定律又稱斯涅爾定律。
對於折射率應這樣定義
其中c為真空中的光速。從中很容易看出來折射現象不過就是因為在兩種介質中的波速不同所引起的。事實上，如果知道了這個事實，折射定律是很好導引的。
因為對於折射面的物質，可以認為是做受迫運動的振子。而它們必須與激勵源有相同的頻率。為了保證這點，在兩種介質中的波的波峰在介面上必須位於同一位置。
兩種介質中的波長分別為：
由上述邊界條件可知，必須滿足：
化簡後得：
即斯涅爾定律。
四，折射率的機制及色散方程
接下來我們將討論折射率的機制（因為它是使波速不同的根本原因），並試圖找出能確定折射率的方程。
首先我們將想象如下裝置：有乙個較薄的透明物質板，左面一定距離內有乙個光源，在板的右側p點，我們將檢測那裡的電磁波。我們同樣將做幾個假設，首先是這個板較疏鬆，使得我們不用考慮板中的電場對自身的激勵作用。
另外，我們還將假設由光源所產生的電磁波在通過板時不受影響（事實上不是的，但是之後我們會在修正中考慮這個效應）。
另外在真正的推導折射率之前我們還需要知道一些其他的公式，這個公式給出了**的電荷平面激發的電磁波（推導並不複雜，但是有乙個付諸於物理實用方面的與數學上不同的地方，就是我們在推導中會認為正無窮的余弦值為零。但是不作此改動也可導引出這個公式）：
8）其中n為平面內單位體積的原子數，z為距離。
接下來讓我們來正式的推導折射率的方程。根據我們的假設，p點所檢測到的場可以表示成乙個修正場（）與光源所產生的場（）的和。首先讓我們基於輻射場在經過薄板時會慢下來的這一假設來匯出修正場的形式。
首先光源所產生的場為：
設板的厚度為，在板中光以速度傳播。那麼考慮到這一附加時間，我們應該把上述方程中的延遲項做一下變換，則有：
可以看出修改場是沒有物質存在時的場乘上乙個修正因子。我們還可以對它做一下變形。根據尤拉公式：，那麼當相角很小時，就有
在這裡，我們已經假設透明板很薄，所以我們可以直接將上式改寫成：
9）第一項正好是沒有物質時來自光源的場，那麼，第二項應該就是我們所要找的修正場。其中包括因子n。事實上，因為除了n都是基本量或者測量量，所以這個式子可以作為測量折射率的乙個方程。
我們再來從另乙個方面考慮一下這個現象。定性的看，它的過程是光源發出的電磁波激勵板上的原子中的電子，使之一同發出電磁波。 那麼我們就可以通過計算物質引起的場來得出折射率。
如果前述的光源了距離板子足夠遠，那麼由源所產生的場在板的附近可以寫成：
剛好在板上時，有：
板上的電子將受到這個場的激勵並作出相應運動。除此之外，從量子力學對原子結構的正確繪景來看，在處理有關電磁波的問題時，電子的運動有如他們被拴在彈簧上一樣（具有線性的恢復力），那麼我們就可以寫出每乙個電子的運動方程：
以及它的解：
10）現在我們對這個解取微商求出速度，並且帶入式子（8），再計入延遲，得：
11）將式子（11）與式子（9）的第二部分比較是有趣的。事實上，如果這兩項取完全相等，那麼就有：
12）考慮到我們之前的一些近似，我們可以對這個式子進行一些修改。
首先我們的電子「振子」一定要是有阻尼的，否則它就會無法停止，所以我們在式子裡可以加上阻尼項。這不過是在第二項的分母中的括號裡加上一項（可以由阻尼振子的方程求解出，我們在這裡只取它的穩態響應）。另外，由於一塊物質中的電子的固有頻率不會完全相同，我們需要將這個式子修改為乙個求和。
綜上，有：
13）式子（13）給出了由物質特性和光的頻率來確定折射率的對應關係。它給了我們乙個關於折射率的機制及其大小的「解釋」。事實上這個方程預言不同色光因為頻率不同應該有不同的折射率，也就解釋了白光在通過三稜鏡時的色散現象，所以我們也稱這個式子為色散方程。
幾何光學中如此簡單的斯涅爾定律在經典電磁輻射中竟有如此複雜的解釋。事實上我們可以繼續討論這個複折射率並且對其虛部作出一些解釋，但是有些離題太遠了。
五，尾聲
對幾何光學中反射定律與折射定律的討論也就到此為止了，事實上遠非完整。事實上，從實用的角度來說，描述高頻低能的光學情況的幾何光學可以由這兩個定律以及乙個假設：光線（幾何光學中的假想研究實體）在不遇到障礙物時延直線傳播，就可以匯出幾何光學的所有推論。
而現在我們已經用輻射場的理論理解其中兩條的機制並且給出表示式了！事實上我們的討論也僅僅是一種近似，更加完備的論證應該由量子光學來完成。
六，staff
鳴謝：office word的強大功能
《費曼物理學講義》中對電磁輻射的巧妙講解
word2003控制項在公式輸入上的強力功能
and you。。。
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