《證明（二）》是已經學習過的《證明（一）》的延伸，又是今後學習《證明（三）》的基礎，通過對《證明（二）》的學習，在經歷探索、猜測、證明的過程，能進一步體會證明的必要性，從而發展同學們初步的演繹推理能力.為方便同學們進一步的學習與運用，現對這部分的要點知識進行回顧，並對常見考點進行歸納.
一、知識框架
二、重點講解
本章的重要知識點有：
1.一般三角形全等公理的回顧與運用，有關定理的探索和證明，其定理包括等腰三角形、等邊三角形的性質與判定、勾股定理及其逆定理、直角三角形全等的判定方法、含有30°的直角三角形的性質、線段的垂直平分線定理、角的平分線定理，等等.
2.證明的思路和方法也是本章的重點.進一步掌握綜合法的證明方法，結合例項體會反證法的含義.
3.利用尺規作線段的垂直平分線和角平分線的方法、步驟和理由，構建乙個命題的逆命題、互逆命題的真假關係、逆定理等.
三、疑點點撥
易錯點1：忽視等腰三角形的分類.如，在△abc中，ab＝ac，ab的垂直平分線與ac所在直線相交所得的銳角為50°，則底角∠b＝＿＿＿.
本題沒有供圖，也沒有說明是鈍角三角形還是銳角三角形，而錯解時容易只考慮其中的一種情況.事實上，遇到等腰三角形問題時，同學們一定要多留個心眼，注意分類.
易錯點2：錯用判定依據.如，如圖，ab⊥cd，垂足為o，且oa＝ob，oc＝od.求證：△aoc≌△bod.
拿到這個題目，不少同學就會這樣來證明：因為ab⊥cd，所以∠aoc＝∠bod＝90°，因為oa＝ob，oc＝od，所以rt△aoc≌rt△bod（hl）.而事實上，不是說兩個三角形全等時，一遇到直角三角形就一定是要用「hl」，而是要根據已知條件和圖形特點，本題中利用「hl」的條件並不充分，而只能將其當成一般三角形來說明全等.
易錯點3：對命題、定理的理解錯誤.如，有同學認為：
命題「對頂角相等」與命題「相等的角是對頂角」是互逆定理.其實，有些命題的正確性是通過推理證實的，這樣的真命題叫定理.如果乙個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是乙個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中乙個叫做另乙個的逆定理.
很顯然，命題「相等的角是對頂角」是假命題，所以它不是定理，也就說不上什麼互逆定理了.
易錯點4：勾股定理的錯誤運用.如，下列各組資料中的三個數，可作為三邊長構成直角三角形的是（ ）
a.1，2，3 b.32，42，52 c.0.3，0.4，0.5 d.5，8，11
不少同學會錯誤地認為32+42＝52，所以以32，42，52為三邊長可以構成直角三角形.故應選b.事實上，得到這一錯誤的原因是未能徹底區分勾股定理及其勾股定理的逆定理，僅對概念的理解流於表面形式.
而事實上，要判斷以某三個資料為邊長，能否構成乙個直角三角形時，應將所給資料分別平方，再看其結果是否滿足a2+b2＝c2的形式，如果滿足了，則為直角三角形，否則就不是.本題的正確答案應該是c.
四、考點解密（所選例題均出自2023年中考試卷）
本章主要考查對命題、定理等概念的理解及運用定義、公理和定理證明問題的過程，在中考題中以證明題的形式出現，一般佔8分左右，因此同學們在複習時應注意認真理解概念，分清題目的條件和結論，正確地寫出證明過程.
考點1 利用定理證明
相關知識：公理1 三邊對應相等的兩個三角形全等.（sss）
公理2 兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等.（sas）
公理3 兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等.（asa）
公理4 全等三角形的對應邊相等，對應角相等.
定理1 等腰三角形的兩個底角相等.敘述為「等邊對等角」.
定理2 有兩個角相等的三角形是等腰三角形.敘述為「等角對等邊」.
定理3 有乙個等於60°的等腰三角形是等邊三角形.
定理4 在直角三角形中，如果有乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半.
定理5 直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方.
定理6 如果三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形是直角三角形.
定理7 斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.簡單地用「斜邊、直角邊」或「hl」表示.
定理8 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.
定理9 到線段兩端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.
定理10 三角形三條邊的垂直平分線相交於一點，並且這一點到三個頂點的距離相等.
定理11 角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
定理12 在乙個角的內部，且到角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上.
定理13 三角形的三條角平分線相交於一點，並且這一點到三邊的距離相等.
推論1 兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等.（aas）
推論2 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.
複習策略：注意對這些公理、定理和推論的理解與運用，特別地要能對定理和推論進行證明，這樣才能加深對其理解，運用時也能熟能生巧.
1.定理的證明
例1（懷化市）如圖，p是∠bac內的一點，pe⊥ab，pf⊥ac，垂足分別為點e，f，ae＝af.
求證：（1）pe＝pf；
（2）點p在∠bac的角平分線上.
分析（1）要證明pe＝pf，還沒有碰到過這類證明乙個四邊形的鄰邊相等，考慮條件和利用全等三角形的知識，可鏈結ap，此時可以考慮利用hl證明rt△aep≌rt△afp，問題即可解決.（2）要證明點p在∠bac的角平分線上，由（1）很快得到∠eap＝∠fap，於是即可判定.
證明：（1）如圖，鏈結ap，因為pe⊥ab，pf⊥ac，所以∠aep＝∠afp＝90°，
又因為ae＝af，ap＝ap，所以rt△aep≌rt△afp，所以pe＝pf.
（2）因為rt△aep≌rt△afp，所以∠eap＝∠fap，所以ap是∠bac的角平分線，
故點p在∠bac的角平分線上.
說明本題中的（1）實際上就是角平分線性質的簡單變換，而（2）就是要求證明角平分線的另乙個性質，只要略有點書本知識，總是即可簡捷獲解.
2.等腰三角形
例2（紹興市）如圖，在△abc中，ab＝ac，∠bac＝40°，分別以ab，ac為邊作兩個等腰直角三角abd和ace，使∠bad＝∠cae＝90°.
（1）求∠dbc的度數；（2）求證：bd＝ce.
分析（1）要求∠dbc的度數，由於△abd是等腰直角三角形，即知道∠abd＝45°，而在等腰三角形abc中頂角∠bac＝40°，於是也可以求得底角∠abc，從而可求得∠dbc.（2）顯然容易證明△bad≌△cae，即得bd＝ce.
解（1）因為△abd是等腰直角三角形，∠bad＝90°，所以∠abd＝45°，
又因為ab＝ac，所以∠abc＝∠acb，
因為∠bac＝40°，所以∠abc＝70°，所以∠dbc＝70°+45°＝115°.
（2）因為ab＝ac，∠bad＝∠cae＝90°，ad＝ae，
所以△bad≌△cae，所以bd＝ce.
說明本題始終緊扣等腰三角形的性質作為求解問題的突破口，並綜合運用了全等三角形的知識，是中考有關這方面考題的熱點.
3.線段的垂直平分線
例3（泉州市）如圖，在△abc中，bc邊上的垂直平分線de交邊bc於點d，交邊ab於點e.若△edc的周長為24，△abc與四邊形aedc的周長之差為12，則線段de的長為＿＿＿.
分析要求線段de的大小，可將已知條件中的垂直平分線和周長問題轉化為線段之間的關係.
解因為de是線段bc的垂直平分線，所以be＝ce，db＝dc，
又因為△edc的周長為24，所以dc+ce+de＝24…①，
因為△abc與四邊形aedc的周長之差為12，
所以ab+bc+ac－(ae+de+dc+ac)＝12，
即(ab－ae)+ (bc－dc)+ (ab－ae)－de＝12，所以be+bd－de＝12，
即ce+dc－de＝12…②，由①－②，得2de＝12，所以de＝6.
說明運用線段的垂直平分線性質求解問題，既可以省去一次三角形全等的證明，還可以及時地將將問題轉化為線段來處理.
4.角平分線
例4（臨沂市）如圖，op平分∠aob，pa⊥oa，pb⊥ob，垂足分別為a，b.下列結論中不一定成立的是（ ）
平分∠apb 垂直平分op
分析由已知條件，要能順利求解，顯然，要想到利用角平分線的性質.
解因為op平分∠aob，pa⊥oa，pb⊥ob，所以pa＝pb，
所以rt△oap≌rt△obp，所以oa＝ob，∠opa＝∠opb，
即po平分∠apb，op垂直平分ab，所以結論ab垂直平分op是錯誤的.故應選d.
說明角平分線的性質與判定是求解幾何問題時常用結論，它既可以省去一次全等三角形的證明，又可以使過程簡潔.另外，遇到角平分線問題時常用輔助線是過角平分線上的點引角的一邊或兩邊的垂線.
5.含30°角的直角三角形
例5（濱州市）某樓梯的側面檢視如圖所示，其中ab＝4公尺，∠bac＝30°，∠c＝90°，因某種活動要求鋪設紅色地毯，則在ab段樓梯所鋪地毯的長度應為＿＿＿.
分析想象一下，地毯的長度應該樓梯的所有水平台階的長度和加上樓梯豎直台階的長度和，而此時為了方便求解，可將樓梯的所有水平台階平移到ac，樓梯的所有豎直台階平移到bc，剩下來的問題就是求ac和bc的長度，而此時可以利用含30°角的直角三角形的性質，結合勾股定理求解.
解因為ab＝4公尺，∠bac＝30°，∠c＝90°，所以bc＝2公尺，
由勾股定理，得ac＝2公尺，
又因為ab段樓梯所鋪地毯的長度等於bc+ac，
所以在ab段樓梯所鋪地毯的長度應(2+2) 公尺.
說明直角三角形中有許多的重要性質，都是計算與證明幾何問題的不可缺少的理論依據，同學們在複習時一定要注意訓練與體會.
6.勾股定理的應用
例6（牡丹江市）有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6m，8m，現在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴充後等腰三角形綠地的周長.
分析由於兩直角邊長分別為6m，8m，於是，可利用勾股定理求出其斜邊的長，而題目只說明擴充成等腰三角形，並沒有指明等腰三角形的底邊和腰，所以應分情況求解.
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