中原工學院2023年數學建模競賽
**題目：基於0-1規劃的移動通訊基站最優選址模型
參賽隊員：班級：信科071 姓名：李珍奇
班級：信科072 姓名：王朝陽
班級：信科072 姓名：曹萌
2023年 8月30日
摘要本文以移動通訊基站的投資成本與覆蓋特性為背景，綜合利用多種模型在資金和被選位址確定的情況下，對基站的選址問題進行了求解和優化。
針對問題一，我們首先對題中表1和表2所給的資料進行整理和分析，引入了0-1規劃模型和排除法進行求解，在0-1規劃模型中，運用布林代數中的加法原則來避免同一社群的人口被重複計算，用lingo軟體求得當在2，4，6，7號位置建設基站時，覆蓋人口最多。在這種方案下，建設基站總費用為4500萬元，覆蓋了2，3，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15社群，總人口為109.5千人。
在排除法解決方法中，我們根據題目中的計畫資產不超過5000萬元的條件下覆蓋人口盡可能多的要求，通過程式輸出建設三個和四個中繼站的所有可能的情況，經過比較排除後，對剩下的20種可供選擇的方案，依題意求出對應的建設費用m、覆蓋社群、覆蓋人口w。經過比較，得出投資4500萬元，在2，4，6，7這四個位置建站可以覆蓋除1和4以外的所有社群，總覆蓋109.5千人的最優方案。
這兩種求解方法分別從不同的角度解決問題，得出了相同的建設方案。兩種方法之間相互檢驗，論證了它們的合理性，這也是我們模型的一大特色。
在問題二中，我們仍然引用0-1規劃模型，只是對其稍加改進。這裡用布林代數中的加法原則來避免同一社群的總通訊資費被重複計算。用lingo軟體求得在2，4，6，7號位置建設基站時，資費的收入達到最大，為83.
74百萬元（為手機使用率）。同時繪製了基站建設方案示意圖（如圖2所示）。然後我們運用列舉法把各種方案覆蓋的社群及總人數和總資費收入一一列出（如表7所示），經過計算和比較最終得出了和0-1規劃中同樣的結果。
從而證明了0-1規劃模型所求結果的正確性。
最後，我們對模型的優缺點進行了分析，並對模型的改進和推廣方向作了進一步**。
本文充分利用了lingo語言和c語言的特性，進行綜合程式設計，對大量資料做了相應處理，使得演算法易於實現，計算量減少，從而能夠更加科學的得出最優方案。
關鍵詞：0-1規劃布林加法 lingo語言
一、問題的重述
隨著移動通訊技術的發展，普通民眾對於通訊需求的逐步提高，使得移動通訊不斷拓展它的業務，而移動通訊工具的訊號發出是通過基站接力傳輸的。某手機運營商計畫投資5000萬在乙個尚未覆蓋的區域開展業務，建設基站。該區域有15個社群，有7個位置可以建設基站每個基站只能覆蓋有限個社群。
由於地理位置等各種條件的不同，每個位置建設的基站的費用及覆蓋範圍也不相同。下面給出了社群分布及中繼站建設點，表1給出了每個位置建設基站的費用以及能夠覆蓋的社群，表2列出了每個社群的人口數。
表1 每個位置建設基站的費用及所能覆蓋的社群
表2 每個社群的人口數量
問題一：在建設費用不超過5000萬的前提條件下，在7個位置中何處建設基站，能夠使覆蓋的人口盡可能的多；
問題二：考慮到基站出現故障維修的時候可能會出現所覆蓋的社群訊號中斷等問題，為此對通訊資費進行了調整，規定，僅有乙個基站訊號覆蓋的小區人均通訊資費按正常資費的68%收取，而有兩個或兩個以上基站訊號覆蓋的小區人均的通訊資費按正常收取，在建設費用不超過5000萬的情況下，應該在7個位置中如何建設基站，才能夠使得手機運營商得到最大的資費收入。
二、問題的分析
對於問題一，我們要求的是在建設費用不超過5000萬的前提條件下，在7個位置中何處建設基站，能夠使覆蓋的人口盡可能的多。，於是我們引進了0-1整數規劃和排除法兩個模型。在0-1整數規劃模型中，以覆蓋的人口盡可能的多為目標函式，以建設費用不超過5000萬為約束條件建立模型，並用lingo軟體求解，得到滿足題目條件的基站。
在排除法中，我們先對所給資料進行分析，用c++程式設計輸出70種滿足題目約束條件的方案。通過排除、比較最終得到了符合條件的建站位置。
對於問題二，同樣是乙個規劃方案，只不過目標函式為得到最大的資費收入。此時可以對問題一中lingo程式稍加修改即可。為了驗證結果的正確性，可以使用列舉法列出滿足條件的基站建設方案覆蓋的社群和總資費收入。
最後把滿足條件的基站建設方案對應的資費收入進行比較，從而確定出最理想的建站方案。
三、模型的假設與符號說明
3.1 模型的假設
1、各社群人口總量不變；
2、假設各社群內移動通訊客戶所佔該社群總人口比例即手機使用率相同；
3、若某社群處在某一基站覆蓋範圍，則該社群中的手機使用者能全部被該機站覆蓋；
4、通訊訊號不受地形地貌、氣候變化等因素影響；
5、每個中繼站位置不會重複建設基站；
6、忽略由於基站之間的相互干擾所造成的對服務質量的影響；
7、假設正常資費是穩定的，僅與小區覆蓋次數有關，不隨時間與使用人口的數量而改變；
8、假設每乙個小區內平均每一千人的政策資費在有兩個或兩個以上中繼站訊號覆蓋情況下相等，且設時間為常數，每千人的通訊資費是1，在有乙個中繼站訊號覆蓋的社群通訊費按每一千人0.68收取。
3.2 符號說明
：每乙個基站的建設情況（表示第i個基站需要建設，表示第i個基站不需要建設）；
：手機使用率（）
m：基站的建設總成本
w：在某種建設方案下，基站覆蓋的等效人口
s：某種建設方案下，資費收入
四、模型的準備
根據題目中表1和表2的資訊，為了更好地分析問題，我們將基站對於小區的覆蓋情況用表3描述：
表3 基站對於小區的覆蓋情況
說明：表中的「√」表示基站可覆蓋相對應的社群，**空表示基站和社群沒有對應關係。
然後根據上面表3，我們可以得到所有社群對應的基站的位置情況，如表4所示：
表4 所有社群對應的基站的位置情況
五、模型的建立和求解
5.1 問題一模型
5.1.1 基於0-1規劃的求解模型
對於基站，只有建設和不建設兩種情況，因此，可用0-1規劃的思想建立模型。設為每乙個基站的建設情況，則有：
其中表示第i個基站需要建設，表示第i個基站不需要建設。
由於同一社群，有可能有多個基站覆蓋，如果覆蓋同一社群的基站都需要建設時，那麼有的社群的人口就會被重複計算。所以我們可以用布林代數的思想來避免這種情況。
在布林代數中，（是布林代數中的加法）。其中可以表示為當同乙個社群被兩個或兩個以上的基站覆蓋時，該社群的權值為1，這樣就避免了社群的人口會被重複計算的情況。
本問題要求在建設費用不超過5000萬的前提條件下基站覆蓋的人口盡可能的多，根據題目所給的**1和**2可將目標函式表述如下：
········（1）
約束條件為：建設基站的費用不超過5000萬元的預算，式子如下：
········（2）
考慮到基站需要建設與否，我們有
3）我們用lingo軟體對其求解（相關程式及執行結果見附錄一），最終求解得到最佳的建設方案如表5所示：
表5 0-1規劃模型求解得到的基站建設方案
由上表可知，當在2，4，6，7號位置建設基站時，覆蓋人口最多。在這種方案下，建設基站總費用為7+14+13+11=45(百萬元)，覆蓋2，3，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15社群，總人口為109.5千人。
5.1.2 基於排除法的求解模型
由問題一的分析可知，可以建設三個或四個基站。我們用c++程式（相關程式及執行結果見附錄二）可以輸出建設三個或四個基站的所有70種可能的方案。若方案在不超過5000萬建設費用的情況下還可以增加建設基站，則可以把此類方案排除在外，按此方法可排除26種。
如果某種方案的總費用超過5000萬我們也可以把其排除在外，此時排除24種方案。最後還剩下20種。
根據第一次選擇可以得到以下20種方案，按照題中所給的表1和表2可得各種方案覆蓋的社群及總人數如表6所示：
表6 各種方案覆蓋的社群及總人數
基於移動通訊基站天線技術方案的分析
作者 楊榮麗 科技創新與應用 2013年第25期摘要 隨著現代化資訊建設的發展，其移動通訊技術模式不斷得到發展，實現其各個社會領域範圍的有效普及。科學技術的進步，也保證其移動通訊網路體系的健全，促進其覆蓋範圍的不斷普及。在此趨勢下其移動通訊基站數量不斷得到提公升，而在日常工作中，由於其基站天線安裝環...
移動通訊基站產品的電磁相容驗證
歐盟 北美 日本等是當今重要的移動通訊基站裝置產品的主要市場，隨著這些地區和國家的電磁相容技術標準 技術法規越來越嚴格，各個企業在符合各個區域市場准入要求方面面臨越來越大的困難和壓力。傳統的電磁相容 emc 設計經驗和要求，限制了設計的創新，各個基站裝置製造廠商在研發過程中從原型機到最終定型機往往需...
移動聯通通訊基站的區域防雷技術
有關區域防雷 移動通訊基站的功能，決定了必備較高的鐵塔或支撐桿 通訊杆，這些獨立的高空構築物，必造成雷擊頻率增大，雷電產生的磁波 感應波不但威脅基站的安全，也威脅基站附近區域的安全，在居民密集區的租賃站，往往有居民投訴。因為基站的防直擊雷體系是比較完美的，還沒人 畜安全受損的資訊。但感應雷的防護措施...