第一章彈性力學基礎
（習題解答）
1-1 上端懸掛、下端自由的等厚度薄板，其厚度為1，容重為ρ。試求在自重作用下的位移分量表示式。
解：如圖1-1建立座標系.
利用沿y方向均勻分布及x方向的力平衡條件可得，
又因為積分得
又由對稱性
由綜上所述有
（方法二：只分析出，再求應力函式，然後求其他。）
1-2 寫出圖1-2所示平面問題的應力邊界條件。
解：上表面為力邊界，。代入
中得到上表面的邊界條件為
下表面為自由邊，邊界條件為
側面為位移邊界。
1-3 矩形板厚為1。試用應力函式求解。（並畫出面力分布圖）
解：應力函式滿足應力函式表示的變形協調方程，可以作為解。在無體力的情況下，矩形板的應力為
根據應力邊界條件公式
各邊的應力邊界為
a d邊：
c b邊：
a b邊：
c d邊：
根據以上各邊的應力邊界條件，可畫出矩形板的面力分布圖如圖1-3a。
1-4 如圖1-4設三角形懸臂梁只受重力作用，梁容重為。試用完全三次多項式的應力函式求解其應力分量
解：設完全三次多項式應力函式為
1）顯然應力函式滿足變形協調方程
則應力分量：
2）3）
4）利用邊界條件來確定應力函式中的係數
根據上表面的邊界條件，當時
代入（3）、（4）得
； 根據斜邊的邊界條件，當時，面力，即
5）其中：
代入（5）得
6）7）
聯立（6）、（7）得到
將各係數代入應力分量表示式中，得到應力各分量為
1-5 對圖1-5所示簡支梁，試驗證應力函式
成立，並求解各係數和應力分量。
解：由可知：應力分量：
利用邊界條件來確定待定係數
上表面：
下表面：
彎矩：聯立（1）～（6）可解得
代入（*）式可得各應力分量
1-6圖1-6所示懸臂梁受自重作用,試用應力函式求解。並將所得應力分量與材料力學的結果進行比較。
解：應力函式必須滿足變形協調條件，滿足
即將應力函式代入上式，得
1）應力分量
利用邊界條件確定待定係數
當時，得到
2）3）
聯立方程（1）、（2）、（3）可解得
在待定係數中，還沒有求出。現根據截面上的條件來求c值；因為，應用聖維南原理得
因為被積函式是y的奇次函式，積分必恆等於零，此積分等式一定成立。
此外，尚需滿足
即 得到
將各個係數代入應力分量表示式，得
材料力學的解答：
設載荷，故在某一截面上的彎矩為
剪力為由此得
（假設纖維間不存在擠壓）
現將彈性力學的解答化為下列形式以便於材料力學解答進行比較：
（與材料力學解不同）
（與材料力學解不同）
（與材料力學解一致）
1-7 用圖1-7所示應變花測得，，試求：
（1）；
（2）和，及主方向。
解：（1）根據材料力學公式
將， ，，的值帶入上式。可得
（2）主應變的計算公式
可得，利用公式則得到
， 1-8 如圖1-8，已知平面圓環的應力為試檢查這組
應力存在的可能性。並闡明其邊界條件。（體力不計）
解：方法（一）
因為，由積分得：設由
由於是可得
即將代入變形協調方程檢驗可知滿足變形協調條件。
因此為可以存在。
邊界條件為：
1-8 題方法（二）
將代入平衡方程
中檢驗成立；
由物理方程可得，將
代入變形協調方程
中檢驗,顯然成立，因此這組應力可以存在。
邊界條件為：
1-9 試證明在極座標中變形協調方程為
證明：因為
1-10 內半徑為a、外半徑為b的厚壁圓筒。受壓力pa作用。試求內半
徑和外半徑的尺寸變化以及筒壁厚度尺寸變化。
解：參照課本35頁「承受均布壓力的厚壁圓筒」的求解
則可得1-11 試確定壓配合兩圓環內的應力。，在配合前內圓環外半徑與外圓環內半徑相差。
解：內圓環僅受外壓力，設外壓力為q，根據公式內圓環的應力及位移為
（1）（2）外圓環僅受內壓力，根據公式外圓環的應力及位移為
3）4）
接觸壓力使內圓環半徑減少了，而使外圓環半徑增大了，根據位移協調條件有
5）將分別代入（2）、（4）得到
將代入（5）得到
取，得因此內圓環內表面的切向正應力為
外圓環外表面的切向正應力為
1-12 如圖1-12，矩形薄板受純剪，剪力集度為q，在板中心處有一小圓孔，試求孔邊的最大正應力的值和位置。
解：在純剪下的矩形板中，與邊界成方向的切面矩形板的邊界上受有集度為q的拉力或壓力，如圖1-12a所示。
以為起始軸取新的座標如圖1-12b所示。設小圓孔的半徑為a，並以半徑b(b>>a)作乙個同心圓，在圓周上任一點處，其應力狀態與板內無孔時相同：
按照應力從直角座標到極座標的座標轉換式，可得到孔邊的應力邊界條件
1）2）
由（1）、（2）式可知，是r的函式再乘以，可設應函式為
3）將（3）式代入變形協調方程
可確定，進而可求出應力表示式
4）5）
利用邊界條件（1）式、（2）式，並且令，得到
6）將（6）式代入（5）式，得到應力分量
7）將座標系逆時針轉動，以代替（7）式中的，即得到開孔矩形薄板四邊受均勻剪力q作用時的應力分量
孔邊的環向應力
當時，；
當時，。
航空科學基金南京航空航天大學
航空科學 資助專案研究計畫 專案編號 資助金額 起止年月 專案名稱 專案負責人 簽章 工作單位 南京航空航天大學 公章 2004年10月10日填報 一 根據批准意見對原申請書的補充修改說明 二 分年度的研究內容和目標 三 撥款申請及經費開支計畫 財務負責人 簽章 年月日注 一 計畫開支專案按1 科研...
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