廣告費用和效應
某裝飾材料公司欲以每桶2元的價錢購進一批彩漆。一般來說，隨著彩漆售價的提高，預期銷售量將減少，並對此進行了估算，如表1所示。
表1為了盡快收回資金並獲得較多的贏利，裝飾材料公司打算做廣告。投入一定的廣告費用後，銷售量將有乙個增長，可由銷售增長因子來表示。例如，投入4萬元的廣告費，銷售增長因子為1.
95，即銷售量將是預期銷售量的1.95倍。根據經驗，廣告費與銷售增長因子的關係如表2所示。
表2試問：裝飾材料公司採取怎樣的營銷戰略使得預期的利潤最大？
[數學模型]設售貨單價為x(元)，預期銷售量為y(桶)，廣告費為z(元)，銷售增長因子為k。投入廣告後實際銷售量為s(桶)，獲得的利潤為p(元)。
預期銷售量y隨售價x的增加而減小，可近似用線性關係表示
y = a0 + a1x1)
其中，a0和a1是待定常數。
銷售增長因子k隨廣告費用z先增後減，可用二次方程表示
k = b0 + b1z + b2z22)
其中，b0，b1和b2也是待定常數。待定常數可根據表中資料擬合。
投入廣告費之後，實際銷售量為
s = ky3)
利潤是收入減支出，收入是售貨單價x乘以銷售量s；支出包括成本和廣告費，成本是進貨單價2乘以銷售量s。因此利潤為
p = sx – 2s - z = ky(x – 2) - z = (b0 + b1z + b2z2)(a0 + a1x)(x – 2) - z (4)
這是二元函式，求最大利潤就是二元函式的最大值。
[演算法]先計算常數，畫出擬合曲線。再形成利潤的矩陣，求出最大利潤和下標，從而計算最大利潤的售價和廣告費。畫出利潤曲面，標記最大值。
[程式]zqy2_3advertisement.m如下。
%廣告效應
clear清除變數
x=2:0.5:6售價
y=[41,38,34,32,29,28,25,22,20]*1000; %預期銷售量經驗資料
z=(0:7)*1e4廣告費
k=[1,1.4,1.7,1.85,1.95,2,1.95,1.8]; %銷售增長因子經驗資料
figure建立圖形視窗
subplot(2,1,1子圖
plot(x,y,'rx畫預期銷售量曲線
grid on加網格
fs=12字型大小
title('預期銷售量和售價的擬合線','fontsize',fs)%標題
xlabel('售價(元)','fontsize',fs) %橫座標
ylabel('預期銷售量(桶)','fontsize',fs) %縱座標
a=polyfit(x,y,1求係數
xx=2:0.01:6售價
yy=polyval(a,xx求擬合值
hold on保持影象
plot(xx,yy畫擬合線
legend('經驗值','擬合線圖例
subplot(2,1,2子圖
plot(z,k,'rx畫廣告費和銷售增長因子曲線
grid on加網格
title('銷售增長因子和廣告費的擬合曲線','fontsize',fs)%標題
xlabel('廣告費(元)','fontsize',fs) %橫座標
ylabel('銷售增長因子','fontsize',fs) %縱座標
b=polyfit(z,k,2求係數
zz=(0:0.01:7)*1e4廣告費
kk=polyval(b,zz求擬合值
hold on保持影象
plot(zz,kk畫擬合線
legend('經驗值','擬合線',2圖例
[x,z]=meshgrid(xx,zz矩陣
k=polyval(b,z銷售增長因子矩陣
y=polyval(a,x預期銷售量矩陣
p=k.*y.*(x-2)-z利潤
[mi,i]=max(p在單價一定的情況下求最大值向量和下標向量
[m,j]=max(mi求最大值和下標
xm=xx(j最大值的單價
zm=zz(i(j最大值的廣告費
km=polyval(b,zm求最大值擬合銷售增長因子
stem(zm,km畫杆圖
text(zm,km,[num2str(zm),',',num2str(km)],'fontsize',fs)%標記結果
subplot(2,1,1子圖
ym=polyval(a,xm求最大值擬合預期銷售量
stem(xm,ym畫杆圖
text(xm,ym,[num2str(xm),',',num2str(ym)],'fontsize',fs)%標記結果
sm=km*ym最大利潤的實際銷售量
text(2,2e4,['最大利潤的實際銷售量:',num2str(sm)],'fontsize',fs)%標記結果
figure建立圖形視窗
surf(xx,zz,p畫利潤曲面
shading interp染色
box on加框
title('利潤與售價和廣告費曲面','fontsize',fs)%標題
xlabel('售價(元)','fontsize',fs) %橫座標
ylabel('廣告費(元)','fontsize',fs) %縱座標
zlabel('利潤(元)','fontsize',fs) %高座標
text(xm,zm,m,[num2str(xm),',',num2str(zm),',',num2str(m)],'fontsize',fs)%標記結果
[圖示]如m2_3a之上圖所示，預期銷售量隨售價增加幾乎線性減小，當利潤最大時，售價應該為5.91元，預期銷售量為20084桶，由於廣告效應，實際銷售量達到38300桶。如m2_3a之下圖所示，銷售增長因子隨廣告費先增後減，當利潤最大時，廣告費約為33100元，銷售增長因子達到1.
907。如m2_3b圖所示，當售價比較小的時候，利潤隨廣告費增加而減少；當售價比較大的時候，利潤隨廣告費增加而先增後減，最大利潤大約為116655元。
m2_3a圖m2_3b圖
MATLAB數學建模3廣告效應
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