經典二重積分計算：
一、二重積分的概念與性質
1. 定義
設是定義在有界閉區域上的有界函式，如果對任意分割為個小區域，對小區域上任意取一點都有
存在，（其中又表示為小區域的面積，為小區域的直徑，而），則稱這個極限值為在區域上的二重積分，記以
這時就稱在上可積，如果在上是有限片上的連續函式，則在上是可積的。
2. 幾何意義
當為閉區域上的連續函式，且，則二重積分表示以曲面為頂，側面以的邊界曲線為準線，母線平行於軸的曲頂柱體的體積。
當封閉曲面它在平面上的投影區域為，上半曲面方程為，下半曲面方程為，則封閉曲面圍成空間區域的體積為
3. 基本性質
（1）（2）
（3）其中。除公共邊界外，與不重疊。
（4）若，則
（5）若，則
其中為區域的面積
（6）（7）積分中值定理，設在有界閉區域上連續，為的面積，則存在，使得
我們也把稱為在上的積分平均值。
4.對稱區域上奇偶函式的積分性質
定理1 設在有界閉區域上連續，若關於軸對稱，則
其中為在軸上半平面部分
定理2 設在有界閉區域上連續，若關於軸對稱，則
其中為在軸的右半平面部分
定理3 設在有界閉區域上連續，若關於原點對稱，則
其中為的上半平面部分或右半平面部分
定理4 設在有界閉區域上連續，若關於直線對稱，則
若分別為在的上方與下方部分，則
二、在直角座標系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序問題
模型ⅰ：設有界閉區域
其中在上連續，在上連續
則模型ⅱ：設有界閉區域
其中在上連續，在上連續
則 二計算
1.（1），其中為所圍成的平面區域。
（2）,其中為拋物線和直線所圍成的平面區域。
計算直角座標系的二重積分步驟是：
1）畫出區域的草圖，根據圖形的情況確定積分次序；
2）聯立方程求交點，按積分的順序確定積分上、下限；
3）代入公式計算積分值。
解：（1）區域如右圖所示。由區域的形狀，選擇先
積後積。
聯立方程，
解得交點為：
區域於是
（2）解法一：用直線將區域分為和
原式==+
0+解法二：化為先對後對的累次積分。這時可統一表示為
因此2.（1），其中為圓周和及直線所圍成的在第一象限的區域。
（2），其中為圓周所圍成的在區域。
解把二重積分中的變數從直角座標系變換為極座標系，只需把被積函式中的分別換成，面積元換成即可，積分次序一般為先後。
(1) 採用極座標系：積分區域如右圖所示。
={(於是
= （2）採用極座標系：積分區域如右圖所示，
圓周的極座標方程為，
則積分區域為
={(於是
==3. 計算，其中是由曲線所圍區域。
4.計算其中是以和為邊的平行四邊形區域。
5.計算其中是由擺線的第一拱和軸所圍區域。
令表示擺線的方程，則
令則，於是
原式6.計算
解原式7.計算
解原式令，則
於是原式
8.計算，其中由和軸所圍區域。
如果那麼先對求原函式就不行，故考慮另一種順序的累次積分
這時先對積分，當作常數處理就可以了。
原式9.計算其中由與軸圍成上半圓區域。
解在極座標系裡
10. 求
解一解二由積分區域對稱性和被積函式的奇偶性可知
原式11.交換的積分順序。
解原式其中由和所圍的區域，按另一積分順序把二重積分化累次積分
原式12.交換的積分順序。
解原式其中由和所圍的區域，按另一積分順序把二重積分化累次積分
原式13.交換的積分順序。
解原式其中由和所圍的區域
因此，原式
14.交換的積分順序
解原式其中由和以及所圍的區域。
由解出解出
因此按另一順序把二重積分化為累次積分對三塊
小區域得
原式15. ，由，所圍成；
解：法一。
法二16. ，；
解： 17. ，由曲線與所圍成；
解： 法二：關於軸對稱，函式即關於是偶函式。
故，其中
18. ，.
解： 19. ，由，和所圍成；
解：；20. ；
解：設，則
21. .
解：設，則
22.改變下列二次積分的積分次序.
（1）；
解：設=
=（2）
解：設=
=23．如果二重積分的被積函式能分解為的函式與的函式的乘積，即，且積分區域為矩形區域：，證明二重積分等於兩個定積分的乘積，即
證明：.
24.把二重積分化為極座標系下的二次積分，其中積分區域分別為：
（1）；
解：區域的極座標表示為：。故
=（2）；
解：區域的極座標表示為：。故
=（3）.
解：區域的極座標表示為： 。故
=25．計算下列二重積分
(1) ，其中是圓域在第一象限部分；
分析用極座標表示簡單，且被積函式為的函式，選擇極座標計算。
解：，則
(2) ，由曲線所圍成的閉區域；
分析：雖然積分區域是圓域，但這個圓域用極座標表示較為困難。故直接用極座標不方便。（採用換元法）
解：令則
，其中由曲線所圍成的閉區域。
法一：利用對稱性
法二：利用極座標
(3) ，其中是由圓周及直線所圍成的在第一象限內的閉區域.
解：，則
26．選擇適當的座標計算下列各題：
（1），其中是由直線及曲線所圍成的閉區域；
解：將寫成型區域，則
（2），由曲線以及直線圍成；
解：關於軸對稱，且被積函式關於是奇函式，故。
（注意：若寫成極座標為
）（3），為矩形區域：；
（提示考慮在定義域中新增輔助曲線，去除絕對值號）
解： 計算，令令故
27．設在上連續，證明：
（提示：利用積分的性質和題6的結論）
證明：其中是如圖的正方形區域， (最後乙個等式是根據定積分與積分記號無關)
故（注：的證明
設，同理： ，
故）28．設為上的連續函式，且，證明：
.（提示：利用定積分與積分變數的符號無關以及不等式）
證明：由有
其中，又
（根據定積分與積分記號無關）則
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數值分析課程設計 報告專業 學號 學生姓名 指導教師 一 題目 數值積分中二重積分 二 理論 數值積分就是用數值方法近似計算定積分。其原理很簡單，就是將積分核用插值多項式替代，用多項式的結果近似定積分的值。一般常用的方法是，將積分區間等分為個子區間，即取步長 子區間端點為 k 0,1,n 在每個子區...
二重積分測試卷A
徐海學院高等數學競賽測試卷a 二重積分 1記,其中,則的大小關係為p76 提示 極座標計算再比較大小 2 4 提示 交換積分次序做 p182 3計算 p323 提示 交換積分次序做 4 求,其中.p207 提示 去絕對值，分區域做 5設d是由所圍成的平面區域,則 0 p167 提示 利用對稱性 6 ...
2023年武漢大學英語語言文學考研複習經驗小結
之前經常逛論壇，發現論壇裡有關英語專業的貼特別少，十分苦惱，在複習的過程中基本都是自己一人摸石頭過河，所以那時就告訴自己，如果有機會考上，我希望把自己的經驗分享給大家，希望能給同學們些許幫助。我是13年考的武漢大學英語語言文學專業的研究生，下面就簡述下我的複習心得。一 政治 我的政治考的不好，六十多...