第二章經典單方程計量經濟學模型：一元線性回歸模型
一、內容提要
本章介紹了回歸分析的基本思想與基本方法。首先，本章從總體回歸模型與總體回歸函式、樣本回歸模型與樣本回歸函式這兩組概念開始，建立了回歸分析的基本思想。總體回歸函式是對總體變數間關係的定量表述，由總體回歸模型在若干基本假設下得到，但它只是建立在理論之上，在現實中只能先從總體中抽取乙個樣本，獲得樣本回歸函式，並用它對總體回歸函式做出統計推斷。
本章的乙個重點是如何獲取線性的樣本回歸函式，主要涉及到普通最小二乘法（ols）的學習與掌握。同時，也介紹了極大似然估計法（ml）以及矩估計法（mm）。
本章的另乙個重點是對樣本回歸函式能否代表總體回歸函式進行統計推斷，即進行所謂的統計檢驗。統計檢驗包括兩個方面，一是先檢驗樣本回歸函式與樣本點的「擬合優度」，第二是檢驗樣本回歸函式與總體回歸函式的「接近」程度。後者又包括兩個層次：
第一，檢驗解釋變數對被解釋變數是否存在著顯著的線性影響關係，通過變數的t檢驗完成；第二，檢驗回歸函式與總體回歸函式的「接近」程度，通過引數估計值的「區間檢驗」完成。
本章還有三方面的內容不容忽視。其一，若干基本假設。。其二，引數估計量統計性質的分析，包括小樣本性質與大樣本性質，尤其是無偏性、有效性與一致性構成了對樣本估計量優劣的最主要的衡量準則。
goss-markov定理表明ols估計量是最佳線性無偏估計量。其三，運用樣本回歸函式進行**，包括被解釋變數條件均值與個值的**，以及**置信區間的計算及其變化特徵。
二、典型例題分析
例1、令kids表示一名婦女生育孩子的數目，educ表示該婦女接受過教育的年數。生育率對教育年數的簡單回歸模型為
（1）隨機擾動項包含什麼樣的因素？它們可能與教育水平相關嗎？
（2）上述簡單回歸分析能夠揭示教育對生育率在其他條件不變下的影響嗎？請解釋。
解答：（1）收入、年齡、家庭狀況、**的相關政策等也是影響生育率的重要的因素，在上述簡單回歸模型中，它們被包含在了隨機擾動項之中。有些因素可能與增長率水平相關，如收入水平與教育水平往往呈正相關、年齡大小與教育水平呈負相關等。
（2）當歸結在隨機擾動項中的重要影響因素與模型中的教育水平educ相關時，上述回歸模型不能夠揭示教育對生育率在其他條件不變下的影響，因為這時出現解釋變數與隨機擾動項相關的情形，基本假設4不滿足。
例2．已知回歸模型，式中e為某類公司一名新員工的起始薪金（元），n為所受教育水平（年）。隨機擾動項的分布未知，其他所有假設都滿足。
（1）從直觀及經濟角度解釋和。
（2）ols估計量和滿足線性性、無偏性及有效性嗎？簡單陳述理由。
（3）對引數的假設檢驗還能進行嗎？簡單陳述理由。
解答：（1）為接受過n年教育的員工的總體平均起始薪金。當n為零時，平均薪金為，因此表示沒有接受過教育員工的平均起始薪金。
是每單位n變化所引起的e的變化，即表示每多接受一年學校教育所對應的薪金增加值。
（2）ols估計量和仍滿足線性性、無偏性及有效性，因為這些性質的的成立無需隨機擾動項的正態分佈假設。
（3）如果的分布未知，則所有的假設檢驗都是無效的。因為t檢驗與f檢驗是建立在的正態分佈假設之上的。
例3、在例2中，如果被解釋變數新員工起始薪金的計量單位由元改為100元，估計的截距項與斜率項有無變化？如果解釋變數所受教育水平的度量單位由年改為月，估計的截距項與斜率項有無變化？
解答：首先考察被解釋變數度量單位變化的情形。以e*表示以百元為度量單位的薪金，則
由此有如下新模型
或這裡，。所以新的回歸係數將為原始模型回歸係數的1/100。
再考慮解釋變數度量單位變化的情形。設n*為用月份表示的新員工受教育的時間長度，則n*=12n，於是
或可見，估計的截距項不變，而斜率項將為原回歸係數的1/12。
例4、對沒有截距項的一元回歸模型
稱之為過原點回歸（regrission through the origin）。試證明
（1）如果通過相應的樣本回歸模型可得到通常的的正規方程組
則可以得到的兩個不同的估計值：，。
2）在基本假設下，與均為無偏估計量。
3）擬合線通常不會經過均值點，但擬合線則相反。
4）只有是的ols估計量。
解答：（1）由第乙個正規方程得
或求解得
由第2個下規方程得
求解得（2）對於，求期望
這裡用到了的非隨機性。
對於，求期望
（3）要想擬合值通過點，必須等於。但，通常不等於。這就意味著點不太可能位於直線上。
相反地，由於，所以直線經過點。
（4）ols方法要求殘差平方和最小
min關於求偏導得
即可見是ols估計量。
例5．假設模型為。給定個觀察值，，…按如下步驟建立的乙個估計量：在散點圖上把第1個點和第2個點連線起來並計算該直線的斜率；同理繼續，最終將第1個點和最後乙個點連線起來並計算該條線的斜率；最後對這些斜率取平均值，稱之為，即的估計值。
（1）畫出散點圖，給出的幾何表示並推出代數表示式。
（2）計算的期望值並對所做假設進行陳述。這個估計值是有偏的還是無偏的？解釋理由。
（3）證明為什麼該估計值不如我們以前用ols方法所獲得的估計值，並做具體解釋。
解答：（1）散點圖如下圖所示。
x2,y2）
xn,yn）
x1,y1）
首先計算每條直線的斜率並求平均斜率。連線和的直線斜率為。由於共有－1條這樣的直線，因此
（2）因為x非隨機且，因此
這意味著求和中的每一項都有期望值，所以平均值也會有同樣的期望值，則表明是無偏的。
（3）根據高斯－馬爾可夫定理，只有的ols估計量是最付佳線性無偏估計量，因此，這裡得到的的有效性不如的ols估計量，所以較差。
例6．對於人均存款與人均收入之間的關係式使用美國36年的年度資料得如下估計模型，括號內為標準差：
（1）的經濟解釋是什麼？
（2）和的符號是什麼？為什麼？實際的符號與你的直覺一致嗎？如果有衝突的話，你可以給出可能的原因嗎？
（3）對於擬合優度你有什麼看法嗎？
（4）檢驗是否每乙個回歸係數都與零顯著不同（在1%水平下）。同時對零假設和備擇假設、檢驗統計值、其分布和自由度以及拒絕零假設的標準進行陳述。你的結論是什麼？
解答： 1）為收入的邊際儲蓄傾向，表示人均收入每增加1美元時人均儲蓄的預期平均變化量。
2）由於收入為零時，家庭仍會有支出，可預期零收入時的平均儲蓄為負，因此符號應為負。儲蓄是收入的一部分，且會隨著收入的增加而增加，因此預期的符號為正。實際的回歸式中，的符號為正，與預期的一致。
但截距項為負，與預期不符。這可能與由於模型的錯誤設定形造成的。如家庭的人口數可能影響家庭的儲蓄形為，省略該變數將對截距項的估計產生影響；另一種可能就是線性設定可能不正確。
3）擬合優度刻畫解釋變數對被解釋變數變化的解釋能力。模型中53.8%的擬合優度，表明收入的變化可以解釋儲蓄中53.8 %的變動。
（4）檢驗單個引數採用t檢驗，零假設為引數為零，備擇假設為引數不為零。雙變數情形下在零假設下t 分布的自由度為n-2=36-2=34。由t分布表知，雙側1%下的臨界值位於2.
750與2.704之間。斜率項計算的t值為0.
067/0.011=6.09，截距項計算的t值為384.
105/151.105=2.54。
可見斜率項計算的t 值大於臨界值，截距項小於臨界值，因此拒絕斜率項為零的假設，但不拒絕截距項為零的假設。
三、習題
（一）基本知識類題型
2-1．解釋下列概念：
1) 總體回歸函式
2) 樣本回歸函式
3) 隨機的總體回歸函式
4) 線性回歸模型
5) 隨機誤差項（ui）和殘差項（ei）
6) 條件期望
7) 非條件期望
8) 回歸係數或回歸引數
9) 回歸係數的估計量
10) 最小平方法
11) 最大似然法
12) 估計量的標準差
13) 總離差平方和
14) 回歸平方和
15) 殘差平方和
16) 協方差
17) 擬合優度檢驗
18) t檢驗
19) f檢驗
2-2．判斷正誤並說明理由：
1) 隨機誤差項ui和殘差項ei是一回事
2) 總體回歸函式給出了對應於每乙個自變數的因變數的值
3) 線性回歸模型意味著變數是線性的
4) **性回歸模型中，解釋變數是原因，被解釋變數是結果
5) 隨機變數的條件均值與非條件均值是一回事
2-3．回答下列問題：
1) 線性回歸模型有哪些基本假設？違背基本假設的計量經濟學模型是否就不可估計？
2) 總體方差與引數估計誤差的區別與聯絡。
3) 隨機誤差項ui和殘差項ei的區別與聯絡。
4) 根據最小二乘原理，所估計的模型已經使得擬合誤差達到最小，為什麼還要討論模型的擬合優度問題？
5) 為什麼用決定係數r2評價擬合優度，而不用殘差平方和作為評價標準？
6) r2檢驗與f檢驗的區別與聯絡。
7) 回歸分析與相關分析的區別與聯絡。
8) 最小二乘法和最大似然法的基本原理各是什麼？說明它們有何區別？
9) 為什麼要進行解釋變數的顯著性檢驗？
10) 是否任何兩個變數之間的關係，都可以用兩變數線性回歸模型進行分析？
2-2．下列方程哪些是正確的？哪些是錯誤的？為什麼？
其中帶「＾」者表示「估計值」。
2-3．下表列出若干對自變數與因變數。對每一對變數，你認為它們之間的關係如何？是正的、負的、還是無法確定？並說明理由。
（二）基本證明與問答類題型
2-4．對於一元線性回歸模型，試證明：
2-5．引數估計量的無偏性和有效性的含義是什麼？從引數估計量的無偏性和有效性證明過程說明，為什麼說滿足基本假設的計量經濟學模型的普通最小二乘引數估計量才具有無偏性和有效性？
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計量經濟學第二講vvv
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