齊奧爾科夫斯基公式

2023-02-10 08:39:04 字數 5203 閱讀 6652

星際旅行

一. 從凡爾納 「超級大炮」 談起

火箭理論的先驅者、 **科學家齊奧爾科夫斯基 (k. e. tsiolkovsky 1857-1935) 有一句名言:

「地球是人類的搖籃。 但人類不會永遠躺在搖籃裡, 他們會不斷探索新的天體和空間。 人類首先將小心翼翼地穿過大氣層, 然後再去征服太陽周圍的整個空間」。

邁向星空是一條漫長的征途。 迄今為止, 人類在這條征途上走過的路程幾乎恰好就是 「征服太陽周圍的整個空間」, 而在這征途上的第一步也正是 「穿過大氣層」。

在人類發射的太空飛行器中數量最多的就是那些剛剛 「穿過大氣層」 的太空飛行器 - 人造地球衛星。 人類迄今發射的人造地球衛星有幾千顆, 明年的十月四日就是第一顆衛星 (前蘇聯拜克努爾發射場發射) 公升空五十周年的紀念日。 除人造地球衛星外, 人類還發射過許多其它太空飛行器。

所有這些太空飛行器, 都是直接或間接通過火箭發射公升空的。

我們知道, 為了克服地球的引力, 太空飛行器必須達到很高的速度。 在二十世紀以前的各種技術中, 槍炮子彈所達到的速度是最高的, 因此在早期的科幻**中, 人們很自然地想到用所謂的 「超級大炮」 來發射載人太空飛行器。 其中最著名的是法國科幻**家凡爾納 (j.

g. verne 1828-1905) 發表於一八六六年的**《從地球到月球》(from the earth to the moon)。 在這部**中, 凡爾納讓三位太空飛行員擠在一枚與 「神舟號」 飛船的軌道艙差不多大的特製的 「炮彈」 中, 用一門炮管長達九百英呎 (約三百公尺) 的超級大炮發射到月球上去 (不過 「炮彈」 沒能擊中月球, 而成為了環繞月球執行的衛星)。

但是凡爾納雖然有非凡的想象力, 卻缺乏必要的物理學及生理學知識。 簡單的計算表明, 他所設想的超級大炮若真的能在三百公尺長的炮管內把 「炮彈」 加速到能夠飛向月球的速度 - 即所謂的第二宇宙速度 (約為 11.2 公里/秒), 則 「炮彈」 在炮管內的平均加速度必須達到 200000 公尺/秒2 以上, 這相當於地球表面重力加速度的兩萬倍以上。

另一方面, 脆弱的人體所能承受的最大加速度只有不到地球表面重力加速度的十倍。 這兩者的差距無疑是災難性的。 因此凡爾納的 「炮彈」 雖然製作精良, 乘坐起來卻一點也不會舒適。

不僅不會舒適, 且有性命之虞。 事實上, 英勇的太空飛行員們在 「炮彈」 出膛時早就變成了肉餅, 「炮彈」 最後有沒有擊中月球, 對他們來說已經不再重要了。 倘若 「炮彈」 真的擊中月球的話, 其著陸方式屬於所謂的 「硬著陸」, 就象隕石撞擊地球一樣, 著陸時的速度差不多就是月球上的第二宇宙速度 (約為 2.

4 公里/秒), 這樣的速度相當於在地球上從比珠穆朗瑪峰還高三十倍的山峰上摔到地面時的速度, 這無疑是要把肉餅進一步摔成肉醬。

因此, 對於發射太空飛行器 (尤其是載人太空飛行器) 來說, 很重要的一點就是太空飛行器的加速過程必須發生在乙個較長的時間裡 (減速過程也一樣)。 但是加速過程持續的時間越長, 在加速過程中太空飛行器所飛越的距離也就越大。 以凡爾納的超級大炮為例, 倘若要求炮彈的加速度在人體肌體所能承受的安全範圍之內 (即小於地球表面重力加速度的十倍), 則 「炮彈」 的加速過程必須持續一百秒以上, 在這段時間內 「炮彈」 的飛行距離約在五百公里以上。

「炮彈」 越舒適 (即加速度越小), 這段距離就越大。 由於 「炮彈」 本身沒有動力, 因此這段距離必須都在炮管內。 這就是說, 凡爾納超級大炮的炮管起碼要有 500 公里長!

顯然, 建造這樣規模的大炮是極其困難的, 別說凡爾納時代的技術無法辦到, 即使在今天也是申請不到經費的。 因此太空飛行器的發射必須採用與凡爾納大炮完全不同的技術手段。

火箭就是這樣的一種技術手段。

二. 齊奧爾科夫斯基公式

火箭是一種通過向後噴射物質而前進的飛行器。 從物理學上講, 這種飛行器所利用的是反衝原理, 或者說是動量守恆定律。 十九世紀末, 齊奧爾科夫斯基對火箭的飛行動力學進行了研究, 並於一九零三年 - 萊特兄弟 (the wright brothers) 在同年發明了飛機 - 公開發表了我們現在稱之為齊奧爾科夫斯基公式的著名公式 (新近發現的一些史料表明, 英國皇家軍事科學院的科學家早在一八一三年就出於軍事目的做過類似研究, 但他們的結果沒有公開發表)。

這一公式的形式非常簡單:

v = u ln(mi/mf)

這裡 mi 與 mf 分別為火箭的初始質量及推進過程完成後的末態質量 (顯然 mi>mf)。 從齊奧爾科夫斯基公式中我們可以看到乙個重要的特點, 那就是火箭所能達到的速度可以高於噴射物的噴射速度。 這一點之所以重要, 是因為它表明我們可以通過較低的噴射速度來達到太空飛行器所需要的高速度, 這在技術上要遠比直接達到高速度來得容易。

從某種意義上講, 凡爾納的超級大炮之所以沒能成功, 正是因為它試圖直接達到太空飛行器所需要的高速度。

但是火箭雖然能夠達到比噴射物噴射速度更高的速度, 但為此付出的代價卻也不小。 因為火箭所要達到的速度 v 越高, 其初始質量與推進過程完成後的質量之比 mi/mf 就必須越大, 從而火箭的有效載荷 (mf 的一部分) 就必須越小。 這是齊奧爾科夫斯基公式的第二個重要特點。

最糟糕的是, 齊奧爾科夫斯基公式是乙個對數關係式, 這是增長極其緩慢的關係式, 它的出現表明燃料數量的增加 (即 mi/mf 的增加) 對速度增加所起的作用非常有限。 這一點極大地限制了火箭的運載效率。

那麼, 有沒有什麼辦法可以改善火箭的運載效率呢? 齊奧爾科夫斯基提出了多級火箭的設想。 多級火箭的好處, 是在每一級的燃料用盡後可以把該級的外殼拋棄, 從而減輕下一級所負載的質量。

不過, 多級火箭雖然有較高的運載效率, 但它在技術上的複雜性也較高。 因此在實際使用時, 人們往往在運載效率與技術複雜性之間作折中, **火箭就是最常見的折中結果。 即便使用多級火箭, 為了將幾噸的有效載荷送入近地軌道, 通常也需要發射質量為幾百噸的火箭 (比如發射 「神舟號」 飛船的長征二號 f 型火箭的發射質量約為四百八十噸, 近地軌道的有效載荷則為八噸左右)。

這種巨大的消耗, 使得航天發射的費用極其高昂。 如果你想到近地軌道上的國際空間站去遨遊一下的話, 大約要準備兩千萬美元的費用。

三. 接近光速

在人類目前的火箭技術還是相當初級的。 迄今為止最快的太空飛行器的速度也只有每秒幾十公里, 這樣的速度通常還是借助於太陽或其它行星的引力作用而達到的, 並不單純是火箭的功勞。 比方說一九七六年發射的 「太陽神二號」 (helios 2) 探測器在近日點的速度約為 67 公里/秒, 這一探測器有時被稱為是速度最快的太空飛行器。

它的速度就是借助於太陽的引力作用而達到的。 另一方面, 在人類迄今發射的太空飛行器中, 飛得最遠的也不過剛剛飛出冥王星軌道。 用星際空間的標準來衡量, 這是很微小的距離。

人類要想走得更遠, 必須要有更快的太空飛行器。

在齊奧爾科夫斯基公式中, 火箭的速度是沒有上限的。 通過提高噴射物的噴射速度, 以及增加火箭質量中噴射物所佔的比例, 火箭原則上可以達到任意高的速度。 但我們知道, 物體的運動速度不可能超過光速, 這是相對論的基本要求。

因此齊奧爾科夫斯基公式顯然不能隨意外推, 尤其是不能外推到火箭速度接近光速的情形。 那麼, 有沒有乙個比齊奧爾科夫斯基公式更普遍的公式, 在火箭運動速度接近光速時仍然成立呢?

答案是肯定的。 事實上, 這樣的公式也很簡單:

v = c tanh[(u/c) ln(mi/mf)]

這裡, c 表示光速, tanh 是雙曲正切函式, 其它變數的含義與傳統的齊奧爾科夫斯基公式相同。 這就是齊奧爾科夫斯基公式在相對論條件下的推廣。 對於低速運動的火箭, 這一公式會自動退化為齊奧爾科夫斯基公式。

由於雙曲正切函式在任何時候都小於 1, 因此由上述公式給出的速度在任何情況下都不會超過光速, 從而符合相對論的要求。

上述公式的乙個特例是噴射物的速度等於光速 (u=c), 即噴射物為光子 (或其它無質量粒子), 的情形。 這種火箭常常出現在科幻**中, 通常是以物質與反物質的湮滅作為動力**。 這是運載效率最高的火箭。

對於這種火箭來說, 如果其 90% 的質量轉化為能量作為動力, 它的速度可以達到光速的 99%。 顯然, 這樣的火箭既具有很高的運載效率, 又能達到普通火箭望塵莫及的速度, 是一種非常誘人的技術。 不過, 我們目前的技術距離這種火箭的研製還相差很遠。

四. 飛向深空

宇宙的浩瀚是星際旅行家們面臨的最基本的事實。 即使能夠達到接近光速的速度, 飛越恆星際空間所需的時間仍然是極其漫長的。 從地球出發, 飛到銀河系的中心約需要三萬年的時間, 飛到仙女座星雲 (m31 - 河外星系) 約需要二百二十萬年的時間, 而到室女座星系團 (virgo - 河外星系團) 則需要約六千萬年的時間 ...

... 相對於人類彈指一瞬的短暫生命來說, 這些時間顯然都太漫長了。 但是幸運的是, 所有這些時間都是在靜止參照系中測量的。

相對論中有乙個著名的時鐘延緩效應, 它表明運動參照系中的時間流逝會比靜止參照系中測量到的慢。 火箭的飛行速度越高, 這種時鐘延緩效應就越可觀, 太空飛行員所感受到的時間流逝也就越緩慢。 考慮到這個因素, 太空飛行員是不是有可能在自己的有生之年, 到銀河系的中心、 仙女座星雲、 甚至室女座星系團去旅行呢?

答案是肯定的。 我們考慮乙個非常簡單的情形, 即火箭始終處於勻加速過程之中 (不用說, 這種火箭耗費的能量將是極其驚人的, 不過這裡我們姑且把技術上的困難拋在一邊, 只討論理論上的可能性)。 同時, 我們把火箭的加速度選為與地球表面的重力加速度一樣 (這樣, 太空飛行員在飛船上感受到的重力環境就與地球表面一樣, 不會象我們在電視上看到的那樣在飛船內隨意飄盪), 並且假定火箭在後半程做減速運動 (這樣, 太空飛行員才能在目的地著陸)。

在這樣的飛行條件下, 如果飛行距離非常大 (遠遠大於一光年), 飛船上的時間流逝 t 與航程 s 之間的關係大致為:

t ≈ 2ln(s)

這裡時間以年為單位, 航程則以光年為單位。 這個公式與齊奧爾科夫斯基公式一樣, 也出現了以增長緩慢著稱的對數函式。 只不過, 在齊奧爾科夫斯基公式中, 對數函式的出現是一件不幸的事情, 因為它限制了火箭速度的增加, 從而限制了火箭的運載效率; 而在現在這個公式中, 對數函式的出現卻成了一件幸事, 因為它延緩了飛船上的時間流逝, 從而極大地擴充套件了太空飛行員在有生之年可以飛越的距離。

通過這個公式不難看到, 假如旅行的目的地是銀河系的中心, 即 s ≈ 30000 光年, 飛行時間約為二十年。 這就是說, 在太空飛行員看來, 僅僅二十年的時間, 他就可以到達銀河系的中心。 即使算上返航, 前後也只要四十年的時間。

這就是相對論的奇妙結論! 只不過, 當他回到地球時, 地球上的日曆已經翻過了整整六萬年, 他的孫子的孫子的孫子如果有的話) 都早已長眠於地下了。

同樣, 我們可以計算出到達仙女座星雲所需的時間約為二十九年; 到達室女座星系團所需的時間約為三十六年現在大家對於對數函式增長之緩慢應該會有乙個深刻的印象了吧?)。 假如乙個太空飛行員二十歲時坐上火箭出發, 如果他可以活到八十歲, 那麼在他的有生之年 (不考慮返航), 他可以到達十萬億光年遠的地方。

這個距離已經遠遠遠遠地超過了可觀測宇宙的範圍! 唯一的遺憾是, 他們只要走得稍遠一點, 我們就沒法分享他們的旅行見聞了。

雲計算方案 北京奧爾斯公司 1

ours cloud雲計算教學實驗系統 北京奧爾斯電子科技 第一章 雲計算基礎介紹 3 一 什麼是雲計算 3 二 雲計算的分類 3 三 雲計算的優勢 4 第二章 雲計算實驗室解決方案 4 一 產品簡述 4 二 產品硬體配置 4 三 產品軟體清單 6 四 實驗清單 7 五 按需制定 8 第三章 雲計算...