機自82
組員：李宗澤
李航劉凱
付榮直線一級倒立擺系統建模**實驗
一、 實驗目的:
1、學會收集和查閱資料，學會針對指定控制系統建立數學模型的方法；
2、學會使用matlab/simulink建模和**的方法；
3、掌握控制器的設計方法，以及控制器引數整定和優化的方法。
4.學習matlab工具軟體在控制工程中的應用
5.掌握對實際系統進行建模的方法，熟悉利用matlab 對系統模型進行**，對實驗結果進行觀察和分析，非常直觀的感受控制器的控制作用。
二. 實驗裝置
計算機及matlab.vc等相關軟體
三．倒立擺系統介紹
倒立擺是機械人技術、控制理論、計算機控制等多個領域、多種技術的有機結合，其被控系統本身又是乙個絕對不穩定、高階次、多變數、強耦合的非線性系統，可以作為乙個典型的控制物件對其進行研究。倒立擺系統作為控制理論研究中的一種比較理想的實驗手段，為自動控制理論的教學、實驗和科研構建乙個良好的實驗平台，以用來檢驗某種控制理論或方法的典型方案，促進了控制系統新理論、新思想的發展。由於控制理論的廣泛應用，由此系統研究產生的方法和技術將在半導體及精密儀器加工、機械人控制技術、人工智慧、飛彈攔截控制系統、航空對接控制技術、火箭發射中的垂直度控制、衛星飛行中的姿態控制和一般工業應用等方面具有廣闊的利用開發前景。
倒立擺控制器的設計是倒立擺系統的核心內容，因為倒立擺是乙個絕對不穩定的系統，為使其保持穩定並且可以承受一定的干擾，需要給系統設計控制器
四．設計資料及引數
在忽略了空氣阻力和各種摩擦之後，可將直線一級倒立擺系統抽象成小車和勻質杆組成的系統，如圖所示：
我們不妨做以下假設：
m 小車質量
m 擺桿質量
b 小車摩擦係數
l 擺桿轉動軸心到杆質心的長度
i 擺桿慣量
f 加在小車上的力
x 小車位置
φ 擺桿與垂直向上方向的夾角
θ 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）
圖是系統中小車和擺桿的受力分析圖。其中，n 和p 為小車與擺桿相互作用
力的水平和垂直方向的分量。
注意：在實際倒立擺系統中檢測和執行裝置的正負方向已經完全確定，因而向量方向定義如圖所示，圖示方向為向量正方向。
分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
3-1）
由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：
3-2即：
3-3)
把這個等式代入式(3-1)中，就得到系統的第乙個運動方程：
3-4)
為了推出系統的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，
可以得到下面方程：
3-5)
3-6)
力矩平衡方程如下：
3-7)
注意：此方程中力矩的方向，由l，故等式前面有負號。
合併這兩個方程，約去p 和n，得到第二個運動方程：
3-8)
設θ=φ+π（ φ是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設φ與1（單位是弧
度）相比很小，即φ<<1，則可以進行近似處理：
用u 來代表被控物件的輸入力f，線性化後兩個運動方程如下：
3-9)
對式(3-9)進行拉普拉斯變換，得到
3-10)
注意：推導傳遞函式時假設初始條件為0。
由於輸出為角度φ，求解方程組的第乙個方程，可以得到：
或如果令則有：
把上式代入方程組的第二個方程，得到：
整理後得到傳遞函式：
其中設系統狀態空間方程為：
方程組對, 解代數方程，得到解如下：
整理後得到系統狀態空間方程：
由(3-9)的第乙個方程為：
對於質量均勻分布的擺桿有：
於是可以得到：
化簡得到：
設則有：
另外，也可以利用matlab 中tf2ss 命令對(3-13)式進行轉化，求得上述狀
態方程。
實際系統的模型引數如下:
m 小車質量 1.096 kg
m 擺桿質量 0.109 kg
b 小車摩擦係數 0 .1n/m/sec
l 擺桿轉動軸心到杆質心的長度 0.2 5m
i 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m
把上述引數代入，可以得到系統的實際模型。
擺桿角度和小車位移的傳遞函式：
擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函式為：
擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函式：
以外界作用力作為輸入的系統狀態方程：
以小車加速度作為輸入的系統狀態方程：
小車的加速度作為系統的輸入，如果使用者需要採用力矩控制的方法，可以參考以上把外界作用力作為輸入的各式。
五．系統的階越響應分析
根據已經得到系統的狀態方程，先對其進行階躍響應分析，在matlab 中
鍵入以下命令：
clear;
a=[ 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0];
b=[ 0 1 0 3]';
c=[ 1 0 0 0;0 1 0 0];
d=[ 0 0 ]';
step(a, b ,c ,d)
可以看出，在單位階躍響應作用下，小車位置和擺桿角度都是發散的。
六．頻率響應分析(系統穩定性分析)
前面我們已經得到了直線一級倒立擺的物理模型，實際系統的開環傳遞函式
其中輸入為小車的加速度v (s) ，輸出為擺桿的角度φ(s) 。
在matlab 下繪製系統的bode 圖和奈奎斯特圖。
在matlab 中鍵入以下命令：
clear;
num=[0.02725];
den=[0.0102125 0 -0.26705];
z=roots(num);
p=roots(den);
subplot(2,1,1)
bode(num,den)
subplot(2,1,2)
nyquist(num,den)
得到如下圖所示的結果：
z =empty matrix: 0-by-1
p =5.1136
-5.1136
可以得到，系統沒有零點，但存在兩個極點，其中乙個極點位於右半s 平面，
根據奈奎斯特穩定判據，閉環系統穩定的充分必要條件是：當ω 從 ∞到+ ∞變
化時，開環傳遞函式g( jω ) 沿逆時針方向包圍-1 點p 圈，其中p 為開環傳遞函式
在右半s 平面內的極點數。對於直線一級倒立擺，由奈奎斯特圖我們可以看出，開
環傳遞函式在s 右半平面有乙個極點，因此g( jω ) 需要沿逆時針方向包圍-1 點一圈。可以看出，系統的奈奎斯特圖並沒有逆時針繞-1 點一圈，因此系統不穩定，
需要設計控制器來鎮定系統。
五．具體控制方法
（一）pid控制
直線一級倒立擺pid 控制實驗
1．pid 控制分析
經典控制理論的研究物件主要是單輸入單輸出的系統，控制器設計時一般需
要有關被控物件的較精確模型。pid 控制器因其結構簡單，容易調節，且不需要
對系統建立精確的模型，在控制上應用較廣。
對於倒立擺系統輸出量為擺桿的角度，它的平衡位置為垂直向上的情
況。系統控制結構框圖如下：
2． pid實驗控制引數設定及**。
在simulinkzhong 建立直線一級倒立擺模型
上下兩個pid模組。滑鼠右鍵，選擇 「 look under mask」開啟模型內部結構分別為：
雙擊第二個模組開啟引數設定視窗
令kp=1.ki=0.kd=0
得到擺桿角度**結果
可看出控制曲線不收斂。因此增大控制量。令kp=-30.ki=0.kd=4.6.得到如下仿
真結果從上面擺桿角度**結果可看出，穩定比較好。但穩定時間稍微有點長。
雙擊第乙個模組開啟引數設定窗
經多次嘗試在此引數即kp=-7,ki=0,kp=-4.5 情況下效果最好。
得到以下**結果
黃線為小車位置輸出曲線，紅線為擺桿角度輸出曲線。
從圖中可以看出，系統可以比較好的穩定。穩定時間在2-3秒之間。穩定性不錯。
3． pid控制實驗
開啟直線一級倒立擺爽pid實時控制模組
雙擊doublepid控制模組進入引數設定
把引數輸入pid控制器。編譯程式，使計算機同倒立擺連線。
執行程式。實驗結果如下圖所示
從圖中可以看出，倒立擺可以實現比較好的穩定性。
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