摘要因為全球經濟的日益增長中國經濟也隨之快速發展，經濟發展的越快，就不可避免的破壞更多的自然環境，所以環保問題已經成為乙個不容忽視的問題，而與每個居民的日常生活密切相關的就是水資源問題，因此對於汙水處理這一特殊的問題我們在解決時就應該本著高效的原則去實施，在這個汙水處理問題中，我們先建立了一般情況下的模型，然後將該模型應用到實際問題中從而解決了實際問題。在模型的建立中我們要考慮工廠的淨化能力，江水的自淨能力，在保證江水經這一系列的處理後在到達下乙個居民點後要達到國家標準，還要花費最少，對該問題進行全面的分析後可知這是乙個運籌學方面關於線性規劃的最優解問題，在該模型的建立中我們針對江水汙水濃度在每個居民點之前小於國家標準這一條件對其建立線性約束條件，然後綜合考慮費用最小，在結合三個處理廠各自的情況後關於費用抽象數模型的目標函式，，然後應用lindo軟體求解該問題得到當三個處理廠排出的汙水濃度分別為40 mg/l，20 mg/l，50 mg/l時，此時我們得到使江面上所有地段的水汙染達到國家標準,最少需要花費費用為500萬元。當從三個處理廠出來的汙水濃度分別為 62.
222225mg/l，60mg/l，50mg/l,時，此時如果只要求三個居民點上游的水汙染達到國家標準最少需要花費費用為188.8889萬元。
問題的提出
設上游江水流量為1000（l/min），汙水濃度為0.8（mg/l），3個工廠的汙水流量均為5（l/min），汙水濃度（從上游到下游排列）分別為100，60，50（mg/l），處理係數均為1（萬元/（（l/min）×（mg/l））），3個工廠之間的兩段江面的自淨係數（從上游到下游）分別為0.9和0.
6。國家標準規定水的汙染濃度不超過1（mg/l）。
（1）為了使江面上所有地段的水汙染達到國家標準，最少需要花費多少費用？
(2) 如果只要求3個居民點上游的水汙染達到國家標準，最少需要花費多少費用？
問題的分析
通過對該汙水處理所花費用最少問題的分析，我們可知在此問題中有多個汙水濃度，江水的原始汙水濃度，工廠排出的汙水濃度，處理廠排出的汙水濃度，以及當處理廠排出汙水與江水混合後再經江水自淨後的濃度，在這幾個濃度中只有經處理廠排出的汙水的濃度是未知的，其關係著整個問題，要使總費用最少，江中每段的汙水濃度都達到國家標準，江水中汙水濃度在到達下一居民點之前須達到國家標準1（mg/l），那麼問題的重點就在於對汙水濃度的認識。在問題中有三個工廠以及對應的三個汙水處理廠，那麼這三個汙水處理廠各向江中投放的汙水濃度就要有乙個界值，又因當處理廠將汙水排到江中之後汙水會隨著江水不斷向下游移動，因此下游汙水的濃度與上游汙水的濃度是緊密相關的，即江面中每段汙水的濃度都是有聯絡的，在模型的建立過程中我們就要考慮應用遞推的方法進行相鄰兩端之間汙水濃度的聯絡，在問題的求解中因所花費用都是用來對汙水的處理，因此對個處理廠排出的汙水濃度的確定就顯得至關重要，只有確定了這三個未知數即這三個界值後，我們才能建立目標函式從而進一步得到最小花費。基於對江水濃度的限定與對花費最少兩方面的考慮，我們建立了線性規劃模型。
具體問題分析如下：
(1)為了使江面上所有地段的水汙染達到國家標準,最少需要花費多少費用的
解也就是說對於工廠1所排出的汙水經過汙水處理廠處理後的汙水與江水混合後的汙水濃度就得達到國家標準。同時工廠2，3排出的經過處理的汙水與江水經過自淨的水混合後也要達到國家標準。這樣在求解具體問題的時候每個限制條件在江水與工廠排出的水混合時進行設定。
對於第二個問題
(2)如果只要求三個居民點上游的水汙染達到國家標準最少需要花費多少費用,對居民點1來說其上游的江水汙水濃度為0.8(mg/l),低於國家的標準汙水濃度，無需考慮。也就是說在第二，三個居民點之前，汙水濃度必須達到國家標準，這時處理問題的限制條件發生在第二三個居民點處。
這時工廠1排出的汙水經過汙水廠的處理之後與江水混合再經過江水自淨到達居民點2 之前須達到國家標準，居民點3同理。
模型的假設
假設與符號表示
1.假設長江的水流速度固定，不會因為加入汙水或改變汙水濃度而改變。
2.假設汙水之間無反應，不會因為汙水反應而改變汙水量或汙水濃度。
3.假設居民區不產生汙水。
4.假設江水的自淨作用對所有的汙水都有用。
5.假設汙水進入長江後是均勻分布的。
6.假設汙水進入長江後不會進入上游。
7.假設江水進行自淨作用時，不改變江水本身流量。
8.假設在進行汙水處理時，不改變汙水流量，只能改變汙水濃度。
9.假設三個工廠之間的兩段江面，各自單位的自淨能力相同。
qi 表示第i 段江水的流量
si 表示各工廠排出汙水的流量.
ci 表示第i 段江水中汙水的濃度
ai 表示第i個汙水廠的汙水濃度。
xi 表示第i個處理廠的汙水濃度。
di 表示江水與處理廠的汙水混合後的汙水濃度。
ri 表示第i個處理廠的處理係數
ti 表示第i段江面的自淨係數。
m 表示所花費用。
c0 表示國家規定的汙水濃度
其中 c0=1mg/l
工廠i+1，汙水濃度ai+1，流量si+1
工廠i，汙水濃度ai，流量si
處理廠1，汙水濃度x1，流量s1
處理廠i，汙水濃度xi，流量si
處理廠i+1，汙水濃度xi+1，流量si+1
江水流量為qi，江水上游汙水濃度為c1，各水段自淨係數為ti
工廠1，汙水濃度a1，流量s1
當處理廠江汙水處理完排放到江中之後，居民點1即要取水，此時所要滿足的條件是（為了解決問題方便不妨假設s1=s2=si=s0）
（qi*c1+s1*x1）/(qi+s0)<=c0
同理對居民點i其所滿足的為 ci<=c0,其中
ci=(ci-1)*ti+xi*((qi+(i-1)*s0)*ci-1+s0*xi)/((qi+(i-1)*s0)+s0)
假設花費為m則有
目標函式：m=∑ri*s0*(ai-xi)(i=1……n)
居民點與工廠和處理廠的位置如圖所示：
模型的建立
對問題進行一般化處理後我們建立一般化的模型如下：
目標函式：
min m=∑ri*s0*(ai-xi) (i=1……n)
線性約束條件：
di=（qi*ci+s0*xi）/(qi+s0)
ci+1=ti*di
di<=c0
xi<=ai
模型的簡化與求解
在上面的一般模型中我們比較仔細的考慮了江水流量與處理廠的流量問題，但在現實生活中因汙水處理廠的處理能力有限，因此其流量相對於江水流量而言較小，我們對其進行理想化的處理即整個江水的流量為一常數qi，在求解i段江面的混合汙水濃度時忽略汙水廠的流量。得到的簡化模型如下所示：
min m=∑ri*s0*(ai-xi)(i=1,2,3)
di=ci+s0*xi/qi
ci+1=ti*di
di<=c0
xi<=ai
針對下面的問題：
設上游江水流量為 ,汙水濃度為0.8 mg/l，3個工廠的汙水流量均為 ,汙水濃度(從上游到下游排列)分別為100,60,50(mg/l),處理係數均為1萬元( (mg/l)),3個工廠之間的兩段江面的自淨係數(從上游到下游)分別為0.9和0.
6.國家標準規定水的汙染濃度不能超過1mg/l.
(1)為了使江面上所有地段的水汙染達到國家標準,最少需要花費多少費用?
(2)如果只要求三個居民點上游的水汙染達到國家標準最少需要花費多少費用?
建立模型：
對於問題(1)求解
minm=5*(100-x1)+5(60-x2)+5(50-x3)
0.005x1<=0.2
0.0045x1+0.005x2<=0.28
0.0027x1+0.003x2+0.005x3<=0.568
x1<=100
x2<=60
x3<=50
利用lindo 求解可得當x1=40，x2=20，x3=50時，m=500.
所以要想使江面所有地段均達到國家標準，所花最小費用為500萬元。
對於問題二求解：
min m=5*(100-x1)+5(60-x2)+5(50-x3)
0.0045x1<=0.2
0.0027x1+0.003x2<=0.568
x1<=100
x2<=60
x3<=50
利用lindo 求解可得當x1=62.222225，x2=60，x3=50時，m=188.8889
所以要使個居民點上游江水均達到國家標準，所花早少費用為188.8889萬元。
當然，該模型可以將題中的3個居民點和3個工廠推廣到n個居民點和n個工廠等等，但是求解思想和方法都是與上述相同的。
模型的評價
優點：1)該方案簡單易行,原理清晰,依據可靠,論證有力,結論最優
2)該模型將現實中的汙水處理問題用簡單的線性規劃問題進行分析計算，結構簡單，計算方便，有利於對相似問題進行求解和對模型進行擴充，比如工廠的流水作業問題，物品運輸問題，空氣汙染淨化等問題的建模求解。
3)此問題所建立的模型是從一般問題到特殊問題的過渡，所用的數學方法為線性規劃，易於用多種數學軟體程式設計求解，例如lindo，c++，matlab等。
缺點：1)．該模型在處理此問題時有假設與理想化的思想，與實際問題的求解還有一定的距離，比如這三個汙水廠排出的汙水流量相等，實際中居民點是乙個面，再此模型中將其看做了乙個點來進行處理
2) 模型只從費用單方面考慮，忽略了處理廠與江水流量變化等的實際問題，使得模型的建立偏離一定實際，從而計算結果不準確。
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