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高考數學母題
[母題]ⅰ(11-16):等號成立條件(251675
等號成立條件
[, , , , , , , ](2023年山東高考試題)(文)設正實數x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當取得最小值時,x+2y-z的最大值為a)0 (b) (c)2 (d)
[解析]:由x2-3xy+4y2-z=0==+-3≥4-3=1,等號成立的條件:x=2yz=2y2x+2y-z=-2y2+4y=
-2(y-1)2+2當y=1時, x+2y-z取得最大值2.故選(c).
[點評]:利用均值不等式求最值,關注等號成立的條件包括三層意義:①等號是否成立,關係到所求式是否取到最值,因此,均值不等式求最值,一定要求出等號在何時成立;②靈活利用等號成立的條件求最值,首先明確乙個概念:
如果乙個代數式中含有多個字母,且任意交換兩個字母代數式不變,則此代數式為對稱式;易知均值不等式的兩邊均是對稱式,若一邊為定值,則當且僅當x=y時,另一邊取得最值;由此可得:如果己知條件和待求式都是對稱式,則當且僅當所有字母相等時,待求式取得最值.利用該結論可巧解最值問題;③充分利用等號成立的條件,構造能使參與其中的所有均值不等式在同一條件下等號成立,這是同時使用兩個(或兩個以上)均值不等式求最值的關鍵.
[, , ](2023年天津高考試題)設a+b=2,b>0,則當a= 時, +取得最小值.
[解析]:由+=+=++≥+1≥-+1=;等號成立的條件:b=2|a|,且a<0a+2|a|=2
a=-2.
注:本題是第一層次的問題,即求等號在何時成立.解決此類問題要根據均值不等式等號成立的條件與已知條件,聯立解方程組求得.
[, , ](2023年天津高考試題)已知log2a+log2b≥1,則3a+9b的最小值為 .
[解析]:(法一)由log2a+log2b≥1ab≥23a+9b≥2×≥2×=2×32=19,等號當且僅當a=2b,且ab=2,即a=2,b=1時成立3a+9b的最小值為18.
(法二)由由log2a+log2b≥1ab≥2a(2b)≥4,而3a+9b=3a+32b也是a與2b的對稱式,所以,當且僅當a=2b,且a(2b)=2,即a=2,b=1時成立3a+9b取得最小值18.
注:顯然解法二比解法一快捷,解法二是抓住對稱性快速巧解.利用對稱性的關鍵是把已知式和待求式看成哪些變數的對稱式.
[, , ](2023年全國高中數學聯賽浙江初賽試題)實數x,y,z滿足x2+y2+z2=1,則xy+yz的最大值為 .
[解析]:求xy+yz的最大值,想到1=x2+y2+z2=(x2+λy2)+[(1-λ)y2+z2]≥2xy+2yz,考慮等號成立的條件x2=λy2,(1-λ)y2=z2,和:=:
1λ=1≥2xy+2yz= (xy+yz) xy+yz≤.
注:本題是利用等號成立的條件,構造不等式的典例.其中,新增λ的技巧值得認真領悟.
[, , , , ]
1.(2023年北京、內蒙古、安徽春招試題)若實數a、b滿足a+b=2,則3a+3b的最小值是( )
(a)18b)6c)2d)2
2.(2023年南昌高中數學競賽試題)己知點p(x,y)在直線x+2y=3上,則2x+4y的最小值為( )
676母題]ⅰ(11-16):等號成立條件(251)
(a)6b)8c)3d)4
3.(2023年湖南高中數學競賽試題)設x、y∈r,且滿足x2+4y2=4,則x2+2xy+4y2的最大值和最小值分別為 .
4.(2023年北京、內蒙古、安徽春招試題)己知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均為銳角),那麼cosαcosβcosγ的最大值等於 .
5.(2023年重慶高考試題)己知a>0,b>0,則+2的最小值是a)2 (b)2 (c)4 (d)5
6.(2023年重慶高考試題)若x,y是正數,則(x+)2+(y+)2的最小值是a)3 (b) (c)4 (d)
7.(2023年全國高中數學聯賽山東初賽試題)已知x,y均為正實數,則+的最大值是
8.(2023年重慶高考試題)若a是1+2b與1-2b的等比中項,則的最大值為( )
(abcd)
9.(2023年全國高中數學聯賽試題)設n為自然數,a、b為正實數,a+b=2,則+的最小值是________.
10.(2023年全國高中數學聯賽陝西初賽試題)若實數x、y滿足x2+y2=1,則的最小值是 .
[, , , , ]
1.解:由已知式與待求式均是a與b的對稱式,所以,當且僅當a=b,即a=b=1時,3a+3b取得最小值6.故選(b).
2.解:由已知式與待求式均是x與2y的對稱式,所以,當且僅當x=2y,即x=2y=時,2a+2b取得最小值4.故選(d).
3.解:當且僅當x=2y=時,x2+2xy+4y2取得最大值6;當且僅當x=,2y=-時,x2+2xy+4y2取得最小值2.
4.解:由已知式與待求式均是α、β與γ的對稱式,所以,當且僅當α=β=γ,即sinα=sinβ=sinγ=cosα=cosβ=cosγ=時, cosαcosβcosγ取得最大值=()3.
5.解:由已知式(無限制條件可視為對稱式)與待求式均是a與b的對稱式,所以,當且僅當a=b時, +2=+2a≥4取得最小值4.故選(c).
6.解:由已知式與待求式均是x與y的對稱式,所以,當x=y時,(x+)2+(y+)2=2(x+)2≥4取得最小值4.故選(c).
7.解:考慮到對稱性知,x=y時, + =,以下證明: +≤.
8.解:a是1+2b與1-2b的等比中項(1+2b)(1-2b)=a2a2+4b2=1,1=a2+4b2≥4abab≤,所以≤≤=≤.且等號均在a=2b=時成立,故選(b).
9.解:考慮到對稱性知,當a=b=1時, +的最小值是1.
10.解:考慮到對稱性知,當x=y=-時,的最小值是1-.