概率論及數理統計 章節總結 華南理工大學 2

2023-02-10 02:06:02 字數 3827 閱讀 7302

第3章隨機變數

3.1 隨機變數

1. 是隨機事件概念的數量化----根據試驗結果取值

例1 口袋中有六個球,依次標有數字:-1,2,2,2,3,3,從口袋中任取一球,問取到球的數字是多少?

用x表示被取到球的數字,那麼x是乙個變數,依賴於基本事件,稱為隨機變數。

隨機變數是基本事件的函式,自變數是基本事件,事件帶有隨機性。

2. 定義(隨機變數)

並不是定義在基本空間上的任何函式都可以作為隨機變數,而是要滿足一定的要求,這就是書本上的定義(p39)

定義稱定義在樣本空間ω上的實函式x=x(w), w∈ω,是隨機變數,如果對任意實數x有

分布函式的性質

(1)單調不減性。

若, 則.

(2)(3)左連續性。

對任意實數,有

3.3 離散型隨機變數

分布列滿足分布列的兩個條件:(1)

2) 與分布函式的關係

堂上作業:

用x表示例1中取到球的數字,求x的分布和分布函式

兩點分布:

退化分布:

3.4二項分布

1. 分布律

3-5)

如果隨機變數有上述的分布律,記為(服從二項概率分布)

2. 定理

在n重伯努力試驗中,事件a發生的次數在k1和k2之間的概率是

事件a至少發生1次的概率是

例3-3

已知發射一枚地對空飛彈可「擊中」來犯敵機的概率是0.96,問在同樣條件下需發射多少枚飛彈才能保證至少有一枚飛彈擊中敵機的概率大於0.999?

3. 最有可能的取值

(1)當(n+1)p恰為正整數,記為k0, 則同為二項分布概率的最大值;

(2)當(n+1)p不是整數時,記,則為二項分布概率的最大值。

例3-4 (漁佬問題)

設魚的總數為n, 漁老先從魚塘中撈起100條魚做上記號後放回魚塘,過一段時間在從魚塘裡撈出100條,發現其中2條魚有記號,請估計魚塘裡魚的總數n。

4.泊松分布

分布律可作為二項分布的近似,

例3-5 進貨量問題

由商店的銷售記錄知,某商品的月售量x服從λ= 10的泊松分布,為能以95%以上的概率保證不脫銷,問在無庫存的情況下月底應進貨多少?

例3-6 合作問題(維修裝置)

設有同類裝置80臺,各台工作是相互獨立的,發生故障的概率都是0.01,並且一台裝置的故障可由乙個人來處理,試求

(1)乙個人負責維修20臺裝置時,裝置發生故障而不能及時維修的概率?

(2)由三個人共同負責維修80臺裝置時,裝置發生故障而不能及時維修的概率?

解:(1)用x表示同一時刻發生故障的裝置數,。。。

(2)用y表示同一時刻發生故障的裝置數,。。

5.幾何分布

某人在一次考試中得5分的概率是p,x是第1次考取5分所需考試次數,求x的分布。

作業:p53 3-4, 3-7, 3-10, 3-12

三、(10分)某安檢系統檢查時,非危險人物過安檢被誤認為是危險人物的概率是0.02;而危險人物又被誤認為非危險人物的概率是0.05。假設過關人中有96%是非危險人物。問:

(1)在被檢查後認為是非危險人物而確實是非危險人物的概率?

(2)如果要求對危險人物的檢出率超過0.999概率,至少需安設多少道這樣的檢查關卡?

解:(1)設a={被查後認為是非危險人物}, b={過關的人是非危險人物},則

(2)設需要n道卡,每道檢查系統是相互獨立的,則

ci=,,所以

,,即=[3.0745]+1 = 4

3.4 一維連續型隨機變數

1.定義

當乙個隨機變數的分布函式可寫成「變上限積分」的形式:

時, 稱為連續型隨機變數,稱為的概率分布密度,簡稱密度函式。

2.幾何意義

3.定理 (分布函式性質)

(1)(2)分布函式的導函式(在連續點上)就是其密度, 即

4. 幾個結論

(1) 連續型隨機變數的分布函式是連續函式

(2) 若定義在(-∞,+∞)上的可積函式f(x)滿足f(x)≥0,

f(x)在(-∞,+∞)上的的積分等於1,

則可證明是乙個分布函式,f(x)是乙個分布密度。

(3) 連續型隨機變數取任一指定實數值的概率為0。

例 3-8 p47

設已知連續型隨機變數x的密度函式是

(1)確定a的值(根據分布函式性質確定常數)。

(2)求 x 的分布函式f(x) (根據分布密度求分布函式)。

(3)求概率. (計算概率)

5. 例驗證(均勻分布)p48

均勻分布的密度函式為

3.5 正態分佈

1. 定義

說明2. 正態分佈曲線的特點

(圖形特點)

the equation of the normal probability density, whose graph is shown in figure 4.3.1, is

3.標準正態分佈

4.計算服從正態分佈的隨機落在指定區間的概率

標準正態的計算

pp p

一般正態的計算

, we refer to the corresponding standardized random variable,

then.

應用例子:

p48例3-10

(1)先求「誤差絕對值超過19.6」的概率

(2)再求在100次獨立測量中,(1)發生的次數不少於3的概率

5.3規則

, find,

p=0.6826, p=0.9544, p=0.9974

堂上練習 p54, 21,

作業p54

16,18,19,20,22

指數分布

若乙個連續隨機變數x具有概率密度函式

則稱x為帶引數a(a > 0)的指數分布隨機變數,記為x ~e(a),其分布函式為

例 3-7 (p46)到某服務視窗辦事需要排隊等候,若等待時間x服從指數分布,其密度為

求(1)有2次憤然離去的概率;

(2)最多有2次憤然離去的概率;

(3)至少有2次憤然離去的概率。

3.6 一維隨機變數函式的分布

我們知道,在中, y是x 的函式。

如果x是一隨機變數,那麼y =f(x)是隨機變數的函式,如果f(x)連續、分段連續或單調,則y也是隨機變數。

如何通過x的分布,求y的分布。

1.離散型情形

若x的概率分布為

則y =f(x)的分布為

如果g(xi)有相等,需要把它們併項。

例3-5

已知x的分布律,

求、、的分布。

解由x的分布可列出

(分析:y的可能取值,取指定值的概率)

於是的分布為

2.連續型情形

例3-6 p55

設隨機變數具有連續的分布密度,試求的分布密度.其中a, b是常數,且。

解 (先求分布函式,通過求導得到密度函式

複習分布函式與分布密度函式的關係)

設的分布函式為.

當a > 0時,

u=at+b)

於是當a < 0時,

=….例 [, , , , ]

應用上述公式 … ...

例 [, , , , , , ]

解因為只取非負值,所以當時,

當時所以一般地,如果隨機變數是隨機變數的函式

那麼,s為由所有的x值組成的集合,這樣就可以根據的分布求的分布了。

例如,, ,

,求y 的分布

(09年考題)

四、(8分)隨機變數服從,求的密度函式

作業p55

23,25,26,27, 28

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