實變函式習題集
第四章可測函式
§4.1 可測函式的定義及其簡單性質
1、 判斷
(1) 設定義於可測集，則是可測函式是可測函式。（ ）×；
解錯誤。可證明是可測函式是可測函式(其證明見本節課件)，但反之卻不一定成立。因為當我們取為一不可測集時，令。
顯然在可測，而不可測。
(2) 存在上的連續函式，與某個處處不連續的可測函式對等。( )√；
解正確。，，，則，
(3) (p104.6) 任何集合上的連續函式一定是可測函式。（ ）×；可測集(證明見習題8)
(4) 在[0,1]上不可能定義以下函式：在有理數連續，在無理數上不連續。（ ）√；
(5) 設在上可測，則在上可測與在上可測等價。（ ）×；
解錯誤。例如：設是上的不可測集，，則是上的可測函式，但不是上的可測函式。
(6) 若，則任意都是上的可測函式。（ ）√；
(7) (p104.7) 可測集上的單調函式一定是可測函式。（ ）√；
解正確。(證明見習題10)（或單調函式至多有可列個不連續點，即幾乎處處連續）。
(8) 存在上的可測函式，與上的任一連續函式不對等。（ ）√；
(9) 函式在上是可測的當且僅當對於每個實數，集合可測
解反例見本節第6題。
2、辨析題（要求：判斷命題是否正確，對正確的命題予以簡要證明，對不正確的命題舉出反例。）
(1)(p104.11) 若在連續，是可測集上的實值可測函式，則是e上的可測函式。
解正確。
記,記有，
因連續，由p36.12題知是開集。而可測，由p104.10題知是可測集， 所以是可測函式。
(2) 存在可測集上的可測函式列，使得收斂於可測函式的點集是不可測
集。 解錯誤。，。
(3)在上連續，則在上可測。
解正確。參照課件。
(4) 存在定義在可測點集上的不可測函式。
解正確。，上任一不可測子集，定義
，。3、單項選擇
(1) 設是上的可測函式，則對任意實數，有( ) d；(p35.2)
a、是開集 b、是閉集
c、是零測集 d、是可測集
(2) 以下命題中，( ) 是正確的。c; (p104.11)
a、可測，連續可測
b、可測，可測可測
c、存在上的不可測函式
d、 存在上的不可測函式
4、若函式在e上可測，是上的連續函式，則是上的可測函
數。 證明因為函式在上可測，由p104.8題知必存在簡單函式序列使得
， 。由是上的連續函式知是
上的簡單可測函式序列，則有。由p104.8題知
是上的可測函式。
5、設在上連續，是上的可測函式，證明在上可測。
證明法一見習題2.(1)。
法二記，，， 是直線上的開集，是其構成區間(可能是有限個， ， ），因此， ，
，、。6、證明：函式是集e 上的可測函式的充要條件是：對於任意有理數，集可測。如果集可測，試問是否一定可測?
證明（法一） 必要性的證明是顯然的。下證充分性。
若對任意有理數,集可測。則對任意實數，記是大於的一切有理數，則有，由可測得是可測的。從而是上的可測函式。
若對任意有理數，集可測。則是不一定是可測的。例如，，
是中的不可測集。.定義
.則對任意有理數，是可測的，但是不可測的。因而是不可測的。.
（法二）必要性是顯然的。
充分性：對任一實數，取有理數列，使得，而，於是
，即可測。
若可測，但不一定可測。比如
因集不可測，故不可測。但集可測。
7、設是上的可測函式，且點集是可測集，試證明是上的可測函式。
證明，，則由題設知可測；
，由於，而在e 上可測，則；
，則可測。
從而，均有可測，故在上可測。
8(p103.1)、設，是上的可測函式，則是可測函式。
證明 （法一）見課件。
（法二）因，是上的可測函式，則，都有和可測。而對，易證。所以可測，即為上的可測函式。
（法三）對，，任取，則。從而，使，即。
從而；反之也成立。
故可測，即是可測函式。
9(p104.6)、設是上的連續函式，則在的任何可測子集上都可測。
證明參見課件。當是上的連續函式，設是的任意乙個可測子集，對，有是閉集。這是因為，則有，使又由的連續性知：。其中。從而，則為閉集。由閉集的可測性知：在集上可測。
10(p104.7)、設是中的可測子集上的單調函式，證明在上可測。
證明 (法一)參見課件。當，不妨設是單增函式，設m、m為在在上的最大值、最小值，則，，則有，即是可測集，即在上可測。
(法二) 因為單調函式的不連續點至多可列多個，則設的不連續點集為，則，且在上連續，從而在上可測。
§4.2 egoroff定理
1、 判斷
(1) (p108.1) egoroff 定理中這個條件是可以去掉的（ ）。×；(見本節課件例1)
(2) 設為可測集e上的可測函式列，則為e上的可測函式 ( )。√；
證明參見課件。
(3) 設定義於可測集，則是可測函式是可測函式。（ ）√；
證明對，，是可測函式，從而是可測函式。
2、填空題
(egorolf定理)設
(1是 e 上的一串幾乎處處取有限值；
(2) 於e，且，則
解對於任意正數，恒有可測子集，使而在上一致地收斂於。
3、敘述並證明葉果洛夫逆定理。
證明略去葉果洛夫逆定理敘述。下面來證明葉果洛夫的逆定理。
若在上一致地收斂於，則，恒有。
令，則且，使。由測度的上連續性(內極限定理)得，從而於e。
4、針對函式列,和,對葉果諾夫定理給以解釋和說明。
解葉果諾夫定理：當定義域為有限測度集時,幾乎處處收斂「基本上」是一致收斂(即:去掉乙個小測度集,在留下的集合上一致收斂).
如在上處處收斂於,但,在上一致收斂於.葉果諾夫定理中條件定義域為有限測度集不可缺少,如在上處處收斂於,不一致收斂於,並且去掉任意小測度集,在留下的集合上仍不一致收斂。
§4.3 可測函式的結構lusin定理
1、 判斷
(1) ？？設函式， 則在上的每一點都不連續，所以對
，魯津定理的結論不成立
解錯誤。上的有理點記為，則上的無理點記為，且，
為在上的連續函式，？？其值處處為0。
(2) 對於上的每個幾乎處處有限的可測函式和，存在連續函式，使得
。（ ）∨；
解正確。由lusin定理即得。
(3) 在可測集e上不存在這樣的可測函式f，使得對於e上的任何連續函式g，有。
（ ）×；
解下面來作上的可測函式，使對任何連續函式有。
作，，，
，當，。，。
2、敘述 lusin 定理，並就是可測集e上幾乎處處有限的簡單函式情況給出 lusin 定理的證明。
證明 lusin定理的敘述：設是e上有限的可測函式，則對，存在閉集，使，且在上連續。
其證明見本節課件定理1證明的第一步。
3、敘述並證明 lusin 定理的逆定理成立。
證明魯金定理的逆定理的敘述：設是可測集上的函式,若對,存在閉子集,使在上連續,且,證明:是上有限的可測函式。
下面來證明魯金定理的逆定理。(法一)
由所設對每個自然數，存在閉子集,使在上連續且，令，則對任何，。
因而，且。
對，，由在上連續性知：可測。而，則，所以亦可測。從而
可測，因此是可測的。
又因為在上有限，所以在上有限，從而在上有限。
(法二), ,存在閉集,使,在上連續.令,則,都，即，都有，故在連續。從而在連續。
又對任意的,,
故，則是上的可測函式，從而是上的可測函式。
§4.4 依測度收斂
1、 判斷
(1) 設，為可測集e上一列有限的可測函式，若在e上收斂於有限的可測函式，則在e上依測度收斂於。(簡記為設則)（ ）√；
解正確。證明見本節定理1(lebesgue定理)。
(2) 若，於e，則。（ ）√；
(設且與對等，證明： ())
解正確。下面來證明。
因為，則對，。而，故
。由知有成立，從而有成立。即
。(3)(p117.3) 設為可測集e上有限的可測函式列，若於e，則在e上
解錯誤。因時定理1(lebesgue定理)不一定成立。反例見§4.3節例1。
(4) 設於e，則一定有於e
解錯誤。反例見4(1)。由rise定理知:設於e，則一定有於e 。
(5) 若 e 可測，則，a·e於e 成立
解正確。證明見本節定理3(或習題4)。
2、單項選擇
(1) 設為可測集 e 上的有限的可測函式，則下述斷言中，正確的是( )。d
a、若於e, 則在e上； (lebesgue定理：)
b、若於 e, 則在e上近一致收斂到；((egoroff定理：)
c、若在e上，則於 e；(rise定理：,於e)
d、若在e上,則存在子列,,於e。
(2) 設是上的有限的可測函式列，下述命題中（ ）是錯誤的。c。
a、是可測函式b、是可測函式
c、若，則 d、若，則可測。
3、舉例說明（不需證明）。
(1) (p117.3) 幾乎處處收斂與依測度收斂的區別。
解見本節課件。下面舉例來說明。
幾乎處處收斂於，但不依測度收斂於。
取，，，在e上依依測度收斂於，但處處不收斂。
4、若於e，於e，證明：與對等，即於e。
證明由，則，有
又，故對，。
因為，所以。
即與對等於e。
5、設是上的可測函式,證明存在上的連續函式列,使得。
證明據魯金定理, ,上的連續函式，滿足。故,有,即。
6、設在e上，而於e，證明：在e上，。
證明記，則。所以。
對，有，所以
。故有。
7、設是可測函式列，而且於e，那麼必有
於e。證明因(或)，記，則。故當時，有
，而，從而。即於e。
8、設，與是上幾乎處處有限的可測函式(列),於,則於。
證明先證若,則。
事實上, , ,
由,知,得,即。
再證若,則。
事實上且,則(其中有限),從而,。因而,即。
9(p117.1)、設是e上幾乎處處有限的可測函(列),於e，於e，則於e。
證明由於,故,
,從而。
令,即得,即於。
10 (p117.2)、設於 e, , 且於 e，證明。
證明由riesz定理知道存在的子列,使得.由。
高等代數習題冊Ch1 Ch4
高等代數習題冊 作業說明 教師每次講完章節內容，同學們完成相應的習題，從開課第二週起一般每週交一次作業。作業直接寫在習題冊上，寫不下可寫背面 第一章行列式 1引言 一填空題 1 最小的數環是最小的數域是 2 一非空數集,包含0和1,且對加減乘除四種運算封閉，則其為 二證明題 1.證明是乙個數域，其中...
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