-精品系列資料
第1頁共1頁
精品系列資料
高中數學巧學巧解大全
第一部分高中數學活題巧解方法總論
一、代入法
若動點依賴於另一動點而運動，而點的軌跡方程已知（也可能易於求得）且可建立關係式，，
高中數學巧學巧解大全
第一部分高中數學活題巧解方法總論
一、代入法
若動點依賴於另一動點而運動，而點的軌跡方程已知（也可能易於求得）且可建立關係式，，於是將這個點的座標表示式代入已知（或求得）曲線的方程，化簡後即得點的軌跡方程，這種方法稱為代入法，又稱轉移法或相關點法。
【例1】（2023年高考廣東卷）已知曲線：與直線：交於兩點和，且，記曲線c在點a和點b之間那一段l與線段ab所圍成的平面區域（含邊界）為d.
設點是l上的任一點，且點p與點a和點b均不重合.若點q是線段ab的中點，試求線段pq的中點m的軌跡方程；
【巧解】聯立與得，則中點，
設線段的中點座標為，則，
即，又點在曲線上，
∴化簡可得，又點是上的任一點，
且不與點和點重合，則，即，
∴中點的軌跡方程為（）.
【例2】（2023年，江西卷）設在直線上，過點作雙曲線的兩條切線、，切點為、，定點m。 過點a作直線的垂線，垂足為n，試求的重心g所在的曲線方程。
【巧解】設，由已知得到，且，，（1）垂線的方程為：，
由得垂足，設重心
所以解得
由可得即為重心所在曲線方程
巧練一：（2023年，江西卷）如圖，設拋物線的焦點為f，動點p在直線上運動，過p作拋物線c的兩條切線pa、pb，且與拋物線c分別相切於a、b兩點.，求△apb的重心g的軌跡方程.
巧練二：（2023年，全國i卷）在平面直角座標系中，有乙個以和為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的部分為曲線c，動點p在c上，c在點p處的切線與x、y軸的交點分別為a、b，且向量，求點m的軌跡方程
二、直接法
直接從題設的條件出發，利用已知條件、相關公式、公理、定理、法則通過準確的運算、嚴謹的推理、合理的驗證得出正確的結論，從而確定選擇支的方法叫直接法。從近幾年全國各地的高考數學試題來看，絕大大部分選擇題的解答用的是此法。但解題時也要「盯住選項特點」靈活做題，一邊計算，一邊對選項進行分析、驗證，或在選項中取值帶入題設計算，驗證、篩選而迅速確定答案。
【例1】（2023年高考全國ii卷）已知雙曲線的右焦點為f，過f且斜率為的直線交c於a、b兩點。若，則c的離心率為（ ）
（a） （b） （c） （d）
【巧解】設，，，由，得
∴，設過點斜率為的直線方程為，
由消去得：，
∴ ， 將代入得化簡得
，∴，化簡得：，∴，，即。
故本題選（a）
【例2】（2023年，四川卷）設定義在上的函式滿足，若
，則（ ）
（a）13 （b）2 （c） （d）
【巧解】∵，∴
∴函式為週期函式，且，∴
故選（c）
巧練一：（2023年，湖北卷）若上是減函式，則b的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
巧練二：（2023年，湖南卷）長方體abcd—a1b1c1d1的8個頂點在同乙個球面上，且ab=2，ad=aa1=1，則頂點a、b間的球面距離是（ ）
a． b． c． d．
三、定義法
所謂定義法，就是直接用數學定**題。選擇題的命題側重於對圓錐曲線定義的考查，凡題目中涉及焦半徑、通徑、準線、離心率及離心率的取值範圍等問題，用圓錐曲線的第一和第二定**題，是一種重要的解題策略。
【例1】（2023年高考福建卷，理13）過拋物線的焦點f作傾斜角為450的直線交拋物線於a、b兩點，線段ab的長為8，則 ．
【巧解】依題意直線的方程為，由消去得：
，設，，∴，根據拋物線的定義。
，，∴，∴，
故本題應填2。
【例2】（2023年，山東卷，理10）設橢圓c1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26. 若曲線c2上的點到橢圓c1的兩個焦點的距離的差的絕對值等於8，則曲線c2的標準方程為（ ）
（ab）
（cd）
【巧解】由題意橢圓的半焦距為，雙曲線上的點滿足 ∴點的軌跡是雙曲線，其中，，∴，故雙曲線方程為，∴選（a）
巧練一：（2023年，陝西卷）雙曲線的左、右焦點分別是f1，f2，過f1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支於m點，若mf2垂直於x軸，則雙曲線的離心率為（ ）
a． b． c． d．
巧練二：（2023年，遼寧卷）已知點p是拋物線上的乙個動點，則點p到點（0，2）的距離與p到該拋物線準線的距離之和的最小值為（ ）
（a） （b）3 （c） （d）
四、向量座標法
向量座標法是一種重要的數學思想方法，通過座標化，把長度之間的關係轉化成座標之間的關係，使問題易於解決，並從一定程度上揭示了問題的數學本質。在解題實踐中若能做到多用、巧用和活用，則可源源不斷地開發出自己的解題智慧型，必能收到事半功倍的效果。
【例1】（2023年，廣東卷）在平行四邊形abcd中，ac與bd交於點o，e是線段od的中點，ae的延長線與cd交於點f. 若=a，=b，則=（ ）
a．a +b b．a +b c．a +b d．a +b
【巧解】如圖所示，選取邊長為2的正方形
則，，，，，
∴直線的方程為，聯立得
∴，設，則
∴解之得，，∴，故本題選b
【例2】已知點為內一點，且0，則、、的面積之比等於
a．9：4：1 b．1：4：9 c．3：2：1 d．1：2：3
【巧解】不妨設為等腰三角形，
，建立如圖所示的直角座標系，則點
，，設，
∵0，即
∴解之得，，即，又直線的方程為，則點到直線的距離，∵，因此，，，故選c
巧練一：（2023年，湖南卷）設d、e、f分別是△abc的三邊bc、ca、ab上的點，且（ ）
a．反向平行 b．同向平行 c．互相垂直 d．既不平行也不垂直
巧練二：設是內部一點，且，則與面積之比是
五、查字典法
查字典是大家比較熟悉的，我們用類似「查字典」的方法來解決數字排列問題中數字比較大小的問題，避免了用分類討論法時容易犯的重複和遺漏的錯誤，給人以「神來之法」的味道。利用「查字典法」解決數字比較大小的排列問題的思路是「按位逐步討論法」（從最高位到個位），查首位時只考慮首位應滿足題目條件的情況；查前「2」位時只考慮前「２」位中第「2」個數應滿足條件的情況；依次逐步討論，但解題中既要注意數字不能重複，又要有充分的理論準備，如奇、偶問題，3的倍數和5的倍數的特徵，0的特性等等。以免考慮不全而出錯。
【例1】（2023年，四川卷）用數字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重複數字，並且比20000大的五位偶數共有（ ）
（a）288個 （b）240個 （c）144個 （d）126個
【巧解】本題只需查首位，可分3種情況，① 個位為0，即型，首位是2，3，4，5中的任乙個，此時個數為； ②個位為2，即， 此種情況考慮到萬位上不為0，則萬位上只能排3，4，5，所以個數為；③個位為4， 型，此種特點考慮到萬位上不為0，則萬位上只能排2，3，5，所以個數為；故共有個。故選（b）
【例2】（2023年全國ii卷）在由數字1，2，3，4，5組成的所有沒有重複數字的5位數中，大於23145且小於43521的數共有
a．56個 b．57個 c．58個 d．60個
【巧解】（1）查首位：只考慮首位大於2小於4的數，僅有1種情況：即型，此特點只需其它數進行全排列即可。有種，
（2）查前２位：只考慮前「２」位中比３既大又小的數，有4種情況：
，，，型，而每種情況均有種滿足條件，故共有種。
（3）查前３位：只考慮前「3」位中既比１大又小於5的數，有4種情況：
，，，型，而每種情況均有種滿足條件，故共有種。
（3）查前4位：只考慮前「4」位中既比4大又小於2的數，此種情況只有
23154和43512兩種情況滿足條件。故共有個，故選c
巧練一：用數字可以組成沒有重複數字，並且不大於4310的四位偶數共有（ ）
a．110種 b．109種 c．108種 d．107種
巧練二：（2023年，四川卷）用數字1,2,3,4,5可以組成沒有重複數字,並且比20000大的五位偶數共有（ ）
（a）48個 （b）36個 （c）24個 （d）18個
六、擋板模型法
擋板模型法是在解決排列組合應用問題中，對一些不易理解且複雜的排列組合問題，當元素相同時，可以通過設計乙個擋板模型巧妙解決，否則，如果分類討論，往往費時費力，同時也難以解決問題。
高中數學如何學
高中數學普遍被認為是高中所有學科中的難點，許多小學，初中數學學習成績的佼佼者，進入高中階段，第乙個跟斗就栽在數學上。究其原因，是由於和初中數學相比，高中數學內容多，抽象性 理論性強，因此不少同學進入高中之後學習數學感到很困難，這就使一些初中數學學得還不錯的同學不能很快地適應而容易失去對數學學習的興趣...
高中數學公式大全
高中數學常用公式及常用結論 1.元素與集合的關係 3.包含關係 4 集合的子集個數共有個 真子集有 1個 非空子集有 1個 非空的真子集有 2個.5.二次函式的解析式的三種形式 1 一般式 2 頂點式 3 零點式.10.一元二次方程的實根分布 依據 若，則方程在區間內至少有乙個實根 設，則 1 方程...
高中數學之公式大全
高中數學常用公式 1.元素與集合的關係 3.包含關係 4.容斥原理 5 集合的子集個數共有個 真子集有 1個 非空子集有 1個 非空的真子集有 2個.6.二次函式的解析式的三種形式 1 一般式 2 頂點式 3 零點式.7.解連不等式常有以下轉化形式 8.方程在上有且只有乙個實根,與不等價,前者是後者...