初二數學一次函式的實踐與探索華東師大版
【同步教育資訊】
一. 本週教學內容：
一次函式的實踐與探索
［主要內容］
1. 行程問題的影象題型；
2. 銷售問題的影象題型
3 .手機話費，行李費等影象
4. 生產方案，經營決策問題
二. 重點、難點：
通過影象獲取資訊，借助影象分析解決實際問題
【典型例題】
例1. 如圖反映了兩位同學跑步的時間與路程關係，直線l1表示劉東跑步的時間與路程關係，直線l2表示王玉跑步的時間與路程關係，從圖中可看出：（圖1）兩人起跑時間填相同或不同分鐘時兩人相遇，兩人速度分別為
圖1 分析：兩位同學跑步的時間與路程關係影象是兩條射線，因兩條射線的起點都在x軸上，說明兩人起跑的時間不同，地點相同。直線l1表示1分鐘內路程增加了300公尺，即v1＝300公尺/分；直線l2表示在1~2分鐘之間，路程增加了400公尺，即v2＝400公尺/分，直線l1與直線l2的交點表示兩人相遇的時間與地點。
兩人在4分鐘時相遇，位置在距起點1200公尺處．
答案：相同，4，300公尺/分，400公尺/分
例2. 圖2反映了某商品的售價及單位利潤的情況，其中直線l1代表售價，直線l2代表與l1相應售價下的單位利潤，則由圖可知：
圖2 （1）a點代表本商品的原計畫售價為元，此時它預期利潤為元，點反映出此情況。
（2）當某公司一次性購買50噸時，每噸售價為元，此時賣方共獲利元。
（3）線段ad與bc的位置關係是簡要結合本題意旨解釋原因
分析：（1）a點代表本商品的原計畫售價為 1500 元，此時它預期利潤為 700 元，點 b 反映出此情況；
（2）當某公司一次性購買50噸時，每噸售價為 1000 元，此時單位利潤為200元，因此賣方共獲利 10000 元；
（3）線段ad與bc的位置關係是平行 ；
簡要結合本題意旨解釋原因這種商品的進價不變 ．
例3. 如圖3，直線l1表示小明跑步時間與路程的關係，折線l2表示小剛跑步時間與路程的關係，請根據圖意填空：
圖3 （1在________前100公尺處起跑。
（2）小明的速度為小剛的速度為
（3）小明用了________分鐘追上小剛，此時在________公尺處。
（4）_______分鐘時小剛又加快速度，速度為_________公尺/分。
（5）結果____到達終點。小明共走了_____公尺，小剛共走了____公尺。
分析：根據影象，直線l1與折線l2的起點都在y軸上，說明兩人的起跑時間相同，起跑地點不同，小剛在小明前100公尺，小明1分鐘內跑了250公尺，即v1＝250公尺/分；小剛在2分鐘內從100公尺處跑到了300公尺處，即v2＝200公尺/分；l1與l2的交點為a（2，500），說明小明用了2分鐘追上了小剛，此時在500公尺處．而l2在點b（3，700）處改變了增長率，說明小剛又加快了速度，在點c（4，1000）處又追上了小明，因此v2′＝300公尺/分．結果兩人同時到達終點1000公尺處，而小明共走了900公尺，小剛共走了1000公尺．
答案：（1）小剛小明；（2）250公尺/分 200公尺/分；（3）2 500；（4）3 300
（5）同時 900 1000
例4. 某單位急需用車，但又不準備買車，他們準備和乙個體車主或一國營計程車公司其中的一家簽訂月租車合同，設汽車每月行駛x千公尺，應付給個體車主的月費用是y1元，應付給計程車公司的月費用是y2元，y1、y2分別與x之間的函式關係影象（兩條射線）如圖，觀察影象回答下列問題：（如圖4）
圖4 （1）每月行駛的路程在什麼範圍內時，租國營公司的車合算？
（2）每月行駛的路程等於多少時，租兩家車的費用相同？
（3）如果這個單位估計每月行駛的路程為2300千公尺，那麼這個單位租哪家的車合算？
解：（1）行駛路程大於2500千公尺時，租國營車合算．
（2）2500千公尺．
（3）租個體車合算．
例5. 某校組織學生到距離學校6千公尺的光明科技館去參觀，小王因事沒能乘上學校的包車，於是準備在學校門口改乘計程車去光明科技館，計程車的收費標準如下：
（1）寫出計程車行駛的里程數x≥3（千公尺）與費用y（元）之間的函式關係式．
（2）小王身上有11元錢，乘計程車到科技館的車費夠不夠？請說明理由．
解：（1）
即（2）夠用 例6. 甲、乙兩個倉庫要向a、b兩地運送水泥，已知甲庫可以調出100噸水泥，乙庫可以調出80噸水泥，a地需70噸水泥，b地需110噸水泥，兩庫到a、b兩地的路程和運費如下表：
（1）設甲庫運到a地的水泥x噸，求總費用y元關於x噸的函式關係式。
（2）當甲、乙兩庫各運往a、b兩地多少水泥時，總運費最省？最省的總運費是多少元？
分析：甲庫運往a地x噸，運費為12×20x噸，乙庫運往a地的運費是12×15（70－x）噸。甲庫運往b地水泥的運費是10×25（100－x），乙庫運往b地的運費是8×20（10＋x）。
整理這幾個式子，可得總運費。
解：（1）由題意知：
化簡得當x＝70時，總運費最省，最省的總運費是37100元。
例7. 小明騎電單車從甲到乙，途中車有故障，因而停下來修車，到乙地共用時2小時，已知車行路程s（千公尺）與行駛的時間t（小時）之間的函式關係如圖所示，
請回答：
（1）ab段車速是多少？cd段車速是多少？
（2）修車用時多少？
（3）若此車平均每行駛100公里耗油2公升，從甲到乙共耗油多少公升？
解：（1）ab段共行駛30千公尺，用時1小時，故車速為30千公尺/小時，
cd段共行駛45－30＝15千公尺，用時2－1.5＝0.5小時，故車速為15÷0.5＝30千公尺/小時。
（2）修車在bc時間段，耗時為0.5小時。
例8. 某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計畫利用這兩種原料生產a、b兩種產品，共50件。已知生產一件a種產品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產一件b種產品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元。
（1）要求安排a、b兩種產品的生產件數，有哪幾種方案?請你設計出來；
（2）生產a、b兩種產品獲總利潤是y（元），其中一種的生產件數是x，試寫出y與x之間的函式關係式，並利用函式的性質說明（1）中的哪種生產方案獲總利潤最大?最大利潤是多少?
解：（1）設安排生產a種產品x件，則生產b種產品是（50－x）件。由題意得
解不等式組得 30≤x≤32。
因為x是整數，所以x只取30、31、32，相應的（50－x）的值是20、19、18。
所以，生產的方案有三種，即第一種生產方案：生產a種產品30件，b種產品20件；第二種生產方案：生產a種產品31件，b種產品19件；第三種生產方案：
生產a種產品32件，b種產品18件。
（2）設生產a種產品的件數是x，則生產b種產品的件數是50－x。
由題意得
y＝700x＋1200（50－x）＝－500x＋60000。（其中x只能取30，31，32。）
因為－500<0，所以此一次函式y隨x的增大而減小，
所以當x＝30時，y的值最大。
因此，按第一種生產方案安排生產，獲總利潤最大，最大利潤是：－500·30＋60000＝45000（元）。
本題是利用不等式組的知識，得到幾種生產方案的設計，再利用一次函式性質得出最佳設計方案問題。
例9. 東風商場文具部的某種毛筆每支25元，書法本每本5元，該商場為了**制定了兩種方案：
甲：買一支筆送一本練習本；
乙：按購買金額九折付款；
某校準備購買毛筆10支，書法本x本（x≥10）。
（1）寫出每種優惠辦法實際付款總額，y甲（元）、y乙（元）與x（本）之間的函式關係式。
（2）比較購買同樣多的書法練習本時，按哪種辦法付款更為省錢？
（3）如果商場允許，可採用一種辦法購買，也可採用兩種辦法購買，請設計購買毛筆10支和練習本60本的最省錢的方案。
解：（3）設用甲方案買筆x支，則據題意可得：
即用甲種方案買10支筆和10本書法本，另外50本書法本用乙種方案購買。
例10. 北京某廠和上海某廠同時製成電子計算機若干臺，北京廠可支援外地10臺，上海廠可支援外地4臺，現在決定給重慶8臺，漢口6臺。如果從北京運往漢口、重慶的運費分別是4百元/臺、8百元/臺，從上海運往漢口、重慶的運費分別是3百元/臺、5百元/臺。
求：（1）若總運費為8400元，上海運往漢口應是多少臺?
（2）若要求總運費不超過8200元，共有幾種調運方案?
（3）求出總運費最低的調運方案，最低總運費是多少元?
解：設上海廠運往漢口x臺，那麼上海運往重慶有（4－x）臺，北京廠運往漢口（6－x）臺，北京廠運往重慶（4＋x）臺，則總運費w關於x的一次函式關係式：
w＝3x＋4（6－x）＋5（4－x）＋8（4＋x）＝76＋2x。
（1）當w＝84（百元）時，則有76＋2x＝84,解得x＝4。
若總運費為8400元，上海廠應運往漢口4臺。
（2）當w≤82（百元），則
解得0≤x≤3，因為x只能取整數，所以x只有四種可能的值：
0、1、2、3。
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