★ 知識體系框架圖
★ 要點點選
一、整式的加減
1．整式的概念：由組成的代數式叫單項式，幾個的和叫多項式， 統稱為整式．
2．整式的加減：
（1）整式的加減： ．
（2）數的運算律對代數式同樣適用．
二、整式的乘除
3．整式的乘法
(1) 冪的運算法則：
①同底數冪的乘法
②冪的乘方
③積和乘方
④同底數冪的除法
(2) 單項式與單項式相乘
(3) 單項式與多項式的乘法
(4) 多項式與多項式的乘法
(5) 乘法公式
4．整式的除法
（1）單項式與單項式相除
（2）多項式除以單項式
（3）零指數與負整數指數
（4）科學記數法
三、因式分解
5．正確理解因式分解的概念
定義6．注意掌握分解因式的一般方法
（1）提公因式法
（2）運用公式法
① 平方差公式
② 完全平方公式
7．搞清分解因式與整式乘法的關係
因此，我們可以利用整式乘法來檢驗分解因式的結果是否正確．
8．注意分解因式的一般步驟
★ 本章思想方法與思維技巧 【這部分也可作一篇列出】
本章中蘊含著豐富的數學思想，下面以例說明如何運用這些數學思想指導我們解決問題．
1、「特殊→一般→特殊」的思想方法
在本章中，許多性質與法則的得出，都是先舉出一些具體的例子，然後找出它們的共同特徵，加以推廣，概括出一般化的結論，再把所得結論應用於具體的解題過程中。例如：同底數冪的乘法的性質．
2、分類討論的數學思想方法
例如：多項式4＋1加上乙個單項式後能成為乙個整式的完全平方，那麼這個單項式是什麼？
析解：根據已知多項式的特點，我們可以把新增的單項式分為：①四次式(可添4)，②二次式(添－4)，③一次式(±4)，④常數(－1)．
3、數形結合的數學思想方法
多項式的乘法常常可以看作是某種圖形的面積，本章有許多這樣數形結合的例子．
例如：p180，根據圖形面積說明平方差公式．p182，根據圖形面積說明完全平方公式．
例．如圖是用四張相同的矩形拼成的圖形，請你利用圖中的陰影部分的不同表示方法，寫出乙個關於、的恒等式
析解：因大正方形的邊長為＋，小正方形的邊長為－，
所以(＋)－(－)＝
（＋2＋）－（－2＋）＝4．
故填：(＋)－(－)＝4．
4、整體代入的思想方法
例如課本p185頁第7題：已知＋＝5， ＝3，求＋的值．
析解：直接求出、的值有一定的困難，但可對所求代數式＋，我們可添項，變為： ＋2＋－2＝(＋)－2，然後整體代入求值．
5、逆向思維技巧
由於整式的乘除及因式分解都是恒等變形的過程，因此恰當地利用本章的一些性質、法則、公式進行逆向解題，常常可以起到簡化運算，化難為易的作用．
例如課本題：已知2＝，32＝，求2．
析解：先逆用冪的乘方：，再逆用積的乘方：．
由2＝，得(2)＝，即2＝，
由32＝，得(2)＝，即2＝，
∴ 2＝2·2＝．
由此可見正確地運用數學思想方法往往可使問題化繁為簡、化難為易，起到事半功倍之效．
★ 考點例析
一、冪的性質
例1 、(福州市)下列運算中，結果正確的是（ ）b
ab．＝
cd．析解：綜合考查冪的法則，直接運用同底數冪的乘法法則可知b正確；a應運用合併同類項，結果應為2；c運用同底數冪的除法法則，運算結果為；d運用冪的乘方，結果應為－8；故應(b)．
二、整式乘除的運算
例2、(重慶市)計算的結果是( )
ab. c. d.
析解：利用單項式的乘法法則，＝2×(－3)·＝－6．
例3、 (懷化市)先化簡，再求值．，其中，
析解：．當，時，原式．
【點評】本例是中考的常見題型，主要考查運用整式的加減乘除法進行代數式的化簡運算，並滲透乘法公式的靈活應用．
三、因式分解
例4、① (樂山市)分解因式
析解：按照因式分解的三個步驟「一提(公因式)，二套(公式)，三(分解)徹底」進行． ＝．
四、負指數冪及0指數冪
例5、（德州市）2023年4月，全國鐵路進行了第六次大提速．共改造約6000千公尺的提速線路，總投資約296億元人民幣，那麼，平均每千公尺提速線路的投資約億元人民幣（用科學記數法，保留三個有效數字）．
析解：本例考查負指數冪的科學記數法，及有效數字等知識點．填．
例6、(贛州市)將這三個數按從小到大的順序排列，正確的結果是( )
a．＜＜ b．＜＜
c．＜＜ d．＜＜
析解：因為＝(6－1)－1 ＝ 6(－1)×(－1)＝61＝6,(－2)0＝1,(－3)2＝9,並且1＜6＜9，所以,(－2)0＜＜(－3)2，故選(a).
★ 中考早接觸
試題研究——本章知識創新應用的考查
（1）開放類
例7、(溫州市)給出三個多項式：
請你選擇其中兩個進行加法運算，並把結果因式分解。
析解：本題是一道條件組合題，先選擇兩個多項式相加，做去括號，合併同類項，再進行因式分解．如：可選擇多項式：
則：．（2）規律類
例8、(湖北省武漢市)觀察下列各式:
(－1)(＋1)＝－1，
(－1)( ＋＋l)＝－l,
(－l)( ＋＋＋l)＝－1，
根據前面各式的規律可得(－1)( ＋＋…＋＋1
析解：此題主要考查用模擬思想總結規律，由給定的等式，可以發現結果是以為底數的冪與1的差，並且這個冪的指數比第二個括號中的最高次冪的指數大1，所以(－1)( ＋＋…＋＋1)＝－1.
（3）程式類
例9、 (廣東省)按下列程式計算，把答案寫在**內：
(1)填寫**
(2)請將題中計算程式用代數式表達出來，並給予化簡．
析解：（1）填1，1；（2）根據程式的特點：應為的平方加上的結果除以，再減．因此所列的代數式為：
，化簡結果為：1．
（4）數形結合類
例10、(2023年吉安市)請你觀察右邊圖形，依據圖形面積間的關係，不需要新增輔助線，便可得到乙個你非常熟悉的公式，這個公式是
析解：圖中所表示的整個正方形的面積是，兩個小正方形的面積分別是與(－)，利用這些資料關係，結合圖形便可以寫出以下乘法公式：
(－)＝－2+；
(+)(－)＝－.
根據幾何圖形的特徵，研究其中蘊含的數學公式，是「數形結合思想」的具體體現.
（5）化簡求值類
例11、(廣西桂林)計算
析解：為了便於觀察，我們將原式「倒過來」，即
原式 ＝
22 + 2 ＝ 4+2 ＝ 6.
此題的解題過程中，巧妙地用到了提公因式法進行分解因式，使結構特點明朗化，規律凸現出來. 此題解法很多，比如，我們還可以採用整體思想，把原式看作乙個整體，利用方程與提公因式法分解因式相結合的方法解答此題.
設m ＝，
則－m ＝
m＝＝＝＝2m－6．
即 m＝2m－6．
解得 m＝6.
★ 複習指津
根據本章的重點是整式的加減乘除，尤其是其中的乘法公式及其靈活運用．複習時應理解、牢記本章的概念、公式、法則等，以課本為主，紮實基礎，掌握整式的有關概念及運算法則，在運算過程中注意運算順序，掌握運算規律，掌握乘法公式並能靈活運用，在實際問題中，抽象的數式以及數式的應用題值得重視。同時還要注重知識網路的形成、基本技能的訓練及思想方法的學習。
乘法公式的結構特徵以及公式中字母的廣泛含義，我們學習時不易掌握，運用時容易混淆，因此乘法公式的靈活運用又是本章的難點．在複習過程中我們還要認真分析公式的結構特徵，並在練習中與所運用公式的結構特徵聯絡起來，對所發生的錯誤多作具體的分析，以加深對公式的理解與運用．
在整式的乘除中，單項式乘除是關鍵，這是因為，其他乘除都要「轉化」為單項式乘除．單項式的乘除實際上是進行冪的運算與有理數運算．
在本章還有幾個疑點須注意：①合併同類項意義和同底數冪乘、除法公式的區別；②因式分解與整式的乘法之間的關係。
答案：1、數與字母的乘積，單項式，單項式和多項式；2、去括號，合併同類項；3
（2）把係數、同底數冪分別相乘，作為積的因式，只在乙個單項式裡含有的字母，則連同它的指數作為積的乙個因式．（3）m(a+b+c)=am+bm+cm； （4）(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb ；（5）． 4、（1）把係數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對於只在乙個被除式裡含有的字母，則連同它的指數作為商的乙個因式．（2）把這個多項式的每一項除以這個單項式，然後把所得的商相加．（3）規定（，為正整數，．（4）根據需要可以將乙個絕對值較小的數表示成（，為正整數）的形式，我們把它叫做科學記數法．5、把乙個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式分解因式．6、（1）如果乙個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而把多項式化成兩個整式乘積的形式，這種分解因式的方法叫提公因式法．這種方法實質上是逆用乘法分配律．（2）① 平方差公式：．完全平方公式：．7、互逆．① 先提（公因式），再看可否利用公式法分解．② 分解因式必須分解到每個多項式不能再分解為止．
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