量子力學 （a卷）參***
一填空(2分×20空=40分)
1．在光的波粒二象性的啟示下，為克服玻爾理論的侷限性，德布羅意提出了微觀粒子具有波粒二象性的假設。
2．波函式的統計解釋： 波函式在空間中某一點的強度和在該點找到粒子的機率成正比
3．微觀粒子的波函式應滿足的三個標準條件： 單值性，連續性，有限性 。
4．已知和是力學算符不同本徵值對應的本徵函式，則 0 。
5．若兩個力學量算符和的對易關係為，則和的測不准關係式是。
6．角動量平方算符的本徵值對應的本徵函式是, 這裡和分別叫做角和磁量子數，取值為。
7. 對易關係 0 ， ， 。
8. 如兩力學量算符有共同本徵函式完全系，則 0 。
9. 算符在其自身表象中是乙個對角矩陣。
10. 偶極躍遷中，角量子數與磁量子數的選擇定則為.
11.斯特恩(stern)－革拉赫(gerlach)實驗和光譜的精細結構表明電子具有自旋屬性，電子自旋角動量在空間任何方向的投影只能是 。
12．費公尺子所組成的全同粒子體系的波函式具有反對稱性 ，玻色子所組成的全同粒子體系的波函式具有對稱性。
13.已知泡利算符分量，x, y的矩陣表示式分別為，。
二計算題(選做5題，每題12分，共60分)
1．(12分) 一粒子在一維勢場中運動，求粒子的能級和對應的波函式。
解：一位無限深勢阱中，定態薛丁格方程
12分）
在阱外，,，若波函式, 由(1)式得, 這是沒有意義的。因此, 在阱外必有。 （2分）
在阱內, ,令,由 (1)式得
2)上式的通解是3)
是兩個待定常數.由於在邊界處連續,有且
.由於,否則只能有零解,故,.將粒子波函式代入歸一化條件,積分得, 所以, 歸一化波函式為
45分）
粒子能量為53分）
2．(12分) 粒子狀態處於一維諧振子的基態試求平均值和動量的機率分布函式。（利用積分公式：）
解：平均值為
4分）因為動量的本徵函式為，所以
6分）動量機率分布函式為
2分）3．(12分) 在和的共同表象中，算符的矩陣為
，求它的本徵值和歸一化本徵函式，並將矩陣對角化。
解：的久期方程為
∴的本徵值為4分）
的本徵方程
其中設為的本徵函式共同表象中的矩陣
當時，有
由歸一化條件
取對應於的本徵值02分）
當時，有
∴由歸一化條件
取 ∴歸一化的對應於的本徵值2分）
當時，有
∴由歸一化條件
取 ∴歸一化的對應於的本徵值2分）
由以上結果可知，從的共同表象變到表象的變換矩陣為
∴對角化的矩陣為
2分）4．(12分)設一體系未受微擾作用時有三個能級：，現在受到微擾作用，微擾矩陣元為，其中，用微擾公式求能量至二級修正值。
解：因為，由微擾**式可得
4分）4分）
4分）5．(12分)求在自旋態中，求。
解：（5分）
（5分）
所以 （2分）
6．（12分）簡述量子力學的基本假設。
答：(1) 微觀體系的狀態用波函式完全描述。（3分）
(2) 體系的狀態波函式滿足薛定鄂方程：。（3分）
(3) 力學量與力學量算符關係的假設：力學量用厄密算符表示，它的本徵函式組成完全系，當體系處於波函式時，可用某力學量算符的本徵函式展開，，測量力學量所得的數值必是算符的本徵值之一，測得的機率為。（3分）
(4) 全同性原理：在全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互調換不改變體系的狀態。（3分）
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