數量關係解題技巧

數字推理常見的排列規律

(1)奇偶數規律：各個數都是奇數(單數)或偶數(雙數)；[自然數列，質數數列等]

(2)等差：相鄰數之間的差值相等，整個數字序列依次遞增或遞減。

(3)等比：相鄰數之間的比值相等，整個數字序列依次遞增或遞減；

(4)二級等差：相鄰數之間的差或比構成了乙個等差數列；

(5)二級等比數列：相鄰數之間的差或比構成乙個等比數理；

(6)加法規律：前兩個數之和等於第三個數；

(7)減法規律：前兩個數之差等於第三個數；

(8)乘法(除法)規律：前兩個數之乘積(或相除)等於第三個數；

(9)完全平方數：數列中蘊含著乙個完全平方數序列，或明顯、或隱含；

2.數**算

數**算題主要考查解決四則運算等基本數字問題的能力。

數**算的試題一般比較簡短，其知識內容和原理多限於小學數中的加、減、乘、除四則運算

解決實際問題的基本步驟：

實際問題（數字應用題數學模型

推理演算

實際問題的解還原說明-----數學模型的解

1.數學計算的題量將繼續保持在15道題左右

2023年—2023年國家公****數學計算的題量為10道題，2023年國家公****這一題型的題量增加為15道題，從試卷結構分析來看，2006、2023年這一題型的題量將繼續保持在15道題左右。

2.和日常生活結合起來考查專項知識

3.容斥原理重點考查三個集合的容斥關係

4.時鐘問題將成為新考點

5.極為複雜的討論題將成為考試的最難點

時鐘問題

.時鐘問題

....時針的速度是分針速度的1/12，所以分針每分鐘比時針多走11/12格。

例1:現在是3點，什麼時候時針與分針第一次重合？

[分析]

....3點時分針與時針相差15格，要使分針與時針重合，即要分針比時針多走15格，才能追上時針。而分針每分鐘比時針多走11/12格，所以

....15/（11/12）=16又4/11（分）.

例7:在10點與11點之間，鐘面上時針與分針在什麼時刻垂直？

[分析]

.....（1）、第一種情況：10點時分針與時針相差10格，要使分針與時針垂直，分針要比時針相差15格才行，所以分針要多走5格後才能與時針垂直。

.....5/（11/12）=5又5/11(分）

.....（2）、第二種情況：第二次垂直，分針要比時針多走50-15=35格，所以

.....35/(11/12)=38又2/11(分).

例8:在9點與10點之間的什麼時刻，分針與時針在一條直線上？

[分析]

.....分針與時針成180度角時，分針與時針相差30格，而9點時分針與時針相差15格，所以要分針多走15格。

.....15/（11/12）=16又4/11（分）

集合與容斥原理

集合是一種基本數學語言、一種基本數學工具。[19世紀末，德國數學家康托]

有限集元素的個數(容斥原理)

解題公式：(1)card(a∪b)＝card(a)＋card(b)－card(a∩b)；　　(2)card(a∪b∪c)=card(a)+card(b)+card(ccard(a∩b)-card(a∩c)-card(b∩c)+card(a∩b∩c)

如下圖所示：

例題：開運動會時，高一某班共有28名同學參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球模擬賽，同時參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時參加游泳比賽和球模擬賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，問同時參加田徑比賽和球模擬賽的有多少人？只參加游泳一項比賽的有多少人？

設a＝，b＝，c＝

則card(a)=15，card(b)=8，card(c)=14，card(a∪b∪c)=28

且card(a∩b)=3，card(a∩c)=3，card(a∩b∩c)=0

由公式②得28＝15＋8＋14－3－3－card(b∩c)+0

即card(b∩c)=3

所以同時參加田徑和球模擬賽的共有3人，而只參加游泳比賽的人有15－3－3＝9(人)

數學計算的題型分析

1.四則運算、平方、開方基本計算題型

２.大小判斷

３.典型問題

（１）比例問題（２）盈虧問題（３）工程問題（４）行程問題（５）栽樹問題（６）方陣問題（７）「動物同籠」思維模型（８）年齡問題（９）利潤問題（１０）面積問題（１１）爬繩計算又稱跳井問題（１２）台階問題　（１３）餘數計算（１４）日月計算（１５）溶液問題（１６）和差倍問題（１７）排列組合問題（１８）計算預資問題（１９）歸一問題(20)抽屜原理(21)其他問題

數字計算的解題方法

１.加強訓練提高對數字的敏感度

２.掌握一些數學計算的解題方法及技巧

３.認真審題把握題意

４.尋找捷徑多用簡便方法

５.利用排除法提高做題wwwwww

數字計算的規律方法概括

１.基本計算方法

（１）尾數估算法

（２）尾數確定法

（３）湊整法是簡便運算中最常用的方法，即根據交換律、結合律把可以湊成10、20、30、50、100。。。的數放在一起運算，從而提高運算速度。基本的湊整算式：25*8=200等。

（４）補數法a、直接利用補數法巧算

b、間接利用補數法巧算又稱湊整去補法

（５）基準數法當遇到兩個以上的數相加且這些數相互接近時，取乙個數做基準數，然後再加上每個加數與基準數的差，從而求和。

（6）數學公式求解法

如：完全平方差、完全平方和公式的運用考查。

（7）科學計數法的巧用

２.工程問題的數量關係

工作量＝工作效率x工作時間

工作效率＝工作量/工作時間

總工作量＝各分工作量之和

此類題：一般設總的工作量為1；

3.行程問題

（1）相遇問題

甲從a地到b地，乙從b地到a地，然後兩人在途中相遇，實質上是甲乙一起走了ab之間這段路程，如果兩人同時出發，那麼：ab之間的路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度*相遇時間+乙的速度*相遇時間=甲乙速度和*相遇時間

相遇問題的核心是速度和時間的問題

（2）追及問題

追及路程=甲走的路程—乙走的路程=甲乙速度差*追及時間

追及問題的核心是速度差問題

（3）流水問題

順水速度=船速+水速逆水速度=船速—水速

因此船速=（順水速度+逆水速度）/2

水速=（順水速度—逆水速度）/2

4.植樹問題

（1）不封閉路線

(a)兩端植樹，則顆樹比段數多1；

顆樹=全長/段數+1

（b）一端植樹，則顆數與段數相等；

顆數=全長/段數

（c）兩端不植樹，則顆數比段數少1。

顆數=全長/段數-1

(2)封閉路線

植樹的顆數=全長/段數

6，跳井問題或稱爬繩問題

完成任務的次數=井深或繩長-每次所爬公尺數+1

7，年齡問題

方法1：幾年後的年齡=大小年齡差/倍數差-小年齡

幾年前的年齡=小年齡-大小年齡差/倍數差

方法2：一元一次方程解法

方法3：結果代入法，此乃最優方法

甲對乙說：當我的歲數是你現在歲數時，你才4歲。乙對甲說：當我的歲數到你現在歲數時，你將有67歲。甲乙現在各有（）。

a．45歲，26歲b．46歲，25歲

c．47歲，24歲d．48歲，23歲

甲-4=甲-乙，67-甲=甲-乙

8，雞兔同籠問題

1，《孫子算經》解法：設頭數為a,足數是b。則b/2-a是兔數，a-(b/2-a)是雞數。

2，《丁巨演算法》解法：雞數=（4*頭總數-總足數）/2兔數=總數-雞數

兔數=（總足數-2*頭總數）/2

雞數=總數-兔數

著名古典**《鏡花緣》中的公尺蘭芬算燈用的也是雞兔同籠問題的解法。

9，溶液問題

溶液=溶質+溶劑

濃度=溶質/溶液=溶質的質量分數

此類題涉及的考查型別：

（1）稀釋後，求溶質的質量分數；

（2）飽和溶液的計算問題；

注意：一種溶劑可以同時和幾種溶質互溶。

有關溶液混合的計算公式是：

m(濃)×c％(濃)+m(稀)×c％(稀)=m(混)×c％(混)

由於m(混)=m(濃)+m(稀)，上式也可以寫成：

m(濃)×c％(濃)+m(稀)×c％(稀)

=[m(濃)+m(稀)]×c％(混)

此式經整理可得：

m(濃)×[c％(濃)-c％(混)]

=m(稀)×[c％(混)-c％(稀)]

10、利潤問題

利潤＝銷售價（賣出價）－成本

利潤率＝利潤／成本＝（銷售價－成本）／成本＝銷售價／成本－１

銷售價＝成本＊（１＋利潤率）

成本＝銷售價／（１＋利潤率）

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