小學奧數知識點梳理

學而思教材編寫組侍春雷

前言小學奧數知識點梳理，對於學而思的小學奧數大綱建設尤其必要，不過，對於知識點的概括很可能出現以偏概全掛一漏萬的現象，為此，本人參考了單尊主編的《小學數學奧林匹克》、中國少年報社主編的《華盃賽教材》、《華盃賽集訓指南》以及學而思的《寒假班系列教材》和華羅庚學校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構建十七塊體系（其第十七為解題方法匯集，可補充相應雜題），原則上簡明扼要，努力刻畫小學奧數知識的主樹幹。

概述一、計算

1．四則混合運算繁分數

1 運算順序

2 分數、小數混合運算技巧

一般而言：

1 加減運算中，能化成有限小數的統一以小數形式；

2 乘除運算中，統一以分數形式。

⑶帶分數與假分數的互化

⑷繁分數的化簡

2．簡便計算

⑴湊整思想

⑵基準數思想

⑶裂項與拆分

⑷提取公因數

⑸商不變性質

⑹改變運算順序

1 運算定律的綜合運用

2 連減的性質

3 連除的性質

4 同級運算移項的性質

5 增減括號的性質

6 變式提取公因數

形如：3．估算

求某式的整數部分：擴縮法

4．比較大小

1 通分

a. 通分母

b. 通分子

2 跟「中介」比

3 利用倒數性質

若，則c>b>a.。形如：，則。

5．定義新運算

6．特殊數列求和

運用相關公式：①③

⑤⑥⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n

二、數論

1．奇偶性問題

奇奇=偶奇×奇=奇

奇偶=奇奇×偶=偶

偶偶=偶偶×偶=偶

2．位值原則

形如： =100a+10b+c

3．數的整除特徵：

4．整除性質

1 如果c|a、c|b，那麼c|(ab)。

2 如果bc|a，那麼b|a，c|a。

3 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那麼bc|a。

4 如果c|b,b|a,那麼c|a.

5 a個連續自然數中必恰有乙個數能被a整除。

5．帶餘除法

一般地，如果a是整數，b是整數（b≠0）,那麼一定有另外兩個整數q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r

當r=0時，我們稱a能被b整除。

當r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的餘數，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）。用帶餘數除式又可以表示為a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r

6. 唯一分解定理

任何乙個大於1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即

n= p1× p2×...×pk

7. 約數個數與約數和定理

設自然數n的質因子分解式如n= p1× p2×...×pk那麼：

n的約數個數：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)

n的所有約數和：（1+p1+p1+…p1）（1+p2+p2+…p2）…（1+pk+pk+…pk）

8. 同餘定理

① 同餘定義：若兩個整數a，b被自然數m除有相同的餘數，那麼稱a，b對於模m同餘，用式子表示為a≡b(mod m)

②若兩個數a，b除以同乙個數c得到的餘數相同，則a，b的差一定能被c整除。

③兩數的和除以m的餘數等於這兩個數分別除以m的餘數和。

④兩數的差除以m的餘數等於這兩個數分別除以m的餘數差。

⑤兩數的積除以m的餘數等於這兩個數分別除以m的餘數積。

9．完全平方數性質

①平方差： a-b=（a+b）（a-b），其中我們還得注意a+b， a-b同奇偶性。

②約數：約數個數為奇數個的是完全平方數。

約數個數為3的是質數的平方。

③質因數分解：把數字分解，使他滿足積是平方數。

④平方和。

10．孫子定理（中國剩餘定理）

11．輾轉相除法

12．數論解題的常用方法：

列舉、歸納、反證、構造、配對、估計

三、幾何圖形

1．平面圖形

⑴多邊形的內角和

n邊形的內角和=(n-2)×180°

⑵等積變形（位移、割補）

1 三角形內等底等高的三角形

2 平行線內等底等高的三角形

3 公共部分的傳遞性

4 極值原理（變與不變）

⑶三角形面積與底的正比關係

s1︰s2 =a︰bs1︰s2=s4︰s3 或者s1×s3=s2×s4

⑷相似三角形性質（份數、比例）

① ; s1︰s2=a2︰a2

②s1︰s3︰s2︰s4= a2︰b2︰ab︰ab ; s=（a+b）2

⑸燕尾定理

s△abg：s△agc＝s△bge：s△gec＝be：ec；

s△bga：s△bgc＝s△agf：s△gfc＝af：fc；

s△agc：s△bcg＝s△adg：s△dgb＝ad：db；

⑹差不變原理

知5-2=3，則圓點比方點多3。

⑺隱含條件的等價代換

例如弦圖中長短邊長的關係。

⑻組合圖形的思考方法

1 化整為零

2 先補後去

3 正反結合

2．立體圖形

⑴規則立體圖形的表面積和體積公式

⑵不規則立體圖形的表面積

整體觀照法

⑶體積的等積變形

①水中浸放物體：v公升水=v物

②測啤酒瓶容積：v=v空氣+v水

⑷三檢視與展開圖

最**路與展開圖形狀問題

⑸染色問題

幾面染色的塊數與「芯」、稜長、頂點、面數的關係。

四、典型應用題

1．植樹問題

①開放型與封閉型

②間隔與株數的關係

2．方陣問題

外層邊長數-2=內層邊長數

（外層邊長數-1）×4=外周長數

外層邊長數2-中空邊長數2=實面積數

3．列車過橋問題

①車長+橋長=速度×時間

②車長甲+車長乙=速度和×相遇時間

③車長甲+車長乙=速度差×追及時間

列車與人或騎車人或另一列車上的司機的相遇及追及問題

車長=速度和×相遇時間

車長=速度差×追及時間

4．年齡問題

差不變原理

5．雞兔同籠

假設法的解題思想

6．牛吃草問題

原有草量=（牛吃速度-草長速度）×時間

7．平均數問題

8．盈虧問題

分析差量關係

9．和差問題

10．和倍問題

11．差倍問題

12．逆推問題

還原法，從結果入手

13．代換問題

列表消元法

等價條件代換

五、行程問題

1．相遇問題

路程和=速度和×相遇時間

2．追及問題

路程差=速度差×追及時間

3．流水行船

順水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速=（順水速度+逆水速度）÷2

水速=（順水速度-逆水速度）÷2

4．多次相遇

線型路程：甲乙共行全程數=相遇次數×2-1

環型路程：甲乙共行全程數=相遇次數

其中甲共行路程=單在單個全程所行路程×共行全程數

5．環形跑道

6．行程問題中正反比例關係的應用

路程一定，速度和時間成反比。

速度一定，路程和時間成正比。

時間一定，路程和速度成正比。

7．鐘面上的追及問題。

1 時針和分針成直線；

2 時針和分針成直角。

8．結合分數、工程、和差問題的一些型別。

9．行程問題時常運用「時光倒流」和「假定看成」的思考方法。

六、計數問題

1．加法原理：分類列舉

2．乘法原理：排列組合

3．容斥原理：

1 總數量=a+b+c-(ab+ac+bc)+abc

2 常用：總數量=a+b-ab

4．抽屜原理：

至多至少問題

5．握手問題

在圖形計數中應用廣泛

1 角、線段、三角形，

2 長方形、梯形、平行四邊形

3 正方形

七、分數問題

1．量率對應

2．以不變數為「1」

3．利潤問題

4．濃度問題

倒三角原理

例：5．工程問題

① 合作問題

2 水池進出水問題

6．按比例分配

八、方程解題

1．等量關係

1 相關聯量的表示法

例：甲 + 乙 =100甲÷乙=3

x 100-x3x x

②解方程技巧

恒等變形

2．二元一次方程組的求解

代入法、消元法

3．不定方程的分析求解

以係數大者為試值角度

4．不等方程的分析求解

九、找規律

⑴週期性問題

1 年月日、星期幾問題

2 餘數的應用

⑵數列問題

1 等差數列

通項公式 an=a1+(n-1)d

求項數： n=

求和： s=

2 等比數列

求和： s=

3 裴波那契數列

⑶策略問題

1 搶報30

2 放硬幣

⑷最值問題

1 最**路

a.乙個字元陣組的分線讀法

b.在格仔路線上的最短走法數

2 最優化問題

a.統籌方法

b.烙餅問題

一十、算式謎

1．填充型

2．替代型

3．填運算符號

4．橫式變豎式

5．結合數論知識點

一十一、數陣問題

1．相等和值問題

2．數列分組

⑴知行列數，求某數

⑵知某數，求行列數

3．幻方

⑴奇階幻方問題：

楊輝法羅伯法

⑵偶階幻方問題：

雙偶階：對稱交換法

單偶階：同心方陣法

一十二、二進位制

1．二進位制計數法

1 二進位制位值原則

2 二進位制數與十進位制數的互相轉化

3 二進位制的運算

2．其它進製（十六進製制）

一十三、一筆畫

1．一筆畫定理：

⑴一筆畫圖形中只能有0個或兩個奇點；

⑵兩個奇點進必須從乙個奇點進，另乙個奇點出；

2．哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈

3．多筆畫定理

筆畫數=

一十四、邏輯推理

1．等價條件的轉換

2．列表法

3．對陣圖

競賽問題，涉及體育比賽常識

一十五、火柴棒問題

1．移動火柴棒改變圖形個數

2．移動火柴棒改變算式，使之成立

一十六、智力問題

1．突破思維定勢

2．某些特殊情境問題

一十七、解題方法

（結合雜題的處理）

1．代換法

2．消元法

3．倒推法

4．假設法

5．反證法

6．極值法

7．設數法

8．整體法

9．畫圖法

10．列表法

11．排除法

12．染色法

13．構造法

14．配對法

15．列方程

⑴方程⑵不定方程

⑶不等方程

另外補充說明：

在華校課本六年級中有「棋盤上的數學」三講，其實是找規律型別，知識點涉及棋盤格，幾何，數論等，屬於綜合性問題。

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