球棒系統的建模及反饋控制設計

2023-01-26 04:24:04 字數 4183 閱讀 8570

由剛性球和連桿臂構成的球棒系統, 如下圖所示。連桿在驅動力矩作用下繞軸心點做旋轉運動。連桿的轉角和剛性球在連桿上的位置分別用表示, 設剛性球的半徑為。

當小球轉動時, 球的移動和棒的轉動構成復合運動。

剛性球與機械臂的動態方程由下式描述

選取剛性球的位移和其速度, 以及機械臂的轉角及其角速度作為狀態變數,令

,可得系統的狀態空間表示式

設球棒系統各引數如下:

一、將系統在平衡點處線性化,求解線性系統模型。

求解系統的平衡點,即令,

則有:因為在實際系統中要使系統穩定,平衡狀態的一定等於0,故。

將系統在平衡點處線性化處理,由lyapunov第一方法可知:

線性化處理後的系統模型為:

二、利用狀態反饋,將線性系統極點配置於,求出狀態反饋控制增益,並畫出小球初始狀態為橫桿角度為和初始狀態, 橫桿角度為時的**影象()。

(1).判斷系統的能控性

,系統完全能控。

(2).期望的閉環特徵多項式為:

(3).設,則狀態反饋後系統的狀態空間表示式為:

令反饋後系統的閉環特徵多項式與期望的閉環特徵多項式係數對應相等解得 ,即所求的狀態反饋增益。

則狀態反饋後系統的狀態空間表示式為:

(a)用matlab實現小球初始狀態為橫桿角度為的**影象()如圖1。matlab程式:

>> a=[0 1 0 0;0 0 -140.14 0;0 0 0 1;-24.52 0 0 0];

>> b=[0;0;0;50];

>> c=[1 0 0 0;0 0 1 0];

>> d=[0];

>> p=[-1-2*j,-1+2*j,-2-j,-2+j];

>> k=acker(a,b,p)

>> a1=a-b*k

>> u=0;

>> g=ss(a1,b,c,d);

>> x0=[0.3 0 pi/6 0];

>> [y,t,x]=initial(g,x0);

>> plot(t,x)

圖1(b)用matlab實現小球初始狀態為r=-0.3橫桿角度為的**影象()如圖2。matlab程式:

>> a=[0 1 0 0;0 0 -140.14 0;0 0 0 1;-24.52 0 0 0];

>> b=[0;0;0;50];

>> c=[1 0 0 0;0 0 1 0];

>> d=[0];

>> p=[-1-2*j,-1+2*j,-2-j,-2+j];

>> k=acker(a,b,p)

>> a1=a-b*k

>> u=0;

>> g=ss(a1,b,c,d);

>> x0=[-0.3 0 -pi/6 0];

>> [y,t,x]=initial(g,x0);

>> plot(t,x)

圖2三、設計具有合適極點的全維觀測器,實現狀態反饋,給出狀態反饋增益和觀測器增益,並畫出小球初始狀態為橫桿角度為和初始狀態, 橫桿角度為時的**影象(),以及觀測器輸出與系統狀態差值影象()。

(1).狀態反饋增益

設定系統的超調量為,調整時間為。得到不等式,解之得,取。

根據典型二階系統的傳遞函式可知: ,系統為四階,其他的兩個極點可選為實部大於5倍的任意數,此處選擇5倍極點。

在matlab中通過acker函式直接求得k:

>> a=[0 1 0 0;0 0 -140.14 0;0 0 0 1;-24.52 0 0 0];

>> b=[0;0;0;50];

>> c=[1 0 0 0;0 0 1 0];

>> d=[0];

>> p=[-8-8.39*j,-8+8.39*j,-40-8.39*j,-40+8.39*j];

>> k=acker(a,b,p)

狀態反饋增益為

(2)觀測器增益

a..判斷系統能觀性:

所以系統完全能觀,故可設計狀態觀測器重構x。

b.根據的原則選擇觀測器的極點,。

由分離性原理知。

在matlab中通過place函式直接求得g和a-gc:

>> a=[0 1 0 0;0 0 -140.14 0;0 0 0 1;-24.52 0 0 0];

>> b=[0;0;0;50];

>> c=[1 0 0 0;0 0 1 0];

>> d=[0];

>> p=[-24+8.39*j -24-8.39*j -120+8.39*j -120-8.39*j];

>> c=c';

>> a=a';

>> g=place(a,c,p);

>> g'

>> a=a'-(g')*(c')

求得,。

(a)小球初始狀態,時系統的**影象如圖3

圖3對應程式:

>> a=[0 1 0 0;0 0 -140.14 0;0 0 0 1;-24.52 0 0 0];

>> b=[0;0;0;50];

>> c=[1 0 0 0;0 0 1 0];

>> d=[0];

>> p=[-8+8.39*j -8-8.39*j -40+8.39*j -40-8.39*j];

>> k=acker(a,b,p)

>> a1=a-b*k

>> u=0;

>> g=ss(a1,b,c,d);

>> x0=[0.3 0 pi/6 0];

>> [y,t,x]=initial(g,x0);

>> plot(t,x)

(b)觀測器輸出與系統狀態差值影象如圖4

圖4對應程式:

>> a=[0 1 0 0;0 0 -140.14 0;0 0 0 1;-24.52 0 0 0];

>> b=[0;0;0;50];

>> c=[1 0 0 0;0 0 1 0];

>> d=[0];

>> p=[-24+8.39*j -24-8.39*j -120+8.39*j -120-8.39*j];

>> c=c';

>> a=a';

>> g=place(a,c,p);

>> a=a'-(g')*(c');

>> c=c';

>> b=[0;0;0;0];

>> x0=[0.3 0 pi/6 0];

>> g=ss(a,b,c,d);

>> [y,t,x]=initial(g,x0);

>> plot(t,x)

(c)小球初試狀態為,時系統的**影象如圖5

圖5對應程式:

>> a=[0 1 0 0;0 0 -140.14 0;0 0 0 1;-24.52 0 0 0];

>> b=[0;0;0;50];

>> c=[1 0 0 0;0 0 1 0];

>> d=[0];

>> p=[-8+8.39*j -8-8.39*j -40+8.39*j -40-8.39*j];

>> k=acker(a,b,p)

>> a1=a-b*k

>> u=0;

>> g=ss(a1,b,c,d);

>> x0=[-0.3 0 -pi/6 0];

>> [y,t,x]=initial(g,x0);

>> plot(t,x)

(d)觀測器輸出與系統狀態差值影象如圖6

圖6對應程式:

>> a=[0 1 0 0;0 0 -140.14 0;0 0 0 1;-24.52 0 0 0];

>> b=[0;0;0;50];

>> c=[1 0 0 0;0 0 1 0];

>> d=[0];

>> p=[-24+8.39*j -24-8.39*j -120+8.39*j -120-8.39*j];

>> c=c';

>> a=a';

>> g=place(a,c,p);

>> a=a'-(g')*(c');

>> c=c';

>> b=[0;0;0;0];

>> x0=[-0.3 0 -pi/6 0];

>> g=ss(a,b,c,d);

>> [y,t,x]=initial(g,x0);

>> plot(t,x)

分析與結論:

由分析知,球棒系統是穩定的,最後穩定時球棒的重心重合,各狀態均為零。重新配置極點後系統的動態效能指標得到改善,觀測器輸出與系統狀態差值最後趨近於零,所設計的全維狀態觀測器能夠很好的反映原系統的狀態,實現了預期功能。

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