二次函式
一、二次函式概念：
1．二次函式的概念：一般地，形如（是常數，）的函式，叫做二次函式。 這裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零．二次函式的定義域是全體實數．
2. 二次函式的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2．
⑵是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項．
例1（基礎）.二次函式的影象的頂點座標是（ ）
a．（-1，8） b.（1，8） c（-1，2） d（1，-4）
1、二次函式y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，反比例函式y＝與正比例函式y＝（b＋c）x在同一座標系中的大致圖象可能是（ ）
2、若二次函式配方後為則、的值分別為（ ）
a .0 5 b .0. 1 c.-4. 5 d.-4. 1
3、圖（1）是乙個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，水面寬4m．如圖（2）建立平面直角座標系，則拋物線的關係式是（ ）
a． b． c． d．
4、已知二次函式的圖象如圖所示，則這個二次函式的表示式為（ ）
ab．cd．5. 若，則由**中資訊可知與之間的函式關係式是（ ）
6、巴人廣場中心標誌性建築處有高低不同的各種噴泉，其中一支高為1公尺的噴水管噴水最大高度為3公尺，此時噴水水平距離為公尺，在如圖4所示的座標系中，這支噴泉滿足的函式關係式是（ ）a） （b）（
c）（d）
二、二次函式的基本形式
1. 二次函式基本形式：的性質：
a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
2. 的性質：
上加下減。
3. 的性質：
左加右減。
4. 的性質：
三、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2. 平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移，負左移；值正上移，負下移」．
概括成八個字「左加右減，上加下減」．
方法二：
⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成
（或）⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）
考點1.二次函式的平移
例2 已知，在同一直角座標系中，反比例函式與二次函式的影象交於點．
（1）求、的值；
（2）求二次函式影象的對稱軸和頂點座標.
例3 把拋物線y=3x2向上平移2個單位，得到的拋物線是（ ）
a.y=3（x+2）2 b.y=3（x-2）2 c.y=3x2+2 d.y=3x2-2
專題練習一
1.對於拋物線y=x2+x，下列說法正確的是（ ）
a.開口向下，頂點座標為（5，3） b.開口向上，頂點座標為（5，3）
c.開口向下，頂點座標為（-5，3） d.開口向上，頂點座標為（-5，3）
2.若拋物線y=x2-2x+c與y軸的交點為（0，-3），則下列說法不正確的是（ ）
a.拋物線開口向上
b.拋物線的對稱軸是x=1
c.當x=1時，y的最大值為-4
d.拋物線與x軸交點為（-1，0），（3，0）
3.將二次函式y=x2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度後，所得圖象的函式表示式是________.
4.小明從圖2所示的二次函式的圖象中，觀察得出了下面五條資訊你認為其中正確資訊的個數有_______.（填序號）
考點2.根據拋物線上點的座標確定二次函式表示式
1.若已知拋物線上三點的座標，則可用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；
2.若已知拋物線的頂點座標或最大（小）值及拋物線上另乙個點的座標，則可用頂點式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；
3.若已知拋物線與x軸的兩個交點座標及另乙個點，則可用交點式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.
例2 已知拋物線的圖象以a（-1，4）為頂點，且過點b（2，-5），求該拋物線的表示式.
例3 已知一拋物線與x軸的交點是a（-2，0）、b（1，0），且經過點c（2，8）.
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求該拋物線的頂點座標.
專項練習二
1.由於世界金融危機的不斷蔓延，世界經濟受到嚴重衝擊.為了盤活資金，減少損失，某電器商場決定對某種電視機連續進行兩次降價.
若設平均每次降價的百分率是x，降價後的**為y元，原價為a元，則y與x之間的函式表示式為（ ）
a.y=2a（x-1） b.y=2a（1-x） c.y=a（1-x2） d.y=a（1-x）2
2.如圖2，在平而直角座標系xoy中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交於a、b兩點，點a在x軸負半軸，點b在x軸正半軸，與y軸交於點c，且tan∠aco=，co=bo，ab=3，則這條拋物線的函式解析式是
3.對稱軸平行於y軸的拋物線與y軸交於點（0，-2），且x=1時，y=3；x=-1時y=1，
求此拋物線的關係式.
4.推理運算：二次函式的圖象經過點，，．
（1）求此二次函式的關係式；
（2）求此二次函式圖象的頂點座標；
（3）填空：把二次函式的圖象沿座標軸方向最少平移個單位，使得該圖象的頂點在原點．
四、二次函式與的比較
從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，後者通過配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函式圖象的畫法
五點繪圖法：利用配方法將二次函式化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點座標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：
頂點、與軸的交點、以及關於對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關於對稱軸對稱的點）.
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.
六、二次函式的性質
1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點座標為．
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點座標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
七、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式：（，，為常數，）；
2. 頂點式：（，，為常數，）；
3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫座標）.
注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.
專項練習三
1.拋物線y=kx2-7x-7的圖象和x軸有交點，則k的取值範圍是________.
2.已知二次函式的部分圖象如圖2所示，則關於的一元二次方程的解為
3.已知函式的圖象如圖3所示，那麼關於的方程的根的情況是（ ）
a.無實數根b.有兩個相等實數根
c.有兩個異號實數根d.有兩個同號不等實數根
4. 二次函式的圖象如圖4所示，根據圖象解答下列問題：
（1）寫出方程的兩個根．
（2）寫出不等式的解集．
（3）寫出隨的增大而減小的自變數的取值範圍．
（4）若方程有兩個不相等的實數根，求的取值範圍．
八、二次函式圖象的對稱
二次函式圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達
1. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
2. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
3. 關於原點對稱
關於原點對稱後，得到的解析式是；
關於原點對稱後，得到的解析式是；
4. 關於頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）
關於頂點對稱後，得到的解析式是；
關於頂點對稱後，得到的解析式是．
5. 關於點對稱
關於點對稱後，得到的解析式是
根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表示式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表示式已知的拋物線）的頂點座標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點座標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線的表示式．
十、二次函式與一元二次方程：
1. 二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與軸交點情況）：
一元二次方程是二次函式當函式值時的特殊情況.
圖象與軸的交點個數：
① 當時，圖象與軸交於兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.
② 當時，圖象與軸只有乙個交點；
③ 當時，圖象與軸沒有交點.
當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；
當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點座標為，；
3. 二次函式常用解題方法總結：
⑴ 求二次函式的圖象與軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式中，，的符號，或由二次函式中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點座標，或已知與軸的乙個交點座標，可由對稱性求出另乙個交點座標.
初三二次函式知識點總結1
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初三 二次根式知識點
二次根式測試題 一 1 下列式子一定是二次根式的是 a b c d 2 若，則 a b 3 b b 3 c b 3 d b 3 3 若有意義，則m能取的最小整數值是 a m 0 b m 1 c m 2 d m 3 4 若x 0，則的結果是 a 0 b 2 c 0或 2 d 2 5 下列二次根式中屬於...
初三二次函式知識點和練習題
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