1、例說「相似」中分類技巧 2、捕捉圖形運動中的「相似」
3、相似三角形中的「光與影」 4、物理中的「相似三角形」
5、相似三角形好題放送 6、「相似三角形」的實際應用
在我們的幾何題目中，有許多問題需要分類討論，常因不會分類、分類不確切或討論不全面發生漏解。只有全面掌握基礎知識和經過嚴密思考，找準解題的切入點，才能使得出的結論不重複、不遺漏。下面就相似形三角形中的幾個問題加以說明。
例1． △abc中，ab=8，ac=6，點d在ac上且ad=2，如果要在ab上找一點e，使△ade與原三角形相似，那麼ae
【分析】要使所得△ade與原三角形相似，由於沒有指明相似的對應關係，因此①當過d作de∥cb交ab於e時，有△aed∽△abc；②當作∠ade=∠b交ab於e時，有△ade∽△abc；所以應分這兩種情況．
解：①如圖1，當de∥cb時，則△aed∽△abc，
∴，即；
∴ae=．
②如圖2，作∠ade=∠b交ab於e時，則△ade∽△abc，
∴，即；
∴ae=．
綜合①、②故ae=或．
例2． 小明想要做兩個形狀相同的三角形框架，其中乙個三角形框架的三邊長分別為8、10、14，另乙個三角形框架的一邊長為4，那麼他應怎樣選料，才可使這兩個三角形相似。
【分析】由於另乙個三角形只知一邊為4，但沒說這一邊是最長的，還是最短的，即沒有具體說明對應關係，因此應分三種情形來討論．
解：設另兩邊分別為、且＜．則
當4為短邊時，則有＝＝，解得：＝5，＝7；
當4為較短邊時，則有＝＝，解得：＝3.2，＝5.6；
當4為長邊時，則有＝＝，解得：＝，＝；
所以框架另兩邊長可選5、7，或3.2、5.6，或、。
例3．如圖3，已知點是邊長為4的正方形內一點，且pb＝3，bf⊥bp，垂足是b．請在射線bf上找一點m，使以點b、m、c為頂點的三角形與△abp相似（請注意：全等圖形是相似圖形的特例）．
圖3【分析】由於對應點沒有確定，所以需分類討論。
解：（1）若△mbc∽△abp，則需在射線bf上擷取線段bm＝，鏈結mc，
∵ bf⊥bp，ab⊥bc， ∴ ∠abp＝∠cbm，
∴ △mbc∽△abp．
（2）若△cbm∽△abp，則需在射線bf上擷取線段bm＝bp＝3，鏈結mc，
ab＝bc＝4，∠abp＝∠cb m，bp＝bm＝3，
∴ △cb m≌△abp．
∴在射線bf上取bm＝或bm＝3時，m，m都為符合條件的．
總之，分類討論問題既是中考熱點又是考生易錯點，克服方法是解題時常提醒自己：「是否還有其它情況呢？」切記！
2、捕捉圖形運動中的「相似」
讓圖形中的點、線或部分圖形動起來，隨之引起圖形的整體或區域性運動變化，在運動變化過程中，我們若能捕捉某些圖形存在的相似那一瞬間，是一件十分有趣而又有意義的事。下面來兩道反映『圖形運動與相似』的題目：
一、善於抓住圖形變化中的特殊位置
例1．如圖1，有兩個形狀完全相同的直角三角形abc和efg疊放在一起(點a與點e重合)，已知ac＝8，bc＝6，∠c＝90°，eg＝4，∠egf＝90°，o 是△efg斜邊上的中點．
如圖2，若整個△efg從圖1的位置出發，以1cm/s 的速度沿射線ab方向平移，在△efg 平移的同時，點p從△efg的頂點g出發，以1cm/s 的速度在直角邊gf上向點f運動，當點p到達點f時，點p停止運動，△efg也隨之停止平移．設運動時間為x(s)，fg的延長線交 ac於h，(不考慮點p與g、f重合的情況)．試確定當x為何值時，op∥ac ?
圖1圖2
析解：由直角三角形，利用勾股定理可求出相應的邊，由它們形狀完全相同→相似，利用相似的性質又可求出相對應的邊長；問題實際上可假設運動開始後秒時，po∥ac，根據這時圖形的特殊位置，利用平行線等分線段定理可知p為fg的中點。
∵rt△efg∽rt△abc ，
∴，．∴fg＝＝3cm．
∵當p為fg的中點時，op∥eg ，eg∥ac ，
∴op∥ac．
∴ x＝＝×3＝1.5(s)．
∴當x為1.5s時，op∥ac ．
二、當對應不確定時應分情況討論
例2．如圖3，梯形abcd中，ad∥bc ,∠a＝90°,ab＝7,ad＝2,bc＝3.點p從a點出發，以1/s的速度由a運動到b，是否存在某一時刻，使得以p、a、d為頂點的三角形與以p、b、c為頂點的三角形相似，若存在，請求出這一時刻，若不存在，說明理由.
析解：假設點p經過秒時，p、a、d為頂點的三角形與以p、b、c為頂點的三角形相似，此時pa＝，則pb＝(7－).
（1）當ap、ad分別與bp、bc對應時,則有，
此時△apd∽△bpc，即有,解之得＝2.8;
（2）當ap、ad分別與bc、bp對應時,則有，
此時△apd∽△bcp，即有,解之得＝1或6.
故經過1秒、2.8秒或6秒時，題中所指兩個三角形相似.
【點評】解是否存在性問題，可先假設「存在」，然後從題設條件出發進行計算或推理．本題因已知∠a＝∠b＝90°，但由於夾∠a的兩邊ap、ad分別是與bp、bc對應還是與bc、bp對應沒有確定，因此需分兩種情況討論.
3、相似三角形中的「光與影」
光線與影子天天伴隨著我們，其實他已悄悄走進本章，不信請看：
例1．如圖1所示，一段街道的兩邊緣所在直線分別為ab，pq，並且ab∥pq．建築物的一端de所在的直線mn⊥ab於點m，交pq於點n．小亮從勝利街的a處，沿著ab方向前進，小明一直站在點p的位置等候小亮．
（1）請你在圖2中畫出小亮恰好能看見小明時的視線，以及此時小亮所在位置（用點c標出）；
（2）已知：mn＝20m，md＝8m，pn＝24m，求（1）中的點c到勝利街口的距離cm．
圖1圖2
【析解】這是一道與光線有關的問題，聯想到平行光線，從而得到相似三角形，這樣即可使問題獲解．
（1）如圖2所示，cp為視線，點c為所求位置．
（2）因為ab∥pq，mn⊥ab於m，所以∠cmd＝∠pnd＝90°．
又∠cdm＝∠pdn，所以△cdm∽△pdn，所以＝，
而mn＝20m，md＝8m，pn＝24m，即＝，
所以cm＝16（m），即點c到勝利街口的距離cm為16m．
例2．張明同學想用樹影測校園內的樹高．他在某一時刻測得小樹高為1.5公尺時，其影長為1.2公尺，當他測量教學樓旁的一棵大樹的影長時，因大樹靠近教學樓，有一部分影子在牆上，經測量，地面部分的影長為6.
4公尺，牆上部分的影長為1.4公尺，那麼這棵樹的高約為公尺．
【析解】如圖3，設ab表示大樹，cd表示教學樓，當光線從a點照射時，牆上的影子為ce=1.4公尺，地面上的影子為bc=6.4公尺，延長ae交bc的延長線於點f，則大樹的影長為bf，cf可以看成是線段ce所代表的物高的影子．
根據在同一時刻物高與影長成正比，有＝，∴ cf＝＝1.12,
設ab=，∵ce∥ab，
∴ △fec∽△fab，
∴＝，即＝
解之得，＝9.4（公尺），即大樹的高約為9.4公尺．
答：略．
點評：解決「光與影」的問題要注意以下幾點：
① 太陽光線是平行光線；
② 必須理解在同一時刻物高與影長成正比這一原理；
③ 能夠利用數形結合的思想作出示意圖；
④ 正確理解物體的影長的意義．
4、物理問題中的「相似三角形」
相似三角形在實際中的應用非常廣泛，有些物理問題也可用相似三角形的知識來解決．下面舉例說明．
一、光學方面
例1．實驗課，小明做小孔成像實驗．如圖1，若蠟燭與成像板間的距離為15cm ，試求小孔紙板放在蠟燭與成像板間何處時，蠟燭焰ab是像的一半長．
圖1圖2
分析：如圖2，設蠟燭焰ab的像是，則ab∥，ef為ab與的距離，則，再根據相似三角形的對應高之比等於相似比，即可解答．
解：∵ ab∥，∴，
∴＝． ∴．
所以oe＝ef＝5cm．
故小孔紙板應放在距蠟燭5cm時，蠟燭焰ab恰好是像的一半長．
二、力學方面
例2．如圖3，一均勻的電線桿長10公尺重， 5000牛，一端地面相連，現要緩慢將電線桿拉起．
（1） 如果力的方向總是豎直向上，則在電線桿豎起過程中所需力的大小 (增大\減小\不變\無法判斷)；
（2） 如果力的方向始終於電線桿垂直，則力的大小將 (增大\減小\不變\無法判斷)．
圖3圖4圖5
分析：由物理知識可知，電線桿豎起的過程，實質上相當於以為支點，以為動力，以電線桿重力為阻力的槓桿運動．
解：（1）因力的方向總是豎直向上（如圖4），由此可知，所以，所以有，而是定值，即也是定值．由槓桿平衡條件，得．因此，動力大小不變．故填不變．
（2）力的方向始終於電線桿垂直（如圖4），由槓桿平衡條件，，即拉力的力臂為電線桿的長並且保持不變，重力的力臂變小，重力不變，所以拉力變小．故填變小．
5、相似三角形好題放送
一、開放型題
1、結論開放型
例1．已知數3、6，請寫出乙個數，使這三個數中的乙個數是另兩數的比例中項，這個數是只需填寫乙個數）
解析：根據比例中項的概念： =，及三個數中沒說明那乙個數是中項，因此本題可從、、、中任選乙個即可。
2、條件開放型
例2．如圖1，請你補充乙個你認為正確的條件，使△abc與△aed相似，則補充的條件可以是補充乙個條件即可）
解析：本題是一道相似三角形中的一比較好的開放型題，我們可從兩方面來**：
①當de不平行bc時，可增加∠b＝∠1或∠c＝∠2，利用兩角對應相等兩三角形相似；也可添ab∶ae＝ac∶ad，利用「兩邊對應成比例，夾角相等兩三角形相似」；
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