情境1從乙個袋子裡摸出來乙個紅玻璃球，第二個是紅玻璃球，甚至第三個、第四個、第五個都是紅玻璃球的時候，我們立刻會出現一種猜想：「是不是袋裡的東西全部都是紅玻璃球？」但是，當我們有一次摸出乙個白玻璃球的時候，這個猜想失敗了；這時我們會出現另外乙個猜想：
「是不是袋裡的東西全部都是玻璃球？」但是，當我們有一次摸出乙個木球的時候，這個猜想又失敗了；那時我們又會出現第三個猜想：「是不是袋裡的東西全部都是球？
」這個猜想對不對，還必須加以檢驗……
從上面的情境中，我們發現探索活動過程具有怎樣的特點？
情境2（1）前提對於自然數，考察的值：
結論對於所有自然數，都是質數.
（2）前提矩形的對角線的平方等於其長和寬的平方和.
結論長方體的對角線的平方等於其長、寬、高的平方和.
（3）前提所有金屬都能導電，銅時金屬.
結論銅能導電.
以上3個案例中的推理有什麼共同特點？
1. 推理：
（1）推理的定義：從乙個或幾個得出另乙個的思維過程.
（2）推理的特點：任何推理包含和兩個部分，前提是它告訴我們是什麼；結論是它告訴我們是什麼.
再如生活、科學研究中推理的例子：
例1、蛇是用肺呼吸的例2、三角形的內角和是
鱷魚是用肺呼吸的凸四邊形的內角和是
海龜也是用肺呼吸的凸五邊形的內角和是
蜥蜴是用肺呼吸的猜想：
蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴都是爬行動物.
猜想：例3、2023年哥德**觀察到例4、
猜想：猜想：
2．（1）歸納推理的定義：由推演出的推理，稱為歸納推理.
簡言之，歸納推理是由到 、由到的推理.
（2）歸納推理的思維過程：
（3）歸納推理的特點：
①歸納推理的前提是歸納所得的結論是
該結論超越了前提所包含的範圍；
②由歸納推理得到的結論具有的性質，結論是否真實，
還需要經過和因此，它不能作為的工具；
③歸納推理是一種具有的推理，通過歸納推得到的猜想，
可以作為進一步研究的起點，幫助人們問題和問題.
練習1：
（1）觀察等式：，，，
能得出怎樣的結論？
（2）數列3，7，15，31，，. . .中的為
（3）如圖中由火柴棒拼成的一列圖形中，第個圖形由個正方形組成：
通過觀察可以發現：第4個圖形中，火柴棒有根；第個圖形中，火柴棒有根.
（4）對任意正整數，猜想與的大小.
解：當時，；當時，；當時，；
由歸納猜想得：對任意正整數， . 此歸納是否正確？
歸納推理的步驟與方法：
第一步：觀察、分析所列特殊情況的共性；
第二步：將第一步中觀察到的共性，進行推廣形成一般化的結論.
練習2：
已知，，，．．．，
若，（均為實數），請推測
例題評講：
例1、已知數列的第1項，且，試歸納出通項公式.
練習：1、已知，，且，則
2、將全體整數排成乙個三角形數陣：按照以上排列的規律，
第行（）從左向右的第３個數為
3、下表給出了乙個「三角數陣」：依照表中數的分布規律，
可猜得第10行第6個數是
例2、觀察圓周上個點之間所連的弦，發現2個點可以連1條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，由此可以歸納出什麼規律？這個規律是否正確？
例3、經過算發現下列不等式成立：
，，，．．．，
根據以上不等式的規律，試寫出乙個對正實數（）都成立的不等式.
變式：觀察圖示圖形規律，
在其右下角的空格內畫上合適的圖形為
例4、已知函式，.
（1）求證：是奇函式；
（2）分別計算和的值，由此概括出涉及函式和的對所有不等於零的實數都成立的乙個等式，並加以證明.