從數學建模走向能力卓越
沈文選湖南師範大學數學與電腦科學學院
數學建模（mathematical modelling）是近些年來隨著計算機的普及而談論得比較多的話題。一切現代科學技術的發展也緊緊地和數學建模聯絡在一起了。因為一切科學研究都要和模型打交道，模型是對原型的形象化或模擬與抽象而來，是對原型的某（或某些）方面不失真的近似反映。
而研究模型，少不了研究其間的空間形式與數量關係，因而這實際上就是要研究並恰當地建立各種各樣的數學模型。
運用數學模型，不僅可以定性地研究事物的性質，而且可以定量地研究或描述事物的本質，使其數量化、精確化，這也正是現代科學技術發展的乙個重要特徵。因而，數學建模活動正在全世界形成一股熱潮，這股熱潮使得學校教育形成了鮮明的時代特色。例如，強調讓學生通過「做數學」來學習數學是近些年來國際上進行數學教育的特色之一，因為數學建模的過程就是一種做數學的過程。
根據中學的數學教育目標，在中學階段就開始學習並**研究有關數學建模的問題是非常必要的，也是十分重要的。在中學數學教學中，介紹數學模型的運用與怎樣進行數學建模是學習、**研究數學建模的重要途徑。顯然，通過例項來介紹數學模型的運用，通過例項來介紹怎樣進行數學建模，說明如何分清實際問題的主要因素和次要因素，恰當地拋棄次要因素，提出合理的假設，建立相應的數學模型，然後將所得解與實際問題比較，進一步修改、完善模型，使用問題得到塞滿的解決。
這樣的建模學習可以使讀者清楚地認識到：數學建模就是有力的內驅力，又是數學應用研究的重要方面，也是「做數學」的實際行動。宋代詩人陸游講得好：
「紙上得來終覺線，絕知此事要躬行。」學習與研究數學建模也是如此。
1 理解數學建模的意義
1.1 什麼是數學建模？
在數學的教與學中，一般是側重於學習、研究別人給我們建立的乙個個數學模型和怎樣建立數學模型的思想方法。研究別人做成的現成的數學模型是一種被動的活動，與自己構建數學模型是完全不同的。在研究他人的模型時，我們關心的僅僅是如何引入、運用數學模型，如何運用數學的方法和技巧從已知的數學模型中推導出問題的答案。
在數學教學中，這種練習無疑是非常重要的，它不僅有助於說明數學模型的作用，而且有助於增強學習的動機。在數學的教與學中，為了拓寬學習者的思路，提高學習者的解題能力，貫通各種知識，強調問題別解，例如代數問題的幾何解法，幾何問題的三角解法、複數解法等等，這都是對數學模型的一些運用。將原問題化歸到某一數學模型上或引入某一模型加以解，這是一種非常有效的數學模型的運用。
誠然在數學模型的運用中，可以滲透並啟引數學建模的初步思想，但是，這種運用和練習並不能展現數學建模的簡化假設等過程，因而我們只能說這是數學建模的啟蒙或入門。
為了提高學習者應用數學的能力，並訓練思維，在中學數學教材中編排了不少應用題。有些人認為做這些應用題就是一種數學建模的訓練。誠然，應用題的訓練確能提高數學建模能力，因為它有乙個從具體問題到數學問題的抽象、歸納過程，而且其中不乏來自於實際的應用題。
但是決不能在這種應用題與數學建模之間劃等號。因為很多應用題（特別是課本中的應用題）的條件僅是數學假設，不可能是實際問題的簡化假設。
在現實中，能夠直接運用數學方法解決實際問題的情形是很少見的。恰恰相反，對於面臨的實際問題人們往往難以表述為數學形式，甚至不知道應當從何處入手。這裡，主要的困難在於如何從初看起來雜亂無章的現象中抽象出恰當的數學問題，並確定出問題的答案。
在日常生活中，到處都會遇到數學問題，就看我們是否留心觀察和善於聯想。例如，坐計程車是生活中常見的事情，同時計程車計費所涉及的知識主要是高一所學的函式知識，因此計程車計費不失為乙個很好的進行數學建模教學的問題。在人教社b版必修1中給出了這樣的問題（見教材第68頁），「某市一種計程車標價為1.
2元/km，但事實上的收費標準如下：開始4km內不管車行駛路程多少，均收費10元（即起步費），4km後到15km之間，每公里收費1.2元，15km後每公里再加收50%，即每公里1.
8元。試寫出收費金額與打車路程之間的函式關係（其他因素產生的費用不計）」。教材中的問題不能說是乙個嚴格的數學建模問題，而只是乙個數學應用題，我們可把這個問題處理成乙個婁科學實驗建模問題，可在課堂教學中進行實踐。
下面，我們介紹乙個建模問題：人口**問題
（1）問題的背景與提出（建模準備）
眾所周知，人口是乙個現實問題，它對於乙個國家或地區來說，是乙個相當重要的因素，它可以對國家經濟發展計畫的制定、公共設施（如學校、醫院等）的設定等重大問題有所制約，因此對人口數量進行**很有必要。早在18世紀，英國經濟學家馬爾薩斯（malthus）通過分析一百多年的人口資料，就提出了一種人口增長的理論，並且提出人口增長能夠用數學方法來模擬**，從此以後，對人口數量進行**就成為各國政治家、科學家關注的焦點。顯然，現在的人口**情形更加複雜，因為各國採取了各種不同的干預人口控制的政策。
下面，給出歷史上乙個經典的人口**模型建立的例子：某地區從2023年到2023年的人口（單位：百萬）資料資料是：
2023年人口3.929，2023年人口5.308，2023年人口7.24；
2023年人口9.638，2023年人口12.866，2023年人口17.069；
2023年人口23.192，2023年人口31.443，2023年人口38.558；
2023年人口50.156，2023年人口62.948，2023年人口75.995；
2023年人口91.972，2023年人口105.711，2023年人口122.775；
2023年人口131.669，2023年人口150.697。
利用上述資料**該地區2023年、2023年的人口數。
（2）假設化簡
（i）因為人類可以看做一種特殊的生物種群，因此，這裡假設該地區人口為乙個與外界隔絕的、封閉的種群。
這條假設可以這樣來理解，該地區的人口增長數是由其該地區人口的生育、死亡所引起的，與外界移民無關。當然如果遷移到該地區的人口與遷出該地區的人口數相等，也可以看做為滿足這條假設。
（ii）該地區的人口數量是時間的連續函式。
這條假設可以這樣來理解，該地區的人口數變化是連續的，不出現間斷式的增長或減少。
（iii）該地區人口的每乙個個體都是相同的。
這條假設可以這樣來理解，該地區的每乙個人具有相同的生育能力與死亡條件。
（iv）該地區的人類生存資源豐富，政治、社會、經濟環境穩定。
這條假設其實是前三條假設的總前提。
（3）建模與求解
基於上述四條假設，我們認為人口數量是時間的函式。
建模的思路就是根據給出的資料資料繪出的散點圖（圖略），尋找一條直線（或曲線），使它們盡量與這些散點相吻合，從而近似地認為這條直線（或曲線）描述了人口增長的規律，進而作出**。
記時間為時刻的人口數為。
模型1 觀察散點圖，可以發現從2023年後，散點近似在一條直線上，於是過（1990，75.995），（1920，105.711）兩點作直線
即從而得到2023年，2023年的人口**數分別為
p（1980）=194.859（百萬），p（2000）=224.575（百萬）
模型2 由從散點圖的整體趨勢來看，可以認為散點近似在一條關於軸對稱的拋物線上，於是過（1790，3.929），（1890，62.948）的拋物線方程為
從而得到2023年，2023年的人口**分別為
p（1980）=216.919（百萬），p（2000）=264.019（百萬）
模型3 從圖中看來，有些點既不在模型1的直線上，也不在模型2的拋物線上，例如點（1940，131.669）和（1950，150.697），它們即為，而這兩點離我們的**時間2023年最近，為充分利用這兩點的資訊，可以採用分段函式來描述，當時，採用模型2的拋物線，當930時，採用過（1940，131.
669）和（1950，150.697）的直線。
從而得到2023年，2023年的人口**數分別為
p（1980）=207.781（百萬），p（2000）=245.837（百萬）
模型4 觀察散點圖的整體趨勢，可以認為散點近似在一條指數曲線上，又因為1940，1950這兩年離2023年最近，於是過（1940，131.669）和（1950，150.697）的指數曲線方程
從而得到2023年，2023年的人口**數分別為
p（1980）=226.02（百萬），p（2000）=305.22（百萬）
（4）模型的檢驗與分析
在上述四個模型中，由於使用的方法不同，得到的結論也各不相同。實際上該地區2023年的人口數為227百萬，其中以模型2，模型4的結果最接近，其誤差只是4.4%和0.
43%。對於2023年的人口**模型2或4的結果也比較接近些。
從上例可以看到，一般地說，建模過程基本上按照上述步驟或迴圈往復地通過這些步驟。但是，這並不意味著，建模過程總是按照上述次序或者迴圈往復通過這些步驟。有時建模過程會十分複雜，上述步驟也往往相互交融，模型形式也不是唯一的。
上述問題的解決，具體地說明了數學建模這一過程，我們也可以用下面的框圖更清晰地說明數學建模這一過程：
因此，我們有如下的
定義：數學建模就是上述框圖（流程圖）的多次迴圈執行的過程。
對於上述框圖還作如下幾點說明：
（1）實際問題往往是極為複雜的，因而只能抓住主要的方面來首先進行定量研究，這正是抽象和簡化的過程。正確的抽象和簡化也往往不是一次能夠完成的。例如哥白尼（kepler）和牛頓（newton）發現的萬有引力定律正是把星球、物體簡化成沒有大小而只有質量的質點，再應用物理規律和數學推導而得到的，而萬有引力定律正是發射衛生、宇宙飛船（登月飛船）等空間飛行器的重要依據（當然在真正設計、研究宇宙飛船及飛行軌道時必須考慮其質量、形狀結構等因素，從而必須研究修正的數學模型）。
變數和引數的確定不僅重要，往往也是複雜和困難的。
（2）應用某種「規律」建立變數、引數間的明確數學關係。這裡的「規律」可以是人們熟知的物理學或其他學科的定律，例如牛頓第二定律、能量守恆定律等等，也可以是實驗規律等。這裡說的明確的數學關係可以是等式、不等式及其組合的形式，甚至可以是乙個明確的演算法，在這
一、二兩個分過程中能用數學語言把實際問題的諸多方面（關係）「翻譯」成數學問題是極為重要的。
（3）框圖中形成的許多數學模型往往是很複雜、很難的，許多模型的求解對數學提出了很多挑戰性，能推動數學發展的問題。所以，當不能解析地（完全地）解決時，就先考慮近似求解，它常常包含兩方面的含義：數值近似求解或從工程、物理上進一步對模型作簡化（例如忽略高階量等等手段），使得解析或數值求解成為可能。
這樣做本質上是改變了問題，有可能得到的不是原問題的解。因而怎樣才能做到正確的近似需要很強的洞察力，從這裡也可以看出整個數學建模過程往往是多次迴圈執行的過程就不足為怪了。
（4）數學建模的重要性主要在於通過建模對各種實際問題獲得深刻的認識，在此基礎上才能解決問題。而數學的求解往往是用非數學家不易了解的數學語言、公式等表示的，因而把它們「翻譯」成與實際問題有關的物理、化學或生物學等的語言，甚至是平常人能懂的語言是極為重要的，只有這樣才有可能讓有關領域的專家來判定是否獲得了深刻的認識。建模是否正確還必須驗證（常常是用實驗、現場測試或歷史記錄來驗證），通過驗證的才能付之使用，因而解釋和驗證是必不可少的。
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