追尋教學與教育的平衡地帶
第三屆教學研討會隨想
崇慶中學附屬初中：餘首成
我校於2023年12月3日開展了第三屆教學研討會，上午觀摩了同課異構的課堂授課，課後聽授課者講述自己的思路和見解，下午聽本校教師代表談成長經歷以及聽專家作專題講座。我隱約覺得上午的授課與下午的講座間似乎有某種精神在相互滲透，那是怎樣的一種精神？在這裡，我把他理解為：
尋求教學與教育的平衡，讓教育走向真實與真切！
第一堂課由甲（本校）老師執教，其教學設計模式為我校「知悟課堂」——導知、行知、悟知三環節。其中導知環節包括了導學、導景和導思，我們在課堂上看到的是甲老師由「導景」展開的新課，隨後而來的「導思」實際上就是甲老師與學生一起經歷新知識的「生成過程」與「提煉總結」。至於「導學」，我認為它是我校「知悟課堂」的乙個重要環節，想想看吧，甲老師授課給人的整體感受是快節奏、大容量，但如果沒有學生積極、主動的導學自行作為保障，甲老師就不能踩著節奏明快的步伐與學生共舞。
所以我認為，「導學」之功夫內隱於課外，不為聽課者所明見，而「導學」之功效則外顯於課內，廣為聽課者所睹見。在有這樣充分「導學」的基礎上，甲老師快速「導景」，直入「導思」環節之一，通過複習二次函式：（a≠0）的影象和性質來為新課拉開帷幕。
第二堂課由乙（石室聯中）老師執教，其教學設計為大眾化模式：課前解說知識回顧新課講解課堂練習課堂小結課後作業。乙老師在作二次函式：
（a≠0）的影象和性質的「知識回顧」之前，留意作了乙個課前解說。他從二次函式：（a≠0）一般形式中，談及所包含的三種特殊情況，並指出本課將研究其中：
的情況，即：，且道出了本課探索的落點和方向。我開初覺得這樣的課前解說可有可無，但後來才領悟授課者的意圖別有一番深意。
兩位老師在新課探索前都重視對「（a≠0）的影象和性質」這一「最近發展區」的複習，讓新課在熟悉的氛圍中向預設的方向延展。在談及拋物線的頂點座標時，甲老師給學生再一次強調了「拋物線的頂點是拋物線的對稱軸與這條拋物線的交點」這個定義。此定義凸顯了拋物線頂點座標的「形」的簡單本質，為以後繼續研究拋物線頂點座標的「數」的複雜形式預埋了伏筆。
在談及拋物線的增減性時，乙老師追問學生，為什麼要分為「x＞0和x＜0」兩類情況來討論，而不分成其它的諸如「x＞2和x＜2」這樣的情況來討論呢？接著乙老師點明這種分類討論是基於「此時的」拋物線對稱軸為：y軸，即直線x＝0來展開的。
此種分類依據揭示了拋物線的增減性的「臨界點」在「形」上的簡單本質，為以後研究二次函式在複雜「解析形式」下的增減性掃清了障礙。可見，二位老師都在幫助學生透過某些複雜表象，洞見簡單本質，在同課異構的總結會上，乙老師自己的說法也印證了這一點。
在新知的探索過程中，甲班學生通過「列表、描點、連線」完成了：、以及的作圖，在**教師展示的兩個學生作品後，又**了拋物線作圖的動態演示課件。在這樣的基礎上，甲老師引導學生總結三條拋物線的異同點，尤其還總結了它們之間的平移關係，這就是「知悟課堂」導思環節中的「新知生成過程」。
隨後，甲老師引領學生進行「新知提煉總結」，讓學生在學案上總結：（新知）與（舊知）的異同點及其平移規律，並達成共識。甲老師的授課設計讓學生在潛移默化中體驗了「由特殊個例來揣摩一般共性」的思維策略。
在新知的探索過程中，乙班學生在乙老師的引導下，先去感知了函式：和的解析式的異同點。得出其相同點是：
這兩條拋物線的開口方向和開口程度相同，這一相同點預示了它們可以通過平移來實現重合；其不同點是：它們的解析式不相同，這一不同點又預示了它們的位置好像應該不相同。然後乙老師順勢引導學生進行「模擬聯想」，提出可否把一次函式：
和之間的平移規律（上加、下減）「遷移」到這裡。我認為，這一猜想是人腦自然迸發的「模擬聯想」，它是舊模式往新環境遷移運用的本能衝動，它體現了數學思維的自然流露，但這種猜想是否真的就正確呢？接著乙老師對學生說：
「先猜想，後驗證！」。隨後他讓乙班學生在學案上自行去完成：
、以及的作圖，並驗證各自對拋物線：和的平移規律的猜想。我認為，這個過程讓學生深刻而火熱的體驗到了「模擬聯想」以及「先猜想，後驗證」的思維策略。
怪不得乙老師在後來的課堂小結中贈送給學生這樣一句話——新題（我認為他是指：陌生的題）不可怕！接下來乙老師以師生共同歸納的方式總結提煉了二次函式：
的平移法則和影象性質，完成了「新課講解」的過程。
在新課講解的過程中，兩位老師都注重利用學案來引導學生複習舊知和探索新知，全程調動學生的「眼耳手腦」並用，尤其是那種實實在在的學案使得課堂「動手」做題成為一種真實和真切。我的感受是：***課件參照學生的學案來設計，更有助於打造高效課堂，這在兩位老師的授課設計中都得到了體現。
甲老師的課堂練習是「知悟課堂」的行知環節，它在形式上由「自行題、助行題和卓行題」組成。其中自行題緊扣雙基，學生容易上手。助行題涉及到了對雙基理解的靈活性，其間滲透了數學基本思想和基本方法，助行強調了學生可以求助於別人。
而卓行題則有了較大的難度，其間更滲透了數學思考（思維的方式與策略）與聯絡拓廣（前後知識、實際應用），卓行強調自行思考，各人展現自己的思維個性，看誰方法高效，看誰方法精彩？我的總體感受是：行知環節的例題與練習層次分明，難度拾階而上，「眼高手低」，值得推崇。
乙老師的課堂練習由「牛1刀」和「牛2刀」組成，仍然涉及到了「四基」和思維方式與策略，但我個人感覺在調動學生的解題求助和解題激情方面略遜於甲老師的行知環節設計。在同課異構的交流會上，乙老師也專門申明了他並沒有按照賽課的標準來設計課堂教學，幾乎只算是一種常態化的隨堂課，沒有在應對「陌生學生」的環境中留意合作學習與學生個性彰顯的問題。乙老師取得過兩次成都市賽課的一等獎，他自然深諳賽課的藝術，但他的來到回歸了教學的平靜，意欲何為？
必有深意！乙老師在淡化課堂教學的形式中深化了課堂教學的內容，在數學教學與數學教育中謀求二者的平衡點，幾欲返璞歸真，貌似有意去回應當年的「錢學森之問」。當然，這純粹是我個人的胡亂猜想，怎能暗合乙老師的心意？
但我也深知猜錯不要緊，而猜得有效便能為我所用，猜得有益方能導我所行，大凡讀書之開卷有益與此相差無遠。另一方面，從內容美與形式美的統一性來談，我校著意「知悟課堂」的模式有其必要性，人家是激情過後的平淡，而我們需要在平淡中添點激情，借助一些個美的形式來烘托美的內容。等吾等以後強大了，也來他乙個返璞歸真，從心所欲而不踰矩。
在作業布置這一環節，兩位老師在各自的學案中都涉及到了。甲老師的「知悟課堂」模式在悟知環節的形式美上就更有深意，此環節中的練悟、評悟、思悟皆內隱於課堂外，外顯與課堂內，尤其是思悟中的聽課過程反思、解題探索反思，皆內隱心田，外顯卓行。乙老師的教學設計模式，無法讓觀眾揣摩他在課堂外做的事，因而有亞於「知悟課堂」模式的形式之美。
但乙老師又在同課異構的交流會上談及了他在課堂外做的事，每到初三後他反而教得很輕鬆，因為他在初
一、初二時會分期、分時段、分主題來培訓學生，如：怎樣聽課？怎樣記筆記？
怎樣安排解題書寫？怎樣改錯？怎樣做作業？
怎樣合理展開複習？……這些對學生而言皆乃思悟，但乙老師卻高明、高效得多，如果他不說，我們到**去收聽這些真實、真切的教學手段與教育藝術？
在課堂練習這一環節，兩位老師都安排了一道選擇題。甲老師：二次函式與一次函式在同一座標系中的大致影象可能選什麼？
乙老師：二次函式與反比例函式在同一座標系中的大致影象可能選什麼？如果採用直選法，則自然要考慮分類討論，何言自然？
借用甲老師在課堂上的意思來說，因為只知，你憑什麼說a一定大於0，或a一定小於0呢？所以應該按照a＞0和a＜0來作分類討論。如果考慮排除法，則先在a選項中，假設某一函式影象正確，而後力爭去尋找矛盾，有了矛盾就立即排除，沒有矛盾則先記上乙個問號，最終問號往往只有乙個，從而得以破題。
課堂上，兩位老師都把這樣的思維策略交給了學生，讓他們體悟了思維之美。
另外，乙老師有心在兩個函式表示式中設計了同乙個引數，這使得排除法更加湊效，即如果函式的影象自相矛盾，那麼可直接排除掉，更覺便捷。藉此，乙老師面對乙班學生有感而發：如果乙個人自己有問題，那麼他又怎樣去與人配合好呢？
聽了這席話，學生一定能有所思悟。這是什麼？這就涉及到了數學教育，這就涉及到了解題深層結構中所蘊含的為人之道。
至今我還能隱約回想起，乙老師在課堂上與學生的一段小插曲，大意是乙老師好像無意中說錯了什麼，被學生糾正，乙老師則藉此告誡學生要有智勇「質疑」的精神，他還反問學生知道錢學森的故事嗎？我咋曉得是啥子故事？在這個「大資料」時代，我本井底一蛙，就連井底世界都弄不醒豁，況乎井外世界，天外之天。
感恩度娘可伶餘生，縱我尋章摘句，容我刨根問底，而我有幸腸胃不劣，偶有消化，吸收內化，久而久之，已不知皮肉原取之何處，更不曉贅肉將載往何方？讀書使人充實，本想壯渺小之軀，怎奈井底世界都足以使自己變得越發渺小……唉，野馬脫韁，姑且隨它行空，空行過後，還得言歸正傳，回歸現實。聽了乙老師的話，後來我留心查閱了一番，感受了錢老先生的質疑精神：
他不懼怕權威，永懷質疑精神，在科學研究的道路上一絲不苟，嚴謹求真，務實求是，永葆仁人智者的本色。我想我們的校訓既有「敢疑、善捋」，那麼提倡和培養師生的「質疑」精神定會成為我們治校之正道。
在課堂小結中，甲乙二位老師都對本堂課的雙基作出了總結，而乙老師還有心對本堂課所涉及的思維方式、策略以及數學思想都進行了「有板有眼」的總結。乙老師先總結了其中的思維策略有：從特殊到一般、模擬遷移、對比、歸納，其次又總結了其中的數學思想有：
數形結合、分類討論、極限思想。我一直以為思維方式與策略是高於數學思想的，但從乙老師的總結順序來看，他用數學思想來壓軸收尾，並贈送學生一句話：新題不可怕！
可見其著墨濃厚，意猶未盡。我感知視數學思想重於思維策略也很合乎情理，試想對於優生而言，很多思維方式、策略，老師不去講，他也會在解題中去揣摩、參悟，但有些數學思想方法，老師不去講，他是難以想象，更難掌握的！可見，乙老師有意引領學生往數學解題的深層探望，那是怎樣的一汪心靈湖泊？
在我看來，思維之術與為人之道皆隱於其間，由心而發的創造技藝正扎根於此，為學生的明天輸送有源之水，孕育有本之木。如何在數學教學與數學教育之間探求二者的平衡點？這是乙老師給我們帶來的思索。
在下午的會議中，丙老師談到要用心做事，做好了，才有話語權。丁老師談及不談分數，就是耍。教學用分數來彰顯，教育用分數來訴說。
教育接地氣，走心了，教學隨之能有所增效，走心且又能神入心田，播撒種子，再得陽光呵護，雨露滋潤，必能開花結果，在人生路上有收成、有建樹。當年錢老先生那一問：為什麼我們的學校（初等教育、高等教育皆應囊括於此）總是培養不出傑出人才？
他不是在詢問我們答案，老人家內心清明之極，他是在引晚生後輩深思內省。會上專家卿子俊談及乙個人認真做事，做有成效，才有話語權。而丙老師的話與卿所長不謀而合，自然讓人有所思悟。
另外，卿所長對我們寄以厚望：沒有公升學率，就沒有學校的現在；只談公升學率，就沒有學生的未來。我推想，我們應該去追尋教學與教育的平衡地帶，在那一片厚實、溫潤之地，讓二者相容變得更加真實、真切。
如何去尋訪教學與教育的平衡地帶？秉持數學精神，願問路在何方？教學太殘酷以分數論英雄，教育太理想以走心論成敗！
在我看來，數學教學的表象是讓學生得120分，數學教育的表象讓學生得140分，然其本質是什麼？應是什麼？難以對答，只可追思。
我以為，數學教學之主體是雙基過手、熟練，也就是訓練學生解題。從解題入門到解題精進不可能一蹴而就，它必須要有乙個歷練的過程，正如解題大師羅增儒教授所述這個過程必須從「簡單模仿」開始，經歷「變式訓練」，逐漸形成「自發領悟」，最終養成「自覺分析」的習慣，而且這四個階段中始終貫穿著不同層次的解題反思，可見這四個階段孕育著乙個通過已知學未知、通過反思「怎樣解某一道題」來領悟「怎樣學會解題」的有機、有序過程！可見，數學解題在低處是教學，在高處是教育。
數學解題在高處蘊含著思維之道、為人之道、自然之道，在乙老師的授課中，我們可以感知一二。
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