不少工科學生特別是工科研究生對數學基礎不足感到壓力。確實，缺乏數學的幫助會使得學生們的研究缺乏思路和工具，缺乏捕捉問題的敏感性，缺乏抽取問題本質的能力，缺乏處理問題的技巧和方法。我們許多碩士生、博士生的研究**缺乏創新性，數學基礎差是乙個重要原因。
這個講座談談工科學生如何學習數學的問題，希望對有願望提高數學能力的同學有所幫助。我本人是電子資訊領域中的乙個研究者，不是數學家，這裡講的希望能貼近工科學生的需要。作數學工作的同仁可以從這裡了解到工科研究者對數學的一部分理解以及對數學家們的期望。
（一） 讓興趣引導我們接近數學
有願望學習數學，而數學內容常常不那麼有趣。確實沒有多少人能堅持做那些令人發睏的勞作。然而，有人談到過這樣的經驗：
對數學的興趣需要發掘、引導和培養。我對此很為認同。有多種方法可能增加你對數學的興趣，當然沒有一種辦法可以減輕你需要付出的努力。
多做數學題是提高數學能力和興趣的有效方法。不少成功的研究者都介紹過這個經驗。如果你正在學習數學，如果你發現一道道看似困難的問題能逐漸被你解答，就表明你已經進入了良好狀態。
這是乙個好的開端，會有克服者的喜悅，會不斷發現你自己的數學才能，有繼續進展的興趣和勁頭。如果你已經進入了研究工作，如果你不時抽出一點時間做一點數學趣題，對保持和提高你的數學思維活力一定有所幫助。
不少學生提出過這樣的問題：是不是必須先準備了深入寬廣的數學基礎才適合於進入研究工作？確實，我不知道有哪個非數學專業的研究者是那樣做的。
而且認為那不是乙個切合實際的方法。不過，準備在工科專業領域內做深入研究的學生們應當花一點時間讀一點最基礎的數學。除了工科大學已經教過的高等數學等課程外，可以讀一點實分析和近世代數的入門知識。
了解一點關於集合、測度、連續統、lebesgue積分，以及初等數論、群這些基本概念。學習這些基本知識不需要太多的時間，而對進一步學習數學理論很有必要。對於更深入廣泛的數學知識，不妨先採用「瀏覽學習法」：
試著讀一讀，不太懂不要緊，但要求快一些，多一些。「瀏覽學習法」的目的是了解數學涉及的各個方面，為將來深入學習提供線索。不要小看那些似懂非懂的線索。
如果你積累了較豐富的線索，它們會擴充套件你的思路，在需要的時候引導你較快地了解必須深入準備的基礎。缺乏線索，腦子裡要麼一片空白，要麼產生一些不切實際的空想，自然難以作研究工作。
結合專業研究的需要來學習深入的數學理論是乙個許多研究者都很認可的方法。事實上，對專業研究題目深入思考可能激發起對數學的高度興趣甚至產生出創新性成果。愛因斯坦的研究經歷是人們知道的。
在愛因斯坦研究廣義相對論的早期，並非數學基礎十分豐厚。在他的同學格羅斯曼的幫助下，了解了黎曼幾何和張量分析。愛因斯坦在深入研究中感覺到，這種數學工具簡直是為他發展廣義相對論而準備的。
他的工作不僅使廣義相對論發展到成熟，而且推動了黎曼幾何更加突飛猛進地進步。
絕非只是在物理等基礎研究領域能夠提出挑戰性問題和發現數學的應用。在應用科學包括工程學科領域內，處處都有挑戰性問題。當你試**決某個實際問題的時候，你總會感到手頭的數學不夠用。
儘管現代數學已經取得了十分豐富的成果，而物理世界太複雜太豐富了，當今數學能夠描述和處理的問題還僅僅是乙個很小的集合，而工科研究者手頭的數學恐怕會更少。
從自己從事的工程學科研究中抽取數學問題是我對工科學生的乙個建議。不必苦苦尋求那些被**追捧的「明珠」，除非你確實有準備和興趣。你在工程學科中的已有基礎是值得珍視的。
這些基礎有可能幫助你抽取出很有意義的理論和數學問題。而發現這些問題，除了靈感以外，最靠得住的恐怕是對專業工作的專注、勤奮而開放的思考和數學基礎。
工科學生可以發揮自己在形象思維方面的長處去理解數學。如果這樣，你或許會發現數學中的若干知識不僅有趣，而且有用。這裡說一說幾個常見的例子。
―― 正交性。這是布滿了數學和物理書籍的基本知識。為什麼正交函式會如此廣泛地受到重視？
從數學的角度看到的是基，用它來描述函式空間中任何乙個元具有唯一性和可逆性；可以聯絡對映的定義域和值域，從而研究解乃至求得解。從應用的角度看到的是一種基本工具或方法，可以使得例如函式變換、函式逼近、資料壓縮、數學物理問題的求解等問題變得容易處理和易於理解。與正交性相聯絡的自然是非正交性。
非正交性也很有用。例如用非正交基（標架）表示訊號可以靈活地具有某些特別的性質。這種表示帶有一定冗餘，但有一定抗損能力。
描述空間正交性最基本的數學原理是什麼？合理的回答應該是cauchy－riemann方程。由此才有保角變換、laplace方程、調和函式、poisson方程等等。
空間正交性對數學物理問題的研究者太有用了。有了這個直觀概念，就容易理解和猜測例如流體力學、引力場、電磁場等等領域中邊值問題的解的形式。例如波導中特別是在不規則波導中電磁波存在的模式、模式變化這些問題可以根據正交性來猜測和解釋，因為電場分量必定垂直於波導壁，而磁場分量必須平行於波導壁。
―― 無源性。討論無源性的數學家不多，但對於物理和工程，無源性非常重要。空間無源性隱含在解析函式的cauchy積分定理中。
事實上，例如用有限元方法處理大型力學計算問題時人們觀察到，求解方程的矩陣一般是主對角優勢的，這和求解乙個無源電阻網路時觀察到的現象相一致。其內因就是無源性，它保證了解的數值穩定性和迭代求解方法的快速收斂。在電路理論中證實，一類特別的解析函式稱為正實函式作為驅動阻抗，是無源網路可綜合的充分必要條件。
進而，無源而且無損的網路在電子工程設計上非常有用。因為例如無源無損濾波器的特性隨元件引數變化的敏感度底，適合於工業生產。現代數字濾波器包括通訊濾波器組的理論和設計都要應用和發展這些概念。
―― 最大熵和最小熵。熵是熱物理學中最先引入的概念，用它表示能量在系統中分布的均勻程度，同時也表示熱和溫度的關係。乙個系統達到了熱平衡，或達到了能量的均勻分布，則系統的熵達到最大。
在通訊領域中熵被用來作為資訊的度量，表示平均資訊量。如果熵最大，表明信源的不確定性最大，被傳送的訊號寄載的資訊自然就最多。在資訊處理、訊號估計，包括影象處理應用中，熵的概念被借用來表示對解的先驗限制：
最大熵限制表示解在數值分布上應該有一定的均勻性或平滑性；而最小熵限制表示解應該很不平滑，如同若干孤立點那樣。這兩種情況在應用中都可能出現。例如在若干反演問題中（如訊號重建、復原、去噪、估計等），為了抑制雜訊，可以將最大熵作為對解的附加限制。
在另外的情況下，例如希望的解是點狀的星雲，或者是如同若干孤立雜訊那樣的岩層反射序列，或者是只含乙個非零元的理想通道，對這些情況就可以附加最小熵限制。注意我們這裡使用的「概念被借用」說法。其實這是研究中的常用方法。
如果你的視野廣些，積累多些，就有可借用的機會。
距離和相似性。距離這個概念在數學中太重要了，它是定義度量空間的第一要素。有了距離，才好討論度量空間中元和元之間的相互關係，才好討論按距離的收斂性。
有多種距離的具體形式適合於研究不同的數學問題。典型的例子有用函式差值上界定義的距離（一致收斂距離）和按函式差值平方積分定義的距離（均方收斂距離）。典型地，許多問題需要通過最優化乙個泛函指標來表達，這個指標就是距離。
工科研究者十分關注距離的乙個直觀含義：函式的相似性度量。自然地，用距離描述的相似性是很窄的一類相似性。
即使是這樣， 它的應用已經遍及物理和工程的許多領域。與電子資訊領域相關的應用例子有訊號（影象）重建、恢復、估計等等。兩個隨機變數的在統計上是否相關或獨立，或者它們的統計特性是否相似，為檢驗這些問題在統計學中引入了kullback-leibler型距離和bhattacharyya距離（或稱為差離度，divergence）。
這些距離不滿足三角不等式，稱為廣義距離。它們在統計模式分析、目標識別和分類、影象分割和配準等方面已經有重要應用。在工程研究中你可以利用手頭掌握的數學不等式，定義新的距離或廣義距離，它或許有某種特別的性質。
人感知物理世界，哪些事和物按什麼方式和度量彼此相似，這可能是最富魅力的科學問題之一。相似這個概念既直觀又抽象甚至神秘。例如繪畫家可以將乙個人的形象用寫實畫、印象畫、線描畫、甚至各種形態的漫畫表現出來，我們可以認識他，並認為和**上的他是同乙個人。
問題是如何從數學上定義這些圖畫中人的相似性？
如果你細心思考，數學中處處都可以發現很有趣的問題，這些問題可以在物理和工程中找到應用背景。
物理和工程學科中包含大量的數學。有的工科學習者對數學表達不經意，甚至厭煩，這種心態會妨礙知識的獲得。如果你願意花一點時間去讀懂一些重要的數學表達，你會發現不僅在認識的深度上會大大不同，而且會引出樂趣甚至創新性的認識。
這裡不妨舉乙個大家熟悉的例子。卷積的表示式為。我們的教科書中總是這樣解說的：
在每個時間點，將翻轉為，再平移為，與乘積的結果，求面積，就得到卷積的結果。這個解說是沒錯的，並且因為要被翻轉，成為「卷積」這個稱呼的**。但問題是，這個解釋符合物理事實嗎？
或者說在物理上的乙個卷積過程，要求乙個物理量在時間上（或空間上）必須被翻轉嗎？這顯然不是事實！現在的問題出在**？
問題出在剛才的解說僅僅是乙個數學解說。另一種解說就沒有這樣的困難：將平移乙個時間量成為，乘在處的函式值，取遍定義的所有，將乘積累積起來，就得到卷積的結果。
後一種解釋其實是最老的解釋：疊加原理。正是按照這種解釋，可以構造出用物理硬體實施卷積計算的卷積器。
「翻轉」這個概念應該說造成了某些負面後果。例如，考慮兩個外形不同的多邊形（你不妨在紙上畫乙個任意的三角形和乙個任意的四邊形，假定圖形內數值是1，圖形外是0），這兩個圖形卷積後，結果是什麼外形？你可以試圖通過上面的兩種解釋從概念上得到結果。
你會發現，從「翻轉」解發布發會使你頭痛，而從後一種解釋得到結果就很直觀和容易。不要小看了這裡的問題，它聯絡著某些深入的數學：代數幾何、多項式代數和分配函式理論。
另乙個簡單例子是矩陣的奇異值分解（svd）。這種方法常常用於影象的特徵描述、分類和識別。人們將影象離散化為數值陣列，將陣列作為矩陣，計算它的若干個顯著的奇異值，作為描述影象特徵的一組特徵量。
這樣做合理嗎？或者說，若干個顯著奇異值能描述影象灰度分布特徵嗎？回答卻是否定的。
事實上，你需要仔細解讀一下svd的數學表示式。注意每對奇異向量的乘積是乙個可分影象。svd表示式表明，用若干個可分影象按奇異值進行強度加權後疊加在一起，可以逼近原影象。
因此，除了幾個顯著奇異值外，如何描述幾個顯著的可分影象的特徵是你可以發展的工作。
從物理和工程上解釋數學是工科研究者的優勢，不要忘記了這一點。我們還可以舉乙個抽象一點的例子。同倫是數學中的乙個概念。
乙個拓撲流形或函式如果能夠通過連續變形變成另乙個拓撲流形或函式，我們就說這兩個拓撲流形或函式彼此同倫。同倫論是數學中乙個重要研究領域，並且與riemann幾何的研究密切關聯。僅僅是同倫這個概念對工程就很有用。
在大規模積體電路（vlsi）設計中需要通過電路**，檢查設計出的電路是不是符合設計要求。乙個基本的檢查是要計算各個電晶體在加電後的工作點（電壓和電流）。電晶體特性是非線性的，數量多，相互直流互連。
直接處理這樣的非線性電路問題很困難，並且可能是多解的。電路**程式spice的研究者提出了一種「源步法」，就是利用了同倫的思想。讓電源電壓從0開始，連續小步地逐步公升到額定值，計算隨之逐步迭代進行。
這樣在每一步，都是解乙個線性化的電路問題，並且計算過程符合加電的實際物理過程。這種處理大型非線性計算問題的方法應該不限於電路計算的應用。
不同應用領域可以有關於數學概念和表達的不同解讀，其實這正是數學的奧妙之處。解讀數學需要耐性。如果你想把握它，就花一點時間去解讀它。
（二） 努力尋求數學概念的淺近解釋
工科學生有形象思維的強勢，但在抽象思維方面常常處於弱勢。實際上，學生們進入學習多少都有這樣的特點。好的教育工作者會注意這個特點。
例如前蘇聯數學家柯爾莫哥羅夫建議講解數學時要能用其他科學領域的例子來吸引學生，增進理解，培養理論聯絡實際的能力。並且要求以清楚的解釋和廣博的知識來吸引學生進行思維運動。柯爾莫哥羅夫的學生、數學家arnold更是強烈地呼籲數學教育必須結合物理，充分利用幾何直觀，反對數學教育的非幾何化和脫離物理。
事實上，用物理和工程例子將數學概念形象化和具體化，達到淺近易懂，是數學家對學生（不只是工科學生）的最重要幫助。在50年代莫斯科大學組織了一批頂級的數學家寫了數學普及名著「數學――它的內容、方法和意義」。直到現在，世界範圍內的科學工作者中許多人都曾經或正在從該書獲得入門知識。
教會學生如何學好數學
廣西玉林市福綿二中徐小明 數學學習活動是自主感悟知識的過程，不是老師向學生生搬硬套，直接灌輸知識。因此教師在教學中應進行學法指導，教給學生學好數學的方法。一 課前學會預習 乙個學生有否預習的習慣，對能否學好數學有很大的影響。在多年的教學經歷中，對此體會較為深刻。第一步，先教會學生學會預習。預習有粗有...
小學生如何學好數學
小學生如何學好數學的方法其實跟讀其他科目沒太大差別，流程上可區分為七個步驟 1.預習 在課前把老師即將教授的單元內容瀏覽一次，並留意不了解的部份。2.專心聽講 1 新的課程開始有很多新的名詞定義或新的觀念想法，老師的說明講解絕對比同學們自己看書更清楚，務必用心聽，切勿自作聰明而自誤。若老師講到你早先...
要教會學生如何學好數學
作者 程芳 讀寫算 教研版 2013年第05期 摘要 學好數學，學生感到很難 教好數學，教師感到特難。其實，說難也不難，常言道 難者不會，會者不難 關鍵是乙個方法問題，正所謂 授人以魚，不如授人以漁 如果教師把學好數學的方法教給了學生，那學生也就易學了，教師也就好教了。關鍵詞 數學方法 策略 中圖分...