計算方法主要研究數學問題的數值解，涉及的內容廣。利用matlab提供的部分函式解決，可以實現某些情況下的數值求解。本章作簡要介紹。
7.1 一元非線性方程求解
求解一元非線性方程的方法主要有二分法、割線法、牛頓法等。本節主要介紹兩個可以求解一元非線性方程的函式，即fzero函式和roots函式。
7.1.1 fzero函式
用fzero函式求一元非線性方程的零點。該函式的簡單呼叫格式為：
●x=fzero(fun,x0)：如果x0為標量，則試圖尋找函式fun在x0附近的零點。fun引數是乙個m檔案函式或匿名函式的函式控制代碼。
函式fzero返回的值x靠近fun函式改變符號的位置。如果搜尋失敗，則返回nan。搜尋區間擴充套件到發現inf、nan或復數值時終止搜尋。
如果x0是乙個長度為2的向量，則fzero函式假設x0是乙個區間，其中fun(x0(1))與fun(x0(2))異號。如果符號相同，則會出錯。給出相應函式值異號的區間可以保證fzero函式返回乙個fun函式改變符號的位置附近的值。
●[x,fval]=fzero(…)：返回解x和解x處目標函式fun的值。
●[x,fval,exitflag]=fzero(…)：還返回乙個exitflag值，描述fzero函式的退出條件。返回值及其描述如下所示：
>0，表示函式找到了零值點x；
0，表示沒有發現零值點。
例7－1 求方程的解。
程式**：
clear;clc;
f=@(x)(x+20)*(x+1)*(x-5)*(x-30);%建立匿名函式
x1=fzero(f,-50)%解一元非線性方程
x2=fzero(f,1)
x3=fzero(f,6)
x4=fzero(f,50)
執行結果：
x1 =
-20x2 =
-1x3 =
5x4 =
307.1.2 roots函式
用roots函式計算多項式的根，該函式的呼叫格式為：
●r=roots(c)：返回乙個列向量，其元素為多項式c的解。
例7－2 求多項式方程的解。
程式**：
clear;clc;
p=[1 -5 1 -5];%表示多項式
r=roots(p)%求多項式方程的解
p1=poly(r)%由多項式的根返回多項式的係數
執行結果：
r = 5.0000
-0.0000 + 1.0000i
-0.0000 - 1.0000i
p1 =
1.0000 -5.0000 1.0000 -5.0000
注：poly和roots互為逆函式，函式poly返回多項式的係數。
7.2 非線性方程組的數值解法
用matlab求解線性方程組的解，在6.3中已介紹了基於矩陣變換的直接解法，除此方法之外，還有很多方法，比如，jocabi迭代法、gauss-seidel迭代法和sor(超鬆馳)迭代法等，這裡不作詳細介紹。可參閱有關文獻。
實際工程中得到的數學模型往往具有非線性的特點，得到其解析解比較困難。一般採用迭代法求解非線性方程組。比較常見的迭代方法有不動點迭代法、newton迭代法和擬newton迭代法等幾種。
本節僅介紹不動點迭代法。
設含有個未知數和個方程的非線性方程組記為：
其中，為由個未知數構成的向量，為由個函式構成的向量。
將方程組改寫為便於迭代的等價形式：，由此得出不動點迭代法的迭代公式：。
如果得到的序列滿足，則就是的不動點。這樣就可以求出線性方程組的解（近似解）。
據此，編寫不動點迭代法的m檔案(檔名為example7_2)：
function s=example7_2(x,eps)
%用不動點迭代法求非線性方程組的解
%x為迭代初值，eps為允許誤差值。
if nargin==1
eps=1e-6;
elseif nargin<1
error
return
endx1=example7_2a(x);% example7_2a是函式的檔名。
while norm(x1-x)>=eps
x=x1;
x1=example7_2a(x);%迴圈迭代
ends=x1;
return
例7－3 用不動點迭代法求方程組的解。
解：變形為
首先建立函式**（檔名為example7_2a.m）：
function y=example7_2a(x)
y(1)=(x(1)*x(1)+x(2)*x(2)+9)/(-11);
y(2)=(x(1)*x(2)*x(2)+x(1)+8)/6;
再作圖形，程式**：
clear;clc;
ezplot('x1^2+11*x1+x2^2+9',[-12,6]);
hold on
ezplot('x1*x2^2+x1-6*x2+8',[-12,6]);
hold off
title('x1^2+11*x1+x2^2+9和x1*x2^2+x1-6*x2+8的圖形')%修改標題
執行結果見圖7－1：
圖7－1
最後呼叫函式example7_2求方程組解：
x=example7_2 ([0,0])
執行結果：
x= -1.0000 1.0000
這樣就可以求得方程組的乙個解，從圖7－1可以看出，方程組還有乙個解，為了求得它，還需要對原方程組作另外變形，這裡不再作進一步的討論。
7.3 插值
插值計算在資料擬合和資料平滑等方面應用普遍。matlab提供了用最近鄰插值、線性插值、三次樣條插值、三次插值和fft插值法進行一維、二維、三維和高維插值的函式。
7.3.1 一維插值
matlab中有兩種一維插值，即多項式插值和基於fft的插值。
⒈ 多項式插值
函式interp1進行一維插值。一維插值是進行資料分析和曲線擬合的重要手段。interp1函式使用多項式技術，用多項式函式擬合所提供的資料，並計算目標插值點上的插值函式值，其最常用的語法形式是：
yi=interp1(x,y,xi,method)
x和y為給定資料的向量，長度相同。xi為包含要插值的點的構成的向量，method是乙個可選的字串，指定一種插值方法，包括：
●最近鄰插值（method='nearest'）：該方法將插值點的值設定為已知資料點中距離最近的點的值；
●線性插值（method='linear'）：該方法用線性函式擬合每對資料點，並返回xi處的相關函式值；
●三次樣條插值（method='spline'）：該方法用三次樣條函式擬合每對資料點，用spline函式在插值處進行三次樣條插值；
●三次插值（method='pchip'或'cubic'）：該方法用pchip函式對向量x和y進行分段三次hermite插值。
這幾種方法在速度、記憶體和平滑性等方面有所差別，使用時可以根據需要進行選擇，包括：
◣最近鄰插值是最快的方法，但是，利用它得到的結果平滑性最差；
◣線性插值比最近鄰插值要占用更多的記憶體，執行時間略長。與最近鄰法不同，它生成的結果是連續的，但是在頂點處有坡度變化；
◣三次樣條插值的執行時間相對來說最長，記憶體消耗比三次插值略少。它生成的結果平滑性最好。但是，如果輸入資料不很均勻，可能會得到意想不到結果；
◣三次插值需要更多記憶體，而且執行時間比最近鄰插值和線性插值的長。但是，使用此法時，插值資料及其導數都是連續的。
例7－4 程式**：
x=1:10;
y=[1800 778 518 5000 980 588 2799 528 6700 598];
x1=1:0.1:10;
y1=interp1(x,y,x1,'nearest');%一維最近鄰插值
plot(x1,y1)
y2=interp1(x,y,x1,'linear');%一維線性插值
hold on
plot(x1,y2,'color','r')
hold off
執行結果見圖7－2。
圖7－2 一維最近鄰插值和線性插值
例7－5 程式**：
x=1:10;
y=[1800 778 518 5000 980 588 2799 528 6700 598];
plot(x,y);
x1=1:0.1:10;
hold on
y1=interp1(x,y,x1,'spline');%三次樣條插值
plot(x1,y1,'color','r')
hold off
執行結果見圖7－3。
圖7－3 三次樣條插值
⒉ 基於fft的插值
函式interpft用基於fft的方法進行一維插值。本方法計算包含週期函式值的向量的傅利葉變換。然後，它用更多的點計算逆傅利葉變換。該函式的呼叫形式為：
y=interpft(x,n)
其中，x是乙個包含週期函式值的向量，這些值在等間隔的點上採集。n是樣本大小。
7.3.2 二維插值
二維插值在影象處理和視覺化方面有著很重要的應用。matlab用函式interp2進行二維插值。該函式的一般形式為：
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)
其中，z是乙個矩陣陣列，包含二維函式的值，x和y為大小相同的陣列，包含相對於z的給定值。xi和yi為包含插值點資料的矩陣，method表示插值方法，為可選引數。
matlab提供了三種不同的插值方法進行二維插值：
●最近鄰插值（method='nearest'）：該方法用分區域常數曲面擬合資料，插值點的值是最近點的值；
●雙線性插值（method='linear'）：該方法用雙線性曲面擬合資料點，插值點的值是四個最近的值的組合。本方法是分區域雙線性的，比雙三次插值法快，並且記憶體消耗更少；
●雙三次插值（method='cubic'）：該方法用雙三次曲面擬合資料點，插值點的值是16個最近點的值的組合。本方法是分區域三次的，結果的平滑性比前面兩種的都好。
注：所有這些方法都要求x和y資料是單調的，即從點到點，要麼總是遞增的，要麼總是遞減的。應該用meshgrid函式準備這些矩陣。
例7－6 程式**：
%低解析度的peaks函式圖形
[x,y]=meshgrid(-4:1:4);
z=peaks(x,y);
surf(x,y,z)
執行結果見圖7－4。
圖7－4 低解析度的peaks函式圖形
第7章MATLAB計算的視覺化和GUI設計
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《應用計算方法教程》matlab作業二
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