gksxnd04難點「二次」及關係

2023-02-14 22:48:04 字數 4385 閱讀 6137

難點4 三個「二次」及關係

三個「二次」即一元二次函式、一元二次方程、一元二次不等式是中學數學的重要內容,具有豐富的內涵和密切的聯絡,同時也是研究包含二次曲線在內的許多內容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個「二次」問題有關.本節主要是幫**生理解三者之間的區別及聯絡,掌握函式、方程及不等式的思想和方法.

●難點磁場

已知對於x的所有實數值,二次函式f(x)=x2-4ax+2a+12(a∈r)的值都是非負的,求關於x的方程=|a-1|+2的根的取值範圍.

●案例**

[例1]已知二次函式f(x)=ax2+bx+c和一次函式g(x)=-bx,其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈r).

(1)求證:兩函式的圖象交於不同的兩點a、b;

(2)求線段ab在x軸上的射影a1b1的長的取值範圍.

命題意圖:本題主要考查考生對函式中函式與方程思想的運用能力.屬於★★★題目.

知識依託:解答本題的閃光點是熟練應用方程的知識來解決問題及數與形的完美結合.

錯解分析:由於此題表面上重在「形」,因而本題難點就是一些考生可能走入誤區,老是想在「形」上找解問題的突破口,而忽略了「數」.

技巧與方法:利用方程思想巧妙轉化.

(1)證明:由消去y得ax2+2bx+c=0

δ=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+c2]

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0

∴c2>0,∴δ0,即兩函式的圖象交於不同的兩點.

(2)解:設方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=-,x1x2=.

|a1b1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0

∴a>-a-c>c,解得∈(-2,-)

∵的對稱軸方程是.

∈(-2,-)時,為減函式

∴|a1b1|2∈(3,12),故|a1b1|∈(

[例2]已知關於x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有兩根,其中一根在區間(-1,0)內,另一根在區間(1,2)內,求m的範圍.

(2)若方程兩根均在區間(0,1)內,求m的範圍.

命題意圖:本題重點考查方程的根的分布問題,屬★★★級題目.

知識依託:解答本題的閃光點是熟知方程的根對於二次函式性質所具有的意義.

錯解分析:用二次函式的性質對方程的根進行限制時,條件不嚴謹是解答本題的難點.

技巧與方法:設出二次方程對應的函式,可畫出相應的示意圖,然後用函式性質加以限制.

解:(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區間(-1,0)和(1,2)內,畫出示意圖,得

(2)據拋物線與x軸交點落在區間(0,1)內,列不等式組

(這裡0<-m<1是因為對稱軸x=-m應在區間(0,1)內通過)

●錦囊妙計

1.二次函式的基本性質

(1)二次函式的三種表示法:

y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n.

(2)當a>0,f(x)在區間[p,q]上的最大值m,最小值m,令x0= (p+q).

若-若p≤-若x0≤-若-≥q,則f(p)=m,f(q)=m.

2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布及條件.

(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大,另一根比r小a·f(r)<0;

(2)二次方程f(x)=0的兩根都大於r

(3)二次方程f(x)=0在區間(p,q)內有兩根

(4)二次方程f(x)=0在區間(p,q)內只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p,q)內成立.

(5)方程f(x)=0兩根的一根大於p,另一根小於q(p3.二次不等式轉化策略

(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是a<0且f(α)f(β)0;

(2)當a>0時,f(α)

(3)當a>0時,二次不等式f(x)>0在[p,q]恆成立或

(4)f(x)>0恆成立

●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對一切x∈r恆成立,則a的取值範圍是(

a.(-2b.-2,2c.(-2,2 d.(-2)

2.(★設二次函式f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,則f(m-1)的值為(

a.正數b.負數

c.非負數d.正數、負數和零都有可能

二、填空題

3.(★已知二次函式f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,若在區間[-1,1]內至少存在乙個實數c,使f(c)>0,則實數p的取值範圍是

4.(★二次函式f(x)的二次項係數為正,且對任意實數x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)三、解答題

5.(★已知實數t滿足關係式(a>0且a≠1)

(1)令t=ax,求y=f(x)的表示式;

(2)若x∈(0,2時,y有最小值8,求a和x的值.

6.(★如果二次函式y=mx2+(m-3)x+1的圖象與x軸的交點至少有乙個在原點的右側,試求m的取值範圍.

7.(★二次函式f(x)=px2+qx+r中實數p、q、r滿足=0,其中m>0,求證:

(1)pf()<0;

(2)方程f(x)=0在(0,1)內恆有解.

8.(★乙個小服裝廠生產某種風衣,月銷售量x(件)與售價p(元/件)之間的關係為p=160-2x,生產x件的成本r=500+30x元.

(1)該廠的月產量多大時,月獲得的利潤不少於1300元?

(2)當月產量為多少時,可獲得最大利潤?最大利潤是多少元?

參***

難點磁場

解:由條件知δ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴-a≤2

(1)當-≤a<1時,原方程化為:x=-a2+a+6,∵-a2+a+6=-(a-)2+.

∴a=-時,xmin=,a=時,xmax=.

∴≤x≤.

(2)當1≤a≤2時,x=a2+3a+2=(a+)2-

∴當a=1時,xmin=6,當a=2時,xmax=12,∴6≤x≤12.

綜上所述,≤x≤12.

殲滅難點訓練

一、1.解析:當a-2=0即a=2時,不等式為-4<0,恆成立.∴a=2,當a-2≠0時,則a滿足,解得-2<a<2,所以a的範圍是-2<a≤2.

答案:c

2.解析:∵f(x)=x2-x+a的對稱軸為x=,且f(1)>0,則f(0)>0,而f(m)<0,∴m∈(0,1),∴m-1<0,∴f(m-1)>0.

答案:a

二、3.解析:只需f(1)=-2p2-3p+9>0或f(-1)=-2p2+p+1>0即-3<p<或-<p<1.∴p∈(-3,).

答案:(-3,)

4.解析:由f(2+x)=f(2-x)知x=2為對稱軸,由於距對稱軸較近的點的縱座標較小,∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,∴2<x<0.

答案:-2<x<0

三、5.解:(1)由loga得logat-3=logty-3logta

由t=ax知x=logat,代入上式得x-3=,

∴logay=x2-3x+3,即y=a (x≠0).

(2)令u=x2-3x+3=(x-)2+ (x≠0),則y=au

①若0<a<1,要使y=au有最小值8,則u=(x-)2+在(0,2上應有最大值,但u在(0,2上不存在最大值.

②若a>1,要使y=au有最小值8,則u=(x-)2+,x∈(0,2應有最小值

∴當x=時,umin=,ymin=

由=8得a=16.∴所求a=16,x=.

6.解:∵f(0)=1>0

(1)當m<0時,二次函式圖象與x軸有兩個交點且分別在y軸兩側,符合題意.

(2)當m>0時,則解得0<m≤1

綜上所述,m的取值範圍是.

7.證明:(1) ,由於f(x)是二次函式,故p≠0,又m>0,所以,pf()<0.

(2)由題意,得f(0)=r,f(1)=p+q+r

①當p<0時,由(1)知f()<0

若r>0,則f(0)>0,又f()<0,所以f(x)=0在(0,)內有解;

若r≤0,則f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(r=>0,又f()<0,所以f(x)=0在(,1)內有解.

②當p<0時同理可證.

8.解:(1)設該廠的月獲利為y,依題意得

y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500

由y≥1300知-2x2+130x-500≥1300

∴x2-65x+900≤0,∴(x-20)(x-45)≤0,解得20≤x≤45

∴當月產量在20~45件之間時,月獲利不少於1300元.

(2)由(1)知y=-2x2+130x-500=-2(x-)2+1612.5

∵x為正整數,∴x=32或33時,y取得最大值為1612元,∴當月產量為32件或33件時,可獲得最大利潤1612元.

二次函式所描述的關係

教學目標 1 經歷探索和表示二次函式關係的過程,獲得用二次函式表示變數之間關係的體驗.2 能夠表示簡單變數之間的二次函式關係.3 能夠利用嘗試求值的方法解決實際問題,如猜測增種多少棵橙子樹可以使橙子的總產量最多的問題.重點難點 重點 表示簡單變數之間的二次函式關係.難點 利用嘗試求值的方法解決實際問...

求二次函式關係式

27.3求二次函式的函式關係式 一 學習目標 掌握用待定係數法由已知圖象上三個點的座標求二次函式的關係式。二 重點 1,已知二次函式圖象上乙個點的座標或三個點的座標,分別求二次函式y ax2 y ax2 bx c的關係式 2,根據不同條件選擇不同的方法求二次函式的關係式 三 難點 根據不同條件選擇不...

二次函式所描述的關係說課稿

平遙實驗中學李浩 一 說課內容 北師大版義務教育課程標準實驗教科書九年級下冊第二章第一節 二次函式所描述的關係 二 教材分析 1 教材的地位和作用 這節教材內容是在學生已經學習了一次函式 正比例函式 反比例函式的基礎之上,來學習二次函式。二次函式是我們整個初中階段所研究的最後乙個最重要且最難的函式,...