101、已知函式f(x)是定義在（0，+∞）的增函式，且f(xy)=f(x)+f(y)
（1）證明f()=f(x)-f(y)
（2）已知f(3)=1,且f(a)>f(a-1)+2，求a的取值範圍
解：在f(xy)=f(x)+f(y)中
令x=y=1得f(1)＝f(1)+ f(1)，f(1)＝0
令y＝得，f(1)=f(x)+f()， f()＝-f(x)
令y為得f()=f(x)+f()＝f(x)-f(y)
（2）由公式f(xy)=f(x)+f(y)
不等式f(a)>f(a-1)+2可化為
f(a)>f(a-1)+1+1
f(a)>f(a-1)+ f(3)+ f(3)
f(a)>f(9a-9)
由於f(x)是定義在（0，+∞）的增函式
故a>9a-9，且9a-9>0, 解得
102、求10cot(arccot3+arccot7+arccot13+arccot21)的值(高考不要求)
解：cot(arccot3+arccot7)＝
cot(arccot13+arccot21)＝
10cot(arccot3+arccot7+arccot13+arccot21)=
103、已知實數滿足，求證都不小於１，又都不大於
證： 解得：
同理可證，
104、設二次函式，方程f(x)-x=0的兩根是滿足，當時，求證(高考難題)
證明： f(x)-x=0就是， 當
f(x)-x＝
f(x)-x1＝f(x)-x==
，綜上105、等差數列 ,其前前n項和記作sn, 若sp=q,sq=p,求sp+q
解：，，三點共線故，
106、數列滿足，若
解： ,,。
…= …
107、有獎售活動中，n人得三等獎(n≥4)，三等獎獎品４種，每個三等獎獲得者隨便從４種獎品中挑選了一種，結果有一種獎品沒人拿。問這種情況的概率是多少？(聯賽)
解：p=
108、在１,２,３,４,５的排列中，滿足條件的排列數的個數是( ) (聯賽)
a、8 b、10 c、14 d、16
解：時，排法
2時，排法，
3時，排法
共有16種排法，選d
109、輛不同的車,排成2行3列展出，其中2輛來自同一廠的，則此2輛車前後或左右相鄰的概率是多少？
解：， ，
110、都不等於0，不等於0，不等於0, ，
求證： (聯賽)
證明： ＝＝，
（）注本題：沒有「a+b不等於0」這一條件結論也成立，你們可試一試應怎麼證
111、若x+y=1
求證：證明： =
注如果條件中有時，
112、解方程組 (聯賽)
=26是方程的根
或或或或或
113、若x+y=1，求證(聯賽)
證明： =
=114、設是不相等的兩正數且，則的取值範圍是多少?
證： 則
， ，∴， 115、已知二次函式滿足，，對任意實數都有（1）證明，（2）,求的取值範圍，使在區間[-1，1]上是增函式(高考難題)
（1）證明：因，
故，，對任意實數都有，即對恆成立
故， 又故，，
（2）對稱軸是，使在區間[-1，1]上是增函式的充要條件是
區間[-1，1]在對稱軸是的右邊，即故
116、若函式是上的奇函式，且在上遞增，，
解不等式
解：因為是上的奇函式，且在上遞增，
所以在上遞增，
不等式可化為
或或解得或或
117、如圖，將邊長為1的正方形abcd繞a點按逆時針方向旋轉45,至正方形ab'c'd',則旋轉前後兩個正方形重疊部分的面積是多少?(初中)
解：如圖
公共部分的面積＝
118、橢圓c：是橢圓的兩個交點是，的p在c上（但不在y軸上）。求的取值範圍。
解：，設， 則
，故119、已知集合，
，，求實數a、b的值
解： 因，，故
於是120、數的個位數字是 (聯賽)
解：由二項式定理知
++（mod10）
=（mod10）
當n=2k(k)時，＝＝（mod5）
+的個位數字為7或者2
121、已知x、y、z是正實數，又xyz (x+y+z)=1，求(x+y)(y+z)的最小值。(聯賽)
解：設t=(x+y)(y+z) 則化為
即， 122、設x≥y≥z≥，且x＋y＋z＝，求cosxsinycosz的最大值和最小值。(聯賽)
解：，x≥y≥z≥
， sin(y-z)≥0
cosxsinycosz＝＝
當且僅當x，y＝z＝時cosxsinycosz取到最小值
∵x≥y≥z≥，sin(x-y)≥0
cosxsinycosz＝＝
當且僅當x＝y＝，z＝時cosxsinycosz取到最大值
123、若方程在（0，1）內恰有一解則a的取值範圍是？
解：當時原方程就是，（0，1）
當時，設
當時，方程（0，1）內恰有一解，
，解得當方程乙個根是1時，則另乙個根是（0，1）
綜上：124、(m和n是自然數)(高考不要求)
解1：解2：
註解法2、用到羅必塔法則，這在中學課本中沒有，高考不作要求
125、已知：對於函式f(x)，若f(x)=x,則稱x為f(x)的「不動點」，若f[f(x)]=x，則稱x為f(x)的「穩定點」，函式f(x)的「不動點」和「穩定點」的集合分別記作a和b，即a=，b=(高考難題)
求證： (1)ab
(2)若f(x)=（a∈r,x∈r）,且a=b≠,求實數a的取值範圍
（1）證明設xa=
則f(x)=xf(f(x))=f(x)=xxb=
故ab（2）當a=0時a=b=≠
當a≠0時，由a≠知方程＝有實根，
且a≠0
方程f[f(x)]=x就是
[ 或
由a=b知無實根，或與同解
由於與不可能解同解故綜上
126、求 (高考不要求)
解： 關鍵是要約去分母的零因式
127、已知圓c:x2+y2-6x-55=0若一動圓m通過點p(-3,0)且與圓c內切，試求m的圓心的軌跡方程
解：，圓心為點c（3，0）
設動圓m半徑為，圓m的圓心為m，則
， 故圓心m的軌跡是以c、p為焦點的橢圓，其中，
所求的橢圓方程為
128、某顧客第一次在商店買x件某種商品花去y（y≥1）元，第二次再買這種商品發現該商品已降價，且120件恰好降價8元，第二次比第一次多買10件，共花去2元，那麼他第一次至少買這種商品幾件？
解：設第一次每件元，第二次每件元
則由（2）得代入（1）得
， (x+10) (x-5) ≥0，x≥5
129、已知：為正實數，，求證：
(聯賽)
證明：不妨設， 設
＝130、若數列前8項的值各異，且an+8=an對任何的n屬於正整數都成立，則下列數列中可取遍前8項值的數列為 （ ）
（a） （b）（c） （d）
解：本題選b.
因為a3k+1可以取到a4 ，a7 ，a10＝a2， a13， a16＝a1
a19＝a3，a22＝a6 ，a25＝a1
131、證明不等式 < (n∈n+)
證明：當n=1時原式成立
當n時＝
＝＝綜上原式成立
132、的末三位數是聯賽)
解： 四個連續奇數的積（mod8）
（mod8）
又（mod125）
而（8，125）=1
故（mod1000）
所以的末三位數是625
00空間的是正確答案，做數學題粗心不得
133、在乙個非鈍角三角形abc中,ab>ac,角b=45度,o和i分別是三角形abc的外心和內心,且io=ab-ac,求sina (聯賽)
解：設外接圓半徑為r，內切圓半徑為r
則io2＝（公式）
∵2io2＝
∴=2()=又
故故所以,sina
已知,o和i分別是三角形abc的外心和內心,設三角形abc外接圓半徑為r，內切圓半徑為r，求證io2＝
證明：作的外接圓直徑
則弧bd=弧dc
,連ad，則ad過內心i
由餘弦定理得
io2＝
134、不等邊△abc的兩邊上的高分別為4和12，若第三條高的長也為整數，則它的最大可能值為多少？(初中竟寒)
解：設第三條高的長的，三條高4、12、x相應的邊為a、b、c
則,，，故的最大值為5
135、，兩方程的四根成等差數列
等差數列的首項為，則a+b=?
解：設是方程根，則別乙個根是
設方程的兩個根分別為
＝1＝+
由於、、、是等差數列的四個項，由等差數列的加法對稱性
可知這個等差數列為，、、
由此得公差，、
， 136、已知方程的四個根組成乙個首項為的等差數列，則|m-n|等於（ ）
（a）1 （b）3/4 （c）1/2 （d）3/8
解：不妨設方程的根為和a，
的兩根為和，則故
由等差數列的加法對稱性知這個數列是
，， 由此得，＝，＝
故|m-n|＝|=
137、已知:定點p(6,4)與定直線l:y=4x,過p點的直線l與l在第一象限內交於q點,與x軸正方向交於m點,求使三角形oqm面積最小的直線l的方程.
解：設直線的方程為
則聯立y=4x解得故設則
當且僅當即，時上式取等號
故使三角形oqm面積最小的直線l的方程是
138、已知（）在上是減函式，求的取值範圍
解： 對恆成立
， ， =
故（）139、某一次徵兵體檢中，要查清眾多應徵者是否帶有某中傳染病，查明需要通過一向成本高的血液化驗，根據醫學的知，帶有該病的人所站的比例很小，因而採取一種叫做「群試」的方法；把從每位應徵者身上抽取的血液分成兩部分，一部分儲存備用，另一部分分組混合在一起；混合的每組化驗一次，若化驗合格，則整組的應徵者合格；若化驗不合格，說明這組人中有帶病者，進而再用備用血液逐個查明，若該市喲年10000名應徵者，假設帶病者站千分之二點五，每化驗一次花費30元，問：平均分成多少組，群試較逐個化驗節省的費用最多？
(高考不要求)
解：設每組n人，
一組一次化驗合格的概率是
一組一次化驗不合格的概率是
一組一次化驗化費用的數學好期望是
組化驗化費用的數學好期望是=
=300000（設-
--0.0025-
令-0.0025-得-0.0025n+0.0025n2-1=0
故每組20人，平均分成500組，群試較逐個化驗節省的費用最多
140、已知則f(x)的定義域是_________
解： 在，
因此f(x)的定義域是
141、平行於三稜錐的兩條相對稜的平面截三稜錐所得的截面是平行四邊形，不明白為什麼？