2023年湖北省黃岡市初中數學競賽試題
一、填空題(滿分30分,每小題5分)
1.已知ｍ、ｎ互為相反數,ａ、ｂ互為負倒數,ｘ的絕對值等於3.則ｘ3-(1+ｍ+ｎ+ａｂ)ｘ2+(ｍ+ｎ)·ｘ2001+(-ａｂ)2002的值等於______.
2.已知正數ａ、ｂ,有下列命題:
(1)若ａ=1,ｂ=1,則≤1;
(2)若ａ=,ｂ=,則≤;
(3)若ａ=2,ｂ=3,則≤;
(4)若ａ=1,ｂ=5,則≤3.
根據以上幾個命題所提供的資訊,請猜想:若ａ=6,ｂ=7,則
3.已知ｋ===,且+ｎ2+9=6ｎ,則關於自變數ｘ的一次函式ｙ=ｋｘ+ｍ+ｎ的影象一定經過第________象限.
4.如圖1,∠ａｏｂ=45°,角內有一點ｐ,ｐｏ=10,在角的兩邊上有兩點ｑ、ｒ(均不同於點ｏ).則△ｐｑｒ的周長的最小值為
5.某公司規定乙個退休職工每年可獲得乙份退休金,金額與他工作的年數的算術平方根成正比例.如果他多工作ａ年,他的退休金比原有的多ｐ元;如果他多工作ｂ年(ｂ≠ａ),他的退休金比原有的多ｑ元.
那麼,他每年的退休金是(以ａ、ｂ、ｐ、ｑ表示元.
6.已知在△ａｂｃ中,∠ａ、∠ｂ是銳角,且ｓｉｎａ=,ｔgｂ=2,ａｂ=29ｃｍ.則△ａｂｃ的面積等於2.
二、解答題(滿分70分)
7.(10分)觀察:1×2×3×4+1=52,
2×3×4×5+1=112,
3×4×5×6+1=192,
……(1)請寫出乙個具有普遍性的結論,並給出證明;
(2)根據(1),計算2000×2001×2002×2003+1的結果(用乙個最簡式子表示).
8.(10分)如圖2,已知ｒｔ△ａｂｃ中,∠ｃ=90°,沿過點ｂ的一條直線ｂｅ摺疊這個三角形,使點ｃ落在ａｂ邊上的點為ｄ.要使點ｄ恰為ａｂ的中點,問在圖中還需新增什麼條件?
(1)寫出兩個滿足邊的條件;
(2)寫出兩個滿足角的條件;
(3)寫出乙個滿足除邊、角以外的其他條件.
9.(10分)在一次數學競賽中,組委會決定用ｎｓ公司贊助的款購買一批獎品.若以1臺ｎｓ計算器和3本《數學競賽講座》書為乙份獎品,則可買100份獎品;若以1臺ｎｓ計算器和5本《數學競賽講座》書為乙份獎品,則可買80份獎品.
問這筆錢全部用來購買計算器或《數學競賽講座》書,可各買多少?
10.(15分)如圖3,ｏｂ是以(0,ａ)為圓心、ａ為半徑的⊙ｏ1的弦,過點ｂ作⊙ｏ1的切線,ｐ為劣弧上的任一點,且過ｐ作ｏｂ、ａｂ、ｏａ的垂線,垂足分別是ｄ、ｅ、ｆ.
(1)求證:ｐｄ2=ｐｅ·ｐｆ;
(2)當∠ｂｏｃ=30°,點ｐ為的中點時,求ｄ、ｅ、ｆ、ｐ四個點的座標及ｓ△ｄｅｆ.
11.(10分)若ａ、ｂ、ｃ、ｄ>0,證明:在方程
ｘ2++=0;①
ｘ2++=0;②
ｘ2++=0;③
ｘ2++=0④
中,至少有兩個方程有兩個不相等的實數根.
12.(15分)有麥田5塊它們的產量(單位:噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖4所示,要建一座永久性打麥場,這5塊麥田生產的麥子都在此打場.
問建在哪塊麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運輸量最小?圖中圓圈內的數字為產量,直線段上的字母ａ、ｂ、ｄ表示距離,且ｂ<ａ<ｄ.
參***
一、1.28或-26 2. 3.
三、四 4.10 5. 6.
145.過點ｃ作ａｂ的垂線,垂足為設ｍ>0,∴ｃｄ=5ｍ,ａｃ=13ｍ.∵ｔgｂ= =2,可設ｎ>0,ｃｄ=212ｍ.
從而得ａｂ=ａｄ+ｂｄ=12ｍ+52ｍ=292ｍ.由29=292ｍ,得ｍ=2.則ｃｄ=5ｍ=10.
故29×10=145 (ｃｍ2).
二、7.(1)對於自然數ｎ,有ｎ(ｎ+1)(ｎ+2)(ｎ+3)+1=(ｎ2+3ｎ)(ｎ2+3ｎ+2)+1=(ｎ2+3ｎ)2+2(ｎ2+3ｎ)+1=(ｎ2+3ｎ+1)2.
(2)由(1)得2000×2001×2002×2003+1=40060012.
8.要使ｄ為ａｂ的中點,可新增下列條件之一:
角的關係:(12345)∠ａ=30°;(6)∠ｃｂｄ=60°;(7)∠ｃｅｄ=120°;(8)∠ａｅｄ=60°.
邊的關係:(1)ａｂ=2ｂｃ;(2)ａｃ=ｂｃ;(3)2ａｃ=ａｂ;(4)ｂｅ=ａｅ.三角形的關係
9.設每台計算器ｘ元,每本《數學競賽講座》書ｙ元,這筆錢為ｓ元.則有100(ｘ+3ｙ)=ｓ=80(ｘ+5ｙ).
化簡得ｘ=5ｙ.解得ｓ=800ｙ.則這筆款可買《數學競賽講座》800本.
又∵ｙ=,∴ｓ=160ｘ.則這筆款可買計算器160臺.
10.(1)提示:鏈結ｅｄ、ｄｆ,證202.
11.寫出這四個方程的判別式δ1、δ2、δ3、δ4.注意到δ1+δ3>0,δ2+δ4>0,故δ1、δ2、δ3、δ4中至少有兩個大於零,即所得四個方程中至少有兩個方程有不相等的實數根.
12.設在ｘ處的最少運輸量為ｓ(ｘ).據三角形三邊長度關係,有ａ+ｂ>ｄ.
於是,ｓ(ａ)=3ａ+5(ａ+ｂ)+4(ａ+ｄ)+6ａ=18ａ+5ｂ+4ｄ;ｓ(ｂ)=10ａ+3ｂ+4ｄ;ｓ(ｃ)=18ａ+13ｄ;ｓ(ｄ)=14ａ+13ｂ;ｓ(ｅ)=26ａ+6ｂ;經比較,知故ｂ處為最佳選擇.
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